2022北京初三一模数学汇编圆一、单选题1．（2022·北京平谷·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（
）A．55°B．110°C．130°D．140°2．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为
O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影
所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处
，能使表演区完全照亮的方案可能是（?）①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号
的灯光装置A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题3．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若
∠CBA=50°，则∠CDB=______°．4．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．5
．（2022·北京房山·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．6．（2022·北京
通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．7．（2022·北京海
淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．三、解答题8．（2022·北京通州·一模）已知：如图
，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．求作：点P，使得AP＝AB，且．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长
为半径画弧，交于点D（异于点C）；③连接DA并延长交于点P．所以点P就是所求作的点．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图
痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（____________________）（填推理
的依据），由作图可知，，∴______．∴．9．（2022·北京平谷·一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片
花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大
于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O即为所求作
．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA、CB在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中
点，∴CO⊥AB（ ）（填推理的依据）设小O半径长为r∵OB＝OD，∠DOB＝90°∴BD＝r∴S大⊙O＝π（r）2＝
S小⊙O．10．（2022·北京顺义·一模）已知：如图，和射线PN．求作：射线PM，使得．作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为
圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D；②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；③以点E为圆心，OD的长
为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M；④作射线PM．所以射线PM就是所求作的射线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作
图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（_________）（填推理依据）
．∴．又∵（________）（填推理依据）．∴．11．（2022·北京朝阳·一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆
内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相
交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；②以点
B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；③连接，，，．，都是圆内接正三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图
痕迹）；(2)完成下面的证明，证明：连接，，，．∵，∴为①_________．∴．同理可得，．∴．∴（②____________）
（填推理的依据）．∵，∴是等边三角形．同理可得，是等边三角形．12．（2022·北京门头沟·一模）下面是小明设计“作圆的一个内接矩
形，并使其对角线夹角为”尺规作图的过程．已知：如图，．求作：矩形，使矩形内接于，对角线与的夹角为作法：①作的直径；②以点为圆心，长
为半径作弧．交直线上方的圆于点；③连接并延长交于点；④顺次连接、、和．四边形就是所求作的矩形，根据小明设计的尺规作图过程(1)使用
直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵点，都在上，，．∴四边形是平行四边形．（__________）
（填推理依据）．又是的直径，（________）（填推理依据）．∴四边形是矩形．又________．是等边三角形．∴四边形是所求作
的矩形．13．（2022·北京通州·一模）如图1，AB是的直径，点C是上不同于A，B的点，过点C作的切线为BA的延长线交于点D，连
接AC，BC．(1)求证：；(2)如图2，过点C作于点E，交于点F，FO的延长线交CB于点G．若的直径为4，，求线段FG的长．14
．（2022·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的
延长线于点F，切点为A．(1)求证：AE=AF；(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．15．（2022·北京平谷·一模）在平面
直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们
就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是
；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，
求r取值范围．16．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离
与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点，．
①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为时，且的“全距”为1，求m的取值范围；(
2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】
先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．【详解】解：，，．故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形
的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．2．A【解析】【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分
析，即可得到答案．【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区
，∴优弧所对圆周角如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且∴为优弧所对圆周角∴，即①方案成立；在M，N处各放置1台该型号的灯光
装置，分别连接、、、、、,如下图，∵， ∴②方案成立；在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P如要照亮整个表演区，
则两台灯光照亮角度为总 根据题意，，即两台灯光照亮角度总和 ∴③方案不成立；故选：A．【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解
题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．3．40【解析】【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=4
0°，再由圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=50°，∴∠A=90°-∠CBA=
40°，∵∠CDB=∠A，∴∠CDB=40°．故答案为：40【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周
角定理是解题的关键．4．60【解析】【分析】因为是的切线，由切线的性质得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120o．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵是的
切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB∴∠PAO=∠PBO=90°∵，∴∠AOB=2∠C=120o，∵四边形内角和等于360o．∴在四边形
AOBP中，∠P=360o-90o-90o-120o=60o．故答案为：60．【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内
角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360o求角．5．70°【解析】【分析】由OB＝OC，∠OCB
＝20°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心
角的一半，求得∠A的度数．【详解】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠BOC＝180°―∠OBC
―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝∠BOC＝70°故答案为：70°【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的
性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．6．40°【解析】【分析
】由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．【详解】解：∵
PA、PB是⊙O的切线，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP
=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案为：40°【点睛】此题考查了切线长定理及等
腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．7．60°##60度【解析】【分析】先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三
角形两锐角互余求解即可．【详解】PA，PB是的切线，A，B为切点 故答案为：60°．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理
、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．8．(1)见解析(2)圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠B
AC【解析】【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接P
C．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（_圆周角定理 或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），由作图可知，，
∴_∠BAC__．∴．故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC．【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周
角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．9．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得
到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接CA、CB在
△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点，∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据）设小O半径长为r∵OB＝OD，∠DOB＝90
°∴BD＝r∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的
尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．10．(1)见解析(2)SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【解析】【
分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明，可得，再根据圆周角定理进
而可以完成证明．(1)如图所示，(2)证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（__SSS__）．∴．又∵（
同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）．∴．故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【点睛】本题主要考查了复杂
作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键．11．(1)见解析(2)①等边三角形，②同弧上的圆周角等于圆心角的一半【解析】
【分析】(1)按照作图的基本步骤规范画图即可．(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答．(1)根据作步骤，画图如下：(2)证明：如
图，连接，，，．∵，∴为等边三角形．∴．同理可得，．∴．∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．∵，∴是等边三角形．
同理可得，是等边三角形．【点睛】本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理
是解题的关键．12．(1)见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，直径所对的圆周角是直角，【解析】【分析】（1）、按作图步
骤运用尺规作图即可．（2）、根据平行四边形的判定定理，圆心角的性质，等边三角形的判定，依照条件填写即可．(1)解：如图所示，矩形A
BCD即为所求；(2)证明：∵点，都在上，，．∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又是的直径，（直径所对
的圆周角是直角），∴四边形是矩形，又，是等边三角形，，∴四边形是所求作的矩形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，直径所
对的圆周角是直角，．【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定，圆的相关性质，直径所对的圆周角是直角以及等边三角形的判定，掌握各
项判定定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)3【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，即可求解；（2）根
据垂径定理和圆的切线，可证∠OGC=90°，根据角平分线的性质可知OG=OE，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可求OG，即
可求解．(1)解：连接OC，∵CD是圆的切线∴∠OCD=90°∴∠DCA+∠ACO=90°∵AB是圆的直径∴∠ACB=90°∴∠B
+∠CAO=90°∵∠CAO=∠ACO∴∠DCA=∠B．(2)解：连接OC，∵CD是圆的切线∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠C
OD=60°∴∠B=∠BCO= ∵CE⊥AB，OC=OF∴∠EOF=∠COE=60°，∠OCE=30°∴∠COG=60°∴∠OGC
=90°∴OE=OG= ∴FG=OF+OG=3．【点睛】本题考查圆的切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌
握这性质定理是解题的关键．14．(1)见详解(2)【解析】【分析】（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角
是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等
得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾
股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．(1)证明：∵点D为弧的中点∴，∵为的直径，为的切线∴，∴，∴；(2)∵是
的直径， ∴，由（1）， 在中，，∴，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等
，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．15．(1)① ；②或(2)【解析】【分析】（1
）由⊙O友好点的定义可判段出结果；点P应在半径为的圆环内．（2）根据定义可列出不等式组，解出可得到结果．(1)①由题意知：当时，P
为⊙O的友好点．∴⊙O的友好点是．②根据友好点的定义，只要点在半径圆环内都是⊙O的友好点，或．(2)∵M（0，3），N（3，0），
∴圆心O到线段MN的距离为 ∴在x轴上点N到⊙O最左侧的距离为∴根据题意可列不等式组得解得∴不等式组解集为： ∴r的取值范围为：
【点睛】本题考查圆综合题，中心对称，列不等式组等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题．16．(1)①2，1；②-1≤
?m?≤?2且m?≠?1(2)【解析】【分析】（1）①根据新定义，可得原点O到线段AB上一点的最大距离为原点O到点A或点B的距离，
由两点间公式求得即可，最小的距离是原点O到线段AB中点(0,1)的距离；②当点C的坐标为时，且的“全距”为1时，有两种情况讨论如下
：当点C在线段AB上方时，当点C在线段AB下方时，分别表示出“全距”，求解即可；（2）由题意得，原点O到等边△DEF上一点的最大距
离为原点O到与线段OM延长线的交点的距离，原点O到等边△DEF上一点的最小距离为原点O到与线段OM的交点的距离，求解即可．(1)①
点，原点O到线段AB上一点的最大距离为原点O到点A或点B的距离最小的距离是原点O到线段AB中点(0,1)的距离， 故答案为：2，1
；②当点C的坐标为时，且的“全距”为1有两种情况讨论如下：当点C在线段AB上方时三角形上一点到原点的最大距离为点C?到原点的距离三角形上一点到原点的最小距离为线段AB中点(0,1?)到原点的距离此时若“全距”为1，即m?-?1?=?1则m=?2当点C在线段AB下方时，三角形上一点到原点的最大距离为线段AB上点A或点B?到原点O的距离三角形上一点到原点的最小距离为点C?到原点的距离此时若“全距”为1，即2-|m|=?1解得m?=±1假设m=?1，则A，B，C三点不构成三角形，故m?=-1综上所述，m的取值范围是一1≤?m?≤?2且m?≠?1(2)OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的上等边△DEF的三个顶点与的交点不存在O、M、D（或E或F）三点共线的情况原点O到等边△DEF上一点的最大距离为原点O到与线段OM延长线的交点的距离即原点O到等边△DEF上一点的最小距离为原点O到与线段OM的交点的距离即综上，“全距”d的取值范围为 ．【点睛】本题是新定义类题目，涉及两点间距离公式、点与线段的位置关系、点与圆的位置关系，准确理解新定义是解题的关键． |
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