高三数学月考试卷班级：_______ 姓名：______ 得分：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也
不必要条件2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，满足
，，，则( )A.B.C.D.4.近20年来，黄金周给百姓的生活带来了大变化.不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八
达的交通出行，让人们对黄金周热情不改.而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多，据全国老龄办统计，国内游总人次中有两
成是老年人.某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下(阴影部
分为损坏数据)，估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为( )A.，B.，C.，D.，5.已知，分别是椭圆
的上、下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点，使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.6.函数的部分图象可
能是( )A.B.C.D.7.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物
，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并
各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的
区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小
值为(参考数据：，)( )A.B.C.D.8.在棱长为的正方体中，点是该正方体棱上一点.若满足的点的个数为，则的取值范围是(
)A.B.C.D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在下列函数中，最小值是的函数有( )A.B.C.D.10.已知函数，则下列说
法正确的是( )A.的图象关于直线对称B.的周期为C.是的一个对称中心D.在区间上单调递增11.如图，在某城市中，、两地之间
有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲，乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一
条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是( )A.甲从到达处的方法有种B.甲从必须经过到
达处的方法有种C.甲、乙两人在处相遇的概率为D.甲、乙两人相遇的概率为12.已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示
，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，其中正确的有( )A.“水滴”图形与轴相交，最高点记为，则点的坐标为B.在集
合中任取一点，则到原点的距离的最大值为C.阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别为，，则D.白色“水滴”图形的面积是 第11题图
第12题图 第13题图三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，
其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是________.14.在中，，，点在线段上，满足，且，则__
______.15.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为________.16.若，则的值为_
_______；________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)已知数列的
前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，且对任意恒成立，求的范围.18.(本题满分12分)在三棱锥中，平面，
，，，为的中点，为的中点.(1)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由；(2)若，求二面
角的大小.19.(本题满分12分)已知函数，若函数的图象与函数的图象关于轴对称.(1)求函数的解析式；(2)若存在，使等式成立，求
实数的取值范围.20.(本题满分12分)艾民同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行.英语听力一共五题，每题分，艾民同学做对
任意一题的概率为，而后又进行了笔试，艾民同学在做阅读(共题)时，没有看懂文章，艾民同学十分纠结，决定用丢骰子的方法选出答案，若丢出
，，选，丢出选，丢出选，丢出选(已知道题的正确答案依次为，，，).(1)求艾民同学听力得分的概率；(2)记艾民做阅读时做对的题数为
随机变量，求的分布列与期望.21.(本题满分12分)已知函数.(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；(2)当时，证明：函数有
且仅有个零点.22.(本题满分12分)已知抛物线，点.(1)求点与抛物线的焦点的距离；(2)设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若的
面积为，求直线的方程；(3)是否存在定圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，
求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案AADAAACBADABBCDBCD三
、填空题13.14.15.16.；四、解答题17.【解析】(1)因为，①所以，②由①式-②式得，即，又当时，，解得，所以是以为首项
，为公比的等比数列，所以.(2)，，，，所以单调递增，所以，所以.18.【解析】(1)存在点为上的靠近的四等分点即，平面，证明如下
：取的中点，连接，，则，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.
(2)作于，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由，，得，，，，，，故，，，，，，设平面的法向量为，由，得
，平面的法向量为，由，因为二面角为钝角，故所求二面角为.19.【解析】(1).函数的图象与函数的图象关于轴对称，则.(2)，则，，
即.令，所以方程在有解，故方程在有解，所以直线与函数，的图象有公共点，而函数，的值域为，故.20.【解析】(1)根据题意，听力一共
五题，每题分，艾民同学做对任意一题的概率为，则听力得分的概率为；(2)由题意，随机变量的可能取值为，，，，；则，，，，.则的分布列
为：01234的期望值为.21.【解析】(1)因为，由函数在上为增函数，则在上恒成立.令，，.当时，，所以恒成立.所以在为增函数，
所以，所以.(2)由，则，.所以，是的两个零点.因为，由(1)知，函数在上为增函数，，无零点.所以下面证函数在上有且仅有个零点.①
当时，∵，∴，∴，无零点.②当时，∵，设，，∴在上递增，又∵，，∴存在唯一零点，使得.当时，，在上递减；当时，，在上递增.又，，所
以，函数在上有且仅有个零点.故函数在上有且仅有个零点.综上，当时，函数有且仅有个零点.22.【解析】(1)抛物线的焦点坐标为，则点
与抛物线的焦点的距离为.(2)设直线的方程为，把方程代入抛物线，得，∴，，∴，点到直线的距离，∴，得，以直线方程为.(3)假设存在
.取，圆，设切线为，由，解得，①将直线代入抛物线方程，解得，，直线的方程为，若直线和圆相切，可得，②由①②解得.下证时，对任意的动点，直线和圆相切.理由如下：设，，，.由，可得，∴，.又切线与曲线相交于另外两点，，由，代入抛物线方程可得，可得，，则，是方程的两根，即有，即，同理.则有，，直线，即为，则圆心到直线的距离为，由，代入上式，化简可得，则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切. |
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