2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编点与圆的位置4．（2022?广州增城区一模）平面直角坐标系中，⊙
O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定【
分析】本题根据题意可作图可知d＜r，即可判定点P与⊙O的位置关系．【解答】解：由题意可作图，如下图所示：∵d＝4＜5，∴点P在⊙O
内．三角形的内切圆7．（2022·广州白云区一模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△
ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（ ）A．4B．5C．9D．13【分析】设AF＝a，根据切线长定理得出AF
＝AE，CE＝CD，BF＝BD，求出BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，根据CD+BD＝BC，代入求出a即可．【解答】解：设
AF＝a，∵△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，∴AC＝13，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，
F，∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，∵BD+
CD＝BC＝14，∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14.解得a＝4，即AF＝4．切线的性质7．（2022·广州白云区二模）Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝15，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当⊙B与AC相切时，r＝（ ）A．6B．8C．9D．12
【分析】根据锐角三角函数求出BC的长，再根据切线的性质解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴令AC
＝4x，AB＝5x，∴BC＝3x，∵AB＝15，即5x＝15，解得：x＝3，∴AC＝12，BC＝9，∵⊙B与AC相切于点C，∴r＝
BC＝9．7．（2022·广州南山区一模）一根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN
＝60°，则OP的长度是（ ）A．40cmB．40cmC．20cmD．20cm【分析】连接OM，ON，易证Rt△OMP≌Rt△O
NP（HL），根据全等三角形的性质，可得∠OPM＝30°，再根据sin∠OPM＝＝，即可求出OP．【解答】解：连接OM，ON，如图
所示：∵PM、PN分别与⊙O相切，且M，N在圆上，∴OM⊥PM，ON⊥PN，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，OM＝ON，∵OP＝OP
，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠OPN＝∠OPM，∵∠MPN＝60°，∴∠OPM＝30°，∵钢管的直径为20cm，∴O
M＝10cm，∵sin∠OPM＝＝，∴OP＝20cm．8．（2022广州天河区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，
tanB＝，若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB刚好相切，则r等于（ ）A．3B．4C．2.4D．2.5【解答】解：过点C作C
D⊥AB于点D，如图，∵以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB刚好相切，∴r＝CD，∵tanB＝＝，∴设AC＝4k，则BC＝3k，∴
AB＝＝5k，∴5k＝5，∴k＝1．∴AC＝4，BC＝3．∵×AC?BC＝×AB?CD，∴5CD＝12，∴CD＝2.4．9．（20
22?广州增城区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD
的度数为（ ）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三
角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BA
C＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°
；19．（2022·深圳福田区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AB上取点O，以O为圆心，OB为半径作圆，若该圆与AC
相切于点D，与AB相交于点E（异于点B）．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若BD的长为，tan∠DBC＝，求⊙O的半径．【解答
】（1）证明：连接OD，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADO＝∠C，∴OD∥BC，∴∠
ODB＝∠DBC，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DBC＝∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）连接DE，∵BE为⊙O的直径
，∴∠BDE＝90°，由（1）得：∠DBC＝∠OBD，∴tan∠EBD＝tan∠DBC＝，∴＝，∴DE＝BD＝，∴BE＝＝＝＝5，
∴⊙O的半径为．15．（2022·深圳罗湖区二模）如图，△ABO中，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，边AB与⊙O相切于点A，把△A
BO绕点A逆时针旋转得到△AB''O''，点O的对应点O''恰好落在⊙O上，则sin∠B''AB的值是 ．【解答】解：由旋转得OA＝O
′A，∠OAB＝∠O′AB′，∴OA＝O′A＝OO′，∴△OO′A是等边三角形，∴∠O′AO＝60°，∵边AB与⊙O相切于点A，∴
∠OAB＝∠O′AB′＝90°，∴∠B''AB＝60°，∴sin∠B''AB＝．切线长定理8．（2022·深圳光明区二模）如图，在Rt
△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A．30﹣4πB．30﹣4πC
．60﹣16πD．30﹣16π【解答】解：如图，记三个切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则∠ODC＝∠OEC＝∠OFA＝
90°，OD＝OE＝OF＝2，∴四边形ODCE是正方形，∴CE＝CD＝2，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AE＝AF＝5﹣2＝3，BD
＝BF，设BD＝BF＝x，则BC＝x+2，AB＝x+3，在Rt△ABC中，52+（x+2）2＝（x+3）2，∴x＝10，∴BC＝1
2，∴S阴影＝S△ABC﹣S⊙O＝＝30﹣4π．切线的判定与性质25．（2022·佛山禅城区二模节选）如图1，⊙O是△ABC的外接
圆，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，过点E作AC的平行线交BA延长线于点F．（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）如图2，当∠BAC＝36°时，连接FD．求证：FD平分∠BFE；【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵BE平分∠ABC，∴
∠ABE＝∠CBE，∴＝，∴OE⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥OE，∴FE是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠
ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠CBD＝∠BAC，∠ABD＝∠BAC，∴AD＝BD
，∵∠CBD＝∠ABD+∠BAC＝72°，∴∠CBD＝∠ACB＝72°，∴BC＝BD，设BC＝BD＝AD＝a，CD＝x，∵∠CBD
＝∠BAC，∠ACB＝∠BCD，∴△BCD∽△ACB，∴，∴，∴x1＝a，x2＝（舍去），∴CD＝，∴AB＝AC＝AD+CD＝a+
＝a，∵＝，∴∠CED＝∠BAC＝36°，∵＝，∴∠ACE＝∠ABD＝36°，∴∠CED＝∠ACE，∴DE＝CD＝a，∵AD∥EF
，∴，∴＝，∴AF＝a，∴AF＝AD，∴∠AFD＝∠ADF，∵AD∥EF，∴∠DFE＝∠ADF，∴∠DFE＝∠AFD，∴FD平分∠
BFE；22．（2022·佛山南海区一摸）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙
O于点E，连接CE，CB．（1）求证：CE＝CB；（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O
的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1＝∠3．又OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴CE＝CB；（2）解：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2，CB＝CE＝，∴AB＝＝＝5．∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，∴△ADC∽
△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，DE＝＝1，∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．20．（2022·佛
山顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．（1）求∠A
BC的大小；（2）证明：AE是⊙O的切线．【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°
，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°；（2）证明：连接AO并延长交BC于F，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∵AE∥BC
，∴AF⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．24．（2022·珠海香洲区一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为
⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD
交BP于点G．（1）求证：直线GA是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝GD?BD；（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的
值．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，∴BC＝BD．∴点B在CD的垂直平分线上．同理得：点A在CD的垂直
平分线上．∴AB⊥CD即OA⊥CD，∵AG∥CD．∴OA⊥GA．∵OA是⊙O的半径，∴直线GA是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为⊙
O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠GAB＝90°，∴∠GAD+∠BAD＝90°．∴∠ABD
＝∠GAD．∵∠ADB＝∠ADG＝90°，∴△BAD∽△AGD．∴．∴AD2＝GD?BD．∵AC＝AD，∴AC2＝GD?BD；22
．（2022·珠海市一模）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点
F，连结BF．（1）求证：BF是⊙A的切线；（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．解：（1）证明：连接AD，如图，∵CA=CB
，∴∠CAB=∠ABC．∵AE⊥AC，∴∠CAB+∠EAB=90°．∵BC与⊙A相切于点D，∴∠ADB=90°．∴∠ABD+∠BA
D=90°．∴∠BAE=∠BAD．在△ABF和△ABD中，∴△ABF≌△ABD（SAS）．∴∠AFB=∠ADB=90°．∴BF是⊙
A的切线．（2）由（1）得：BF⊥AE，∵AC⊥AE，∴BF∥AC．∴△EFB∽△EAC．∴.∵BE=5，CB=AC=20，∴CE
=EB+CB=20+5=25，∴，∴BF=4．在Rt△BEF中，EF=.22．（2022·广州白云区一模）如图，⊙O的直径AB垂直
于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）连
接CO并延长交⊙O于点F，连接PP交CD于点G，如果CF＝10，cos∠APC＝，求EG的长．【解答】解：（1）PD与⊙O相切于点
D，理由如下：证明：连接OD∵在⊙O中，OD＝OC，AB⊥CD于点E，∴∠COP＝∠DOP．在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△
ODP（SAS）．∴∠OCP＝∠ODP．又∵PC切⊙O于点C，OC为⊙O半径，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°．∴∠ODP＝90°
．∴OD⊥PD于点D．∴PD与⊙O相切于点D；（2）作FM⊥AB于点M．∵∠OCP＝90°，CE⊥OP于点E，∴∠3+∠4＝90°
，∠APC+∠4＝90°．∴∠3＝∠APC．∵cos∠APC＝，∴Rt△OCE中，cos∠3＝＝．∵CF＝10，∴OF＝OC＝．∴
CE＝4，OE＝3又∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴∠FMO＝∠CEO＝90°．在△OFM和△OCE中∴△OFM≌△OCE（AAS）．
∴FM＝CE＝4，OM＝OE＝3．∵在Rt△OCE中，cos∠APC＝，设PC＝4k，OP＝5k，∴OC＝3k．∴3k＝5，解得k
＝．∴OP＝，∴PE＝OP﹣OE＝，PM＝OP+OM＝，又∵∠FMO＝∠GEP＝90°，∴FM∥GE．∴△PGE∽△PFM．∴，即
．∴GE＝．16．（2022·广州黄浦区二模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD
交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 ①②④ （直接填写序号）
．①直线DF是⊙O的切线：②△DEF是等腰三角形；③图中共有3个等腰三角形：④连接OE，则tan∠AEO＝．【解答】解：连接OD．
在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠ADC，∵∠AB
C+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC是直径，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝∠CDF，∴∠ODF＝∠A
DC＝90°，∴DF是⊙O的切线，故①正确，∵∠CDF＝∠CDB＝∠CAB＝22.5°，∠CDE＝90°，∴∠EDF＝90°﹣22
.5°＝67.5°，∵∠E＝90°﹣45°＝45°，∴∠EFD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠EDF＝∠EFD，∴
ED＝EF，∴△EDF是等腰三角形，故②正确，图中，△ABD，△BCD，△EDF，△ABC，△CDE都是等腰三角形，故③错误，连接
OE，过点O作OH⊥AD于点H，设BC＝CD＝DE＝m，则CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m，∴AH＝DH＝（m+m），∵AO＝O
C，AH＝DH，∴OH＝DC＝m，∴tan∠OEH＝＝＝，故④正确．19．（2022·深圳光明区二模）如图，AB是⊙O的直径，N是
⊙O上一点，M是的中点，连接AN，BM，交于点D．连接NM，OM，延长OM至点C，并使∠CAN＝2∠N．AN与OC交于点E．（1）
求证：AC是⊙O的切线；（2）若DM＝10，tanN＝，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接BN，∵AB是⊙O的直径，∴∠ANB
＝90°，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∵M是的中点，∴∠MBN＝∠ABM＝∠ANM＝∠MAN，∴∠ABN＝2∠ANM，∵∠CAN
＝2∠ANM，∴∠CAN＝∠ABN，∴∠CAN+∠BAN＝90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接AM，∵AB是⊙
O的直径，∴∠AMB＝90°，在RtADM中，DM＝10，tan∠ANM＝tan∠MAE＝＝，∴＝，∴AM＝，∵∠ABM＝∠ANM
，∴tan∠ABM＝＝，∴设AM＝3k，BM＝4k，∴AB＝5k，∵AM＝＝3k，∴k＝，∴AB＝5k＝．∴⊙O的半径为．19．（
2022·深圳罗湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CD＝3cm，DE＝cm，求⊙O直径的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AC是⊙O
的直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵E是BC的中点，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵
∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠ECD＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵DE是
Rt△BDC斜边上的中线，DE＝cm，CD＝3cm，∴BC＝2DE＝cm，∴BD＝＝＝（cm），∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠AC
D＝90°，∴∠BCD＝∠A，∵∠BDC＝∠CDA＝90°，∴△BDC∽△CDA，∴，即，∴AC＝（cm），∴⊙O直径的长cm．1
9．（2022·深圳坪山区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF
交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AF长为5，求BD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC
．∵点E是OB的中点，∴BE＝OE，在△BEF和△OEC中，，∴△BEF≌△OEC（SAS），∴∠FBE＝∠COE，又∵AC＝BC
，O为直径AB的中点，∴∠COE＝90°，∴∠FBE＝90°，而OB是圆的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图，由（1）知：B
F＝OC，∠FBD+∠ABD＝90°，∴tan∠BAF＝，∵AB是直径，∴∠BDA＝∠BDF＝90°，∴∠BAF+∠ABD＝90°
，∴∠DBF＝∠BAF，∴tan∠DBF＝，设FD＝x，则BD＝2x，AD＝4x，∴AF＝5x＝5，∴x＝，∴BD＝2．19．（2
022·深圳坪山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并
延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．【解答】
（1）证明：如图，连接OE，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠BDF，∴∠OED＝∠BFD，∴OE∥BF
，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∵OE为半径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：如图，连接BE，∵tan∠ED
B＝2，∠EDB＝∠F，∴tanF＝，∵CF＝1，∴CE＝2，∴EF＝＝，∵BD是直径，∴∠BED＝90°，∴∠BEF＝90°，又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F，∴△ECF∽△BEF，∴，∴，∴BF＝5，∴⊙O的半径＝．19．（2022·深圳二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E＝∠BOC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC＝，求BD的长．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠DOF，∠E＝∠BOC，∴∠DOF＝∠BOC，∵∠C＝90°，∴∠OBC+∠BOC＝90°，∴∠OBC+∠DOF＝90°，∵∠OBC＝∠A，∴∠A+∠DOF＝90°，∴∠ADO＝90°，∴OD⊥AD，∴AB为⊙O的切线；（2）解：∵∠OBC＝∠A，∴tan∠OBC＝tan∠A＝＝，∵OD＝3，∴AD＝2OD＝6，∴OA＝＝＝3，设OC＝x，则BC＝2x，在Rt△ABC中，tan∠A＝，∴，解得x＝，∴OC＝，BC＝2，∴OB＝＝＝5，∴BD＝＝＝4． |
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