2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编5.4正方形

2022年广东省广州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考数学一模二模试题分类汇编正方形的性质18．（2022·佛山禅城区一摸）如图，正方形ABC
D的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF．
有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的是 　①②　（把正确结论的序号都
填上）【分析】在AB上取点H，使AH＝EC，连接EH，然后证明△AGE和△ECF全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．【解答】
解：在AB上取点H，使AH＝EC，连接EH，∵∠HAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，∴∠HAE＝∠CEF，又∵A
H＝CE，∴BH＝BE，∴∠AHE＝135°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF，在△AHE和
△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，EH＝CF，故①正确；∵BE＝BH，∴EH＝BE，∴CF＝BE，故②正
确；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE+∠AEH＝45°，又∵AE＝EF，∴∠EAF＝45°，∴∠HAE+∠DAF＝45°，∴∠AE
H＝∠DAF，∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC，而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误；∵
△AHE≌△ECF，∴S△AHE＝S△CEF，设AH＝x，则S△AHE＝x?（1﹣x）＝﹣x2+x，当x＝时，S△AHE取最大值为
，∴△CEF面积的最大值为，故④错误，6．（2022·佛山南海区、三水区二摸）如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，B
D＝10，DE＝BF＝2，则四边形AECF的周长等于（　　）A．20B．20C．30D．4【解答】解：如图，连接AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OD＝OB，AC⊥BD，∵BD＝10，DE＝BF＝2，∴OE＝OF＝3，OA＝OC＝5，∴
四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF＝，∴菱形的周长为4，4．（2022·深
圳龙岗区一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（　
　）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠OBF，DO＝BO，在△EDO和△FBO中，，∴△
DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO＝S△BFO，阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×2＝1．正方形的综合22．（2022·惠州
惠城区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻
边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．【分析】（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥
BC于H，根据正方形的性质得到∠ACB＝∠ACD．求得EG＝EH，根据矩形的性质得到∠GEH＝90°．∠DEF＝90°．根据全等三
角形的性质得到ED＝EF．根据正方形的判定定理即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝
90°．根据全等三角形的性质得到AE＝CM．根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵
四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四
边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝9
0°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形
，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE
+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．23．（2022·广州黄浦区二模）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点
（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝
4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG?CG的值．【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB
交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝
∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝，∴AF＝2.
4，CE＝2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；（3）如图
②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠C
DM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三
角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则
MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝6，∴DM+MG+BG＝12a＝
6，∴a＝，∴BG＝，MG＝，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴＝，∴CG?NG＝BG?M
G＝．16．（2022·华南师大附中一模）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于
点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQ
N≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 　①④　（填上所有正确结论的序号）【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，
∠ADM＝∠DCN＝90°，在△ADM和△DCN，，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADP＝9
0°，∴∠ADP+∠DAM＝90°，∴∠APD＝90°，∴AM⊥DN，故①正确，不妨假设∠MAN＝∠BAN，在△APN和△ABN中
，，∴△PAN≌△ABN（AAS），∴AB＝AP，∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假设不成立，故②错误，不妨假设△PQN≌
△BQN，则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，∴AP＝AB，∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假设不成立，故③
错误，∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，∴BN＝6，∵∠ABN＝90°，∴AN＝＝＝10，∵∠APN＝90°，AQ＝QN，∴PQ＝
AN＝5．故④正确，15．（2022·深圳坪山区一模）如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接
CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG·CG的值为 　15　．【解答】解：
如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠
CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵∠CMN＝∠CBN＝90°，∴M、N、B、C
四点共圆，∴∠MCN＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a
，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12
a＝12，∴a＝1，∴BG＝3，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG?NG
＝BG?MG＝15．10．（2022深圳盐田区二模）如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN
上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③tan∠FDC＝2+；④S△DCE＝（2+）S△DAF．其中正
确的是（　　）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【解答】解：设∠ADF＝α，∠CDE＝β，根据折叠的性质得，∠FDG＝α，∠
GDE＝α，∵四边形ABCD是正方形，则∠ADC＝2α+2β＝90°，∴α+β＝45°，设正方形的边长为4α，则AD＝DG＝DC＝
4α，∵MN是正方形ABCD的对称轴，∴DN＝2α，∴sin∠DGN＝＝，∴∠DGN＝30°，∵∠FGD＝∠A＝90°，∴∠FGM
＝60°，∴∠BFE＝30°，故①正确；∴∠AFD＝∠GFD＝（180°﹣∠BFE）＝75°，∴α＝15°，β＝30°，∵∠MFG
＝∠BFE＝30°＝β＝∠GDE，∠B＝∠DGE＝∠C＝90°，∴△FGM∽△DEG；故②正确；设FG＝AF＝x，则FM＝2α﹣x
，在△GFM中，cos∠MFG＝＝cos30°＝，∴＝，解得x＝4（2﹣）α，即AF＝4（2﹣）α，∵∠FDC＝α+2β＝75°＝∠AFD，tan∠FDC＝tan∠AFD＝＝＝2+≠2+，故③不正确；∵∠EDC﹣30°，∴EC＝DC?tan30°＝4α?＝α，∴S△DCE＝×4α×α＝8α2，∵AF＝4（2﹣）α，AD＝4α，∴（2+）S△DAF＝（2+）××AD×AF＝（2+）×4α×4（2﹣）α＝8α2，∴S△DCE＝（2+）S△DAF，故④正确，故①②④正确，