江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考
号：___________一、单选题1．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（?）A．B．C．D．2．在等差数列
中，已知前21项和，则的值为（?）A．7B．9C．21D．423．椭圆与(0 离心率相等D．焦距相等4．若两条直线和互相平行，则m的值为（?）A．3B．或4C．3或D．3或45．设直线l与x轴、y轴分别交于点
A，B，与圆相切于点P，且P位于第一象限，O为坐标原点，则的面积的最小值为（?）A．1B．C．D．26．已知双曲线 的一条渐近线过
点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为A．B．C．D．7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（?）A
．B．C．D．8．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（?）A．3B．2C．1D．0二、多选题9．下列说法正确的是（?）A．过两
点的直线方程为B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C．若方程表示圆，则D．圆上有且只有三点到直线的距离都等于10．已知抛物
线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（?）A．的准线方程为B．直线与相切C．若，则的最小值为D．若，则的周长的最小值为1111
．设椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则（?）A．B．C的离心率为C．面积的最大值为D．C上有且只有4个点P，使得是直角三
角形12．已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（???????）A．若点在圆上，则直线与圆相切B．若点在圆内，则直线与圆相离C
．若点在圆外，则直线与圆相离D．若点在直线上，则直线与圆相切三、填空题13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：(
a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为
_______．14．已知数列{an}满足an＋2＝－an(n∈N＋)，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前2017项的和为_
______15．已知向量 ，若 是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为________．四、双空题16．已知抛物线的焦点为
，过点的直线交抛物线于，两点，且，则抛物线的准线方程为________；的值为________．五、解答题17．已知{an}是公差
不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{an}与{3n}的相同的项
按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．18．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在x轴上，
半径为5，且过点；(2)经过点、，且以线段AB为直径；(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；(4)圆心在直线x
-2y-3=0上，且过点，．19．若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条
件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：(1)，满足的关系式；(2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的
关系；(3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值．20．已知一
直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．21．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，
且(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆：（
）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆的方程；(2)已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明
另一个成立.①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.参考答案：1．B【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般
式即可.【详解】联立方程，解得：所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，则直线的方程为：，即.故选：B2．C【解析】利用等差数列的前
项和公式可得，即可得，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，所以，所以，故选：C【点睛】关键点
点睛：本题的关键点是求出，进而得出，即可求解.3．D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.【详解】椭圆与 (0 <9)的焦点分别在x轴和y轴上，前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．显然只有D正确．故选
：D4．C【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为直线和互相平行，所以，解得或；故选：C5
．A【分析】根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标，，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出，代入三角形面积公式
，即可求解三角形面积的最小值.【详解】依题意，设，，直线l与圆相切于点P，P位于第一象限则直线过一、二、四象限，即，，则直线方程为
，化简得，直线与圆相切，故圆心到直线的距离，，∴，当且仅当时等号成立.∴.即三角形面积最小值为1故选：A.【点睛】本题考查直线的截
距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型.6．D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②
，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．考点：双曲线的标准方程．7．C【分析】求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得
到答案；【详解】化简方程可得，方程对应的曲线为以为圆心，以2为半径的圆在轴上方的部分（含点,）；当直线与半圆相切时，，，所以，当直
线过点时，，所以实数的取值范围为，故选：C.8．B【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点，
则，且，由，得，即，故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点P有
2个.故选：B.9．CD【分析】由直线的两点式方程可判断A，利用直线的截距式方程可判断B，由二元二次方程表示圆的条件可判断C，利用
直线和圆的位置关系可判断D.【详解】对于A，由当或时，过两点的直线方程不能表示为，故A错误；对于B，经过点且在轴和轴上截距都相等的
直线方程还有，故B错误；对于C，若方程表示圆，则即，故C正确；对于D，圆的圆心为原点，半径为2，圆心到到直线的距离为，则圆上有且只
有三点到直线的距离都等于，故D正确.故选：CD.10．BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A
，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D
.【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；设点，所以，所以，故C正
确；如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD11．ACD【分析】根据椭圆的方程求得的
值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，根据椭圆的定义，可得，所以A正确
；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确；由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C正确；因为以为直径的圆的方程为，联立方
程组，整理得，即方程组无解，所以以点为直角顶点的不存在；过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和；过作的垂线，交椭圆于两点，此时可
得直角和，综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确.故选：ACD.12．ABD【分析】根据点与圆的位置关系及直线与
圆的位置关系，对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A：∵点在圆上，∴，∵圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A选项正确；对于选项
B：∵点在圆内，，∵圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B选项正确；对于选项C：∵点在圆外，∴，∵圆心到直线的距离为，∴直线与圆
相交，故C选项错误；对于选项D：∵点在直线上，∴，∵圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D选项正确．故选：ABD．13．【分析】
设点B为椭圆的左顶点，由题得，化简即得解.【详解】设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝BQ,∴，则求得a＝3c，即e
＝．故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．1【分
析】推导出数列的周期为4，再求和即可【详解】an＋2＝－an，，则数列周期为4，又则2017项的和为 故答案为1【点睛】本题考查数
列求值，准确推得周期是关键，是基础题15．1【分析】根据向量的垂直推出，继而求得，再根据三角形面积公式求得答案.【详解】由题意，得
，又是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，,由得，所以，由得，故，所以 ，所以，所以|，所以,故答案为：116． 【分析】根据焦
点坐标可得，求得的值即可求解；由已知条件可得，取的中点为，分别过点，，，作准线的垂线，设，则，根据抛物线的定义以及梯形中位线的性质
即可求解.【详解】抛物线的焦点为，则，∴，所以抛物线方程为，准线为.如图取的中点为，分别过点，，，作准线的垂线，垂足分别为，，，．
由可知，由抛物线的定义可得：，，所以．设，则，又，，所以，又，即，解得，所以．故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根
据以及结合抛物线的定义、梯形中位线的性质列方程.17．(1)an＝4n－3(2)【分析】（1）由及成等差数列建立等式求解即可；（2
）根据条件求出数列，再求和即可.(1)设等差数列的公差为d，d≠0，由条件得解之得所以数列的通项公式为an＝4n－3．(2)设4n
－3＝3m，则n＝＝＝，当m＝2k，k∈N时，(－1)m＋3＝4，所以N，当m＝2k－1，k∈N时，(－1)m＋3＝2，所以
N，?所以，所以．18．(1)或(2)(3)(4)【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.（
1）设圆的标准方程为．因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，所以所求圆的标准方程为或．（2）设圆的标准方程为，由题意得，；又因
为点在圆上，所以．所以所求圆的标准方程为．（3）设圆心为．因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，解得a=1．所以所求圆的圆心为，半
径．所以所求圆的方程为．（4）设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．又该圆经过A、B两点，所以．所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．故所求圆的标准方程为．19．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）依题意，，若选①利
用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）
按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值；（1）
解：依题意，，且，均不为或，若选①，则，则，即；若选②，则（2）解：依题意直线：，直线：，又过，所以且，即且，又过，所以且，即且；
若选①，则，所以，即且、；若选②，则，所以，即且、；（3）解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，即，
所以，解得，此时直线：，所以，解得；若选①，则，此时直线：，所以，解得；若选②，则，此时直线：，所以，解得；20．或【分析】当直线
斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为，
即．由题设有：，即，解得，则直线方程．又所求直线的斜率不存在时，方程为，适合题意．∴所求直线的方程为或．21．(1)(2)是，0【
分析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：，则，，进而根据得，进而得答案；（2）直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积
运算化简整理即可得答案.(1)解：由题意，设抛物线的方程为：，所以点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，即，解得.所以抛物线的方程为
：(2)解：设直线的方程为，则联立方程得，所以，，因为，所以.所以为定值.22．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）选①证②，当直线的斜率存在时，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由可算出，即可证明，选②证①，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可算出.(1)由条件可得，解得所以椭圆方程为(2)选①证②：当直线的斜率存在时，设：，由得，则，?由得 即，即所以代入所以所以?解得：（舍去），?所以直线过定点?当直线斜率不存在时，设：?所以，由得 所以，即，解得所以直线（不符合题意，舍去） 综上：直线过定点?选②证①：由题意直线的斜率存在，设：?由得则， 所以?.答案第1页，共2页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页 |
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