2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编最值问题

2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编10．（2022广州天河区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，
∠ABC＝90°，AB＝6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ＝2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（　B　）A．6+2B．
2+2C．8D．4+2【分析】如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE＝2，连接BE交AC于点P，取PQ＝1，连接BE，D
Q，BD．B，P，E三点共线，此时△BPQ的周长＝BP+BQ+PQ＝BE+1最小．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点D，连接
AD、CD，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE＝1，连接BE交AC于点P，取PQ＝2，连接BE，DQ，BD.∵AB＝6，∴
BD＝6，∵DE∥PQ，DE＝PQ，∵四边形PQDE为平行四边形，∴PE＝DQ＝BQ，∵B，P，E三点共线，∴此时△BPQ的周长＝
BP+BQ+PQ＝BE+2最小．∵BD⊥AC，∴BD⊥DE，即∠BDE＝90°，∴BE＝＝2，∴△BPQ周长的最小值为：2+2，1
5．（2022·深圳福田区二模）如图，AB是⊙O的直径，点M是⊙O内的一定点，PQ是⊙O内过点M的一条弦，连接AM，AP，AQ，若
⊙O的半径为4，AM＝，则AP?AQ的最大值为 　　．【分析】如图，连接BP，过点A作AH⊥PQ交于点H，根据圆周角定理得到∠AP
B＝90°，∠B＝∠Q，则可判断△APB∽△AHQ，利用相似比得到AP?AQ＝8AH，然后利用AH的最大值为，确定AP?AQ的最大
值．【解答】解：如图，连接BP，过点A作AH⊥PQ交于点H．∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠AHQ＝90°，
∵∠B＝∠Q，∴△APB∽△AHQ，∴，∴AP?AQ＝AB?AH，∵⊙O的半径为4，∴AB＝8，∴AP?AQ＝8AH，∴当点H与点
M重合时，AH有最大值，即AH＝AM＝时，AP?AQ有最大值，最大值为8．15．（2022·深圳龙华区二模）如图，在△ABC中，A
B＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O''，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大
值为 　3+2　．【解答】解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，∵BF＝BC，点D为线段CO′的中点，∴BD是
△CFO′的中位线，∴BD＝FO′，∵将线段AO绕点A逆时针旋转至O''，∴点O′在以A为圆心、AO为半径的圆上运动，当点F、A、O
′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，∵AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，∴BE＝EC＝BC＝8，A
E⊥BC，∴AE＝＝＝6，∴AO＝AO′＝AE＝4，∵BF＝BC＝16，∴FE＝FB+BE＝16+8＝24，∴AF＝＝＝6，∴FO
′＝FA+AO′＝6+4，∴BD＝FO′＝×（6+4）＝3+2，