2022-2023学年天津市高考数学试卷
题号 一 二 三 总分 得分
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知全集，集合，，则(????)
A. B. C. D.
“或”是“”的条件(????)
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分又不必要
函数的图象为(????)
A. B. C. D.
某工厂抽取件产品测其重量单位：其中每件产品的重量范围是数据的分组依据依次为，，，，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为(????)
A. B. C. D.
已知，，，则(????)
A. B. C. D.
化简的值为(????)
A. B. C. D.
已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为(????)
A. B. C. D.
如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，与平面的距离为，则该多面体的体积为(????)
A. B. C. D.
已知，关于该函数有下列四个说法： 的最小正周期为； 在上单调递增； 当时，的取值范围为； 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为(????)
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
已知是虚数单位，化简的结果为??????????．
的展开式中的常数项为??????????．
若直线与圆相交所得的弦长为，则??????????．
张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为??????????；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为??????????．
在中，，，是中点，，试用，表示为??????????，若，则的最大值为??????????．
设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为??????????．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，已知，，． 求的值； 求的值； 求的值．
本小题分 直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． 求证：平面； 求直线与平面的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值．
本小题分 设是等差数列，是等比数列，且． 求与的通项公式； 设的前项和为，求证：； 求．
本小题分 椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足． 求椭圆的离心率； 直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
本小题分 已知，，函数，． 求函数在处的切线方程； 若和有公共点，当时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】?
【解析】
【分析】 本题考查集合的并集和补集的混合运算． 求出与的并集，在求补集即可． 【解答】 解：集合，， ， 全集， ． 故选A．??
2.【答案】?
【解析】
【分析】 本题考查了充分必要条件，是一道基础题， 结合充分必要条件的定义进行判断，从而得到结论． 【解答】 解：或不能推出，例如，； 能推出或， 故“或”是“”的必要不充分条件． 故选A．??
3.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的识别，判断函数的奇偶性，属于较易题． 根据函数的奇偶性和区间内函数值的正负，即可判断．
【解答】
解：函数的定义域为， ， 该函数为奇函数，故A错误； 当时，，故C错误； 当时，，且， 当增大时，的值也越来越大，故B错误， 故D正确． 故本题选D．
??
4.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 由频率分布直方图得重量在内的频率为由此能求出重量在内的产品件数．
【解答】
解：由频率分布直方图得： 重量在内的频率为：． 所以重量在内的产品件数为． 故选：．
??
5.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值的大小，属于较易题． 根据指数函数和对数函数的图象与性质，可判断．
【解答】
解：是定义在上的单调递增函数， ，即， 是定义在上的单调递减函数， ，即， 是定义在上的单调递增函数， ，即， 所以． 故本题选C．
??
6.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了对数的换底公式的应用，以及对数式的化简，属于较易题． 利用对数的换底公式计算即可．
【解答】
解： ． 故选B．
??
7.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，抛物线的焦点、准线，以及双曲线的渐近线，属于较易题． 先由抛物线方程得出准线方程，从而得双曲线的半焦距，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得，接着由，可得，从而得，最后再通过建立方程即可求解．
【解答】
解：由题意可得抛物线的准线为， 又抛物线的准线过双曲线的左焦点， ， 双曲线的渐近线方程为， 设直线与直线相交于点， 则，解得， 又，， ， ， ， 又， ， ，， 双曲线的标准方程为． 故选C．
??
8.【答案】?
【解析】
【分析】 本题考查多面体的体积的求法，是中档题． 取中点，中点，连结、、，该多面体的体积，由此能求出结果． 【解答】 解：取中点，中点，连结、、， 在多面体中，四边形是边长为的正方形， ，，且点到平面的距离为， 该多面体的体积： ． 故选D．??
9.【答案】?
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦型函数的图象和性质，属于较易题． 由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
【解答】
解：， 最小正周期为，故错误； 当时，， 函数在上单调递增，故正确； 当时，， 的取值范围为，故错误； 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故错误． 故选A．
??
10.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了复数的除法运算，属于较易题． 利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】
解：， 故答案为．
??
11.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式及其通项，属于较易题． 先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求只要使得变量的指数等于，求出的值，代入系数即可求出结果．
【解答】
解：的展开式的通项是 要求展开式中的常数项只要使得，即 常数项是． 故答案为．
??
12.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，点到直线的距离公式，属于较易题． 先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．
【解答】
解：由题知，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ， 解得或舍． 故答案为．
??
13.【答案】?
?
【解析】
【分析】
本题主要考查概率的乘法公式，以及条件概率公式，属于中档题． 由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到的条件下，第二次抽到的概率．
【解答】
解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为， 则， ， ． 故答案为；．
??
14.【答案】?
?
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的夹角，由基本不等式求最值，以及向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题． 由题意，利用两个向量加减法及其几何意义即可求，利用两个向量的数量积公式，以及基本不等式，可求出的最小值，即可得的最大值．
【解答】
解：中，，，是中点，， 如图， ， 又， ， 即， ， 即， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，故C的最大值为， 即的最大值为． 故答案为；．
??
15.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点、方程的根的个数，属于较难题． 设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．
【解答】
解：设，， 当时，， 又函数至少有个零点，则函数至少有一个零点， ， 解得或， 当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不符合题意，故舍， 当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，无解，故舍去， 当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，符合题意， 当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，即， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为．
??
16.【答案】解因为，，， 由余弦定理可得， 解得； 因为，， 所以， 因为， 所以， 由正弦定理可得，即， 可得， 所以； 因为，， 所以， ， 因为，可得， 所以， 所以的值为．?
【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题． 由余弦定理及题中条件可得边的值； 由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值； 求出及的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．
17.【答案】解：证明：取的中点，连接，， 又为中点，为中点，为中点， ，， 又平面，平面， 平面， 同理可得，平面， 又， 平面平面， 平面， 在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又，为中点，为中点，为中点． 故B，，，，， 则，，， 设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，， 所以， 设直线与平面的夹角为，则， ，则，， 设平面的法向量为，则有，， 即，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以．?
【解析】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题． 利用中位线可证，建立空间直角坐标系设是平面的法向量，平面的法向量为，可解．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， ，， 解得， ，； 证明：由知，等比数列的公比为， ， ， 为数列的前项和， ， ； ， ， 设． 则， ， ，得： ， ， ．?
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，错位相减法求和，以及数列中前项和与第项的关系，属于较难题． 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，，解得，，即可得出数列与的通项公式； 由等比数列的性质及通项公式与前项和的关系即可证明； 先求出，利用并项求和，结合错位相减法即可求出结果．
19.【答案】解：， ， ， ， ， ； 由可知椭圆为，即， 设直线：， 联立，消去得： ， 又直线与椭圆只有一个公共点， ， ， ， ， 又， ， 解得，则， 又的面积为， ，解得， 又， ，， 椭圆的标准方程为．?
【解析】本题考查求椭圆的离心率，椭圆中三角形的面积，以及椭圆的标准方程，属于较难题． 根据建立，的等式，再转化为，的等式，从而得离心率的值； 先由将椭圆方程转化为，再设直线为，联立椭圆方程求出点的坐标，再由及，且的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．
20.【答案】解：， ， ，， 函数在处的切线方程为； ， ， 又和有公共点， 方程有解， 即有解，且， 在上有解， 设，， ， 当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， ， 的取值范围为．?
【解析】本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，利用导数解不等式，以及利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题． 利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解； 将和有公共点转化为在上有解，构造函数，，接着利用导数求出的值域，从而得的取值范围．
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