2022北京初三一模数学汇编平行四边形一、填空题1．（2022·北京通州·一模）如图所示，某种“视觉减速带”是由三个形状完全相同，颜色不同的
菱形拼成，可以让平面图形产生立体图形般的视觉效果．则的度数为______．2．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，D，
E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是_____
_．（写出一个即可）二、解答题3．（2022·北京海淀·一模）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点
为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关
系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．4．（2
022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的
延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．5．（2022·北京海淀·一模）如
图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面积．参考答案
1．【解析】【分析】如图是由三个形状完全相同的菱形拼成的一个平面图形，根据平面图形的镶嵌的定义可知，以点A为顶点的三个角之和为，根
据题意又可知这三个角相等，所以，然后再利用菱形对角相等的性质即可得到答案．【详解】解：∵如图是由三个菱形拼成的一个平面图形；∴以点
A为顶点的三个角之和为， 又∵这三个菱形的形状完全相同；∴以点A为顶点的三个角相等，∴∴．故答案为：【点睛】本题考查了平面图形的镶
嵌和菱形的性质．解答本题的关键是理解平面图形的镶嵌的定义．2．或【解析】【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等
，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可．【详解】解：分别是的中点，，当时，四边形DFGE是
平行四边形，，四边形DFGE是矩形；当时，四边形DFGE是平行四边形，，四边形DFGE是矩形；故答案为：或．【点睛】本题考查矩形的
判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键．3．(1)，(2)成立，证明见解
析【解析】【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可；（2）如图
2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定
理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根
据与的数量关系判断与的位置关系即可．(1)解：，．理由如下：由题意知三点重合∴，∵∴，∵∴∴为线段的中点∵是中点∴是的中位线∴，∴
∴．(2)解：，的关系仍成立．证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设
，∴，，，，，，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴∵∴∴．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中
位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出与的长度．4．(1)证明见解析(2)【解
析】【分析】（1）根据题目所给条件得到三角形是等腰三角形，由角平分线的条件，根据“三线合一”的知识，从而得到点D为中点，再利用中位
线的性质，从而得到，再根据平行四边形判定定理即可证明；（2）根据等腰三角形“三线合一”的知识，从而得到为直角三角形，根据题目所给条
件，得出的长，再根据直角三角形斜边中线的性质以及平行四边形的性质，得到的长度，从而得到最后结果．(1)证明：∵在△ABC中，AB＝
BC，∴△ABC为等腰三角形，∴，又∵BD为∠ABC的角平分线，∴，又∵，∴，∴，∴D为中点，又∵点E为AB的中点，∴为中位线，∴
，即，又∵，∴四边形DEFB是平行四边形．(2)解：∵由（1）得，∴，又∵点E为AB的中点，∴为的中线，∴，∵在中，AD＝4，BD
＝3，∴，∴，又∵四边形DEFB是平行四边形，∴，又∵，∴．【点睛】本题考察了三角形的中位线，平行四边形的判定定理和性质，等腰三角
形的三线合一，直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的知识，解决本题的关键是利用好中点的条件以及平行四边形的性质．5．(1)见解析
(2)【解析】【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，再结合已知即可证明结论；（2）设 ，根据题意，求出，，再根据勾股
定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可．(1)，D是BC的中点，，，四边形BECF是菱形；(2)设，，，，，，，，在中，，即，解得，，菱形BECF的面积．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． |
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