2022年重庆市中考数学真题（A卷）

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○………… 绝 密 ★ 启 用 前 2022 年 重 庆 市 中 考 数 学 真 题 （ A 卷 ）试 卷 副 标 题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1． 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2． 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I 卷 的 文 字 说 明

评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1． 5的 相 反 数 是 （ ）A． 5? B． 15? C． 15 D． 52． 下 列 图 形 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ）A． B． C．

D．3． 如 图 ， 直 线 AB， CD被 直 线 CE所 截 ， AB CD∥ ， 50C? ? ?， 则 1? 的 度 数 为 （ ）A． 40? B． 50? C． 130? D． 150?4． 如 图 ， 曲 线 表 示 一 只 蝴 蝶 在 飞 行 过 程 中 离 地 面 的 高 度 ? ?mh 随 飞 行 时 间 ? ?st 的 变 化 情

况 ， 则 这 只 蝴 蝶 飞 行 的 最 高 高 度 约 为 （ ）

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※※线※※内※※答※※题※※A． 5m B． 7m C． 10m D． 13m5． 如 图 ， ABC? 与 DEF? 位 似 ， 点 O为 位 似 中 心 ， 相 似 比 为 2:3． 若 ABC? 的 周 长 为 4，则 DEF? 的 周 长 是 （ ）A． 4 B． 6 C． 9 D． 166． 用 正 方 形 按 如 图 所 示 的 规 律 拼 图 案 ， 其 中 第 ① 个 图 案 中 有 5个 正 方 形 ， 第 ② 个 图 案中 有 9个 正 方 形 ， 第 ③ 个 图 案 中 有 13个 正 方 形 ， 第 ④ 个 图 案 中 有 17个 正 方 形 ， 此 规 律排 列 下 去 ， 则 第 ⑨ 个 图 案 中 正 方 形 的 个 数 为 （ ）

A． 32 B． 34 C． 37 D． 417． 估 计 3 (2 3 5)? ? 的 值 应 在 （ ）A． 10和 11之 间 B． 9和 10之 间 C． 8和 9之 间 D． 7和 8之 间8． 小 区 新 增 了 一 家 快 递 店 ， 第 一 天 揽 件 200件 ， 第 三 天 揽 件 242件 ， 设 该 快 递 店 揽 件日 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 ， 下 面 所 列 方 程 正 确 的 是 （ ）A． ? ?2200 1 242x? ? B． ? ?2200 1 242x? ? C． ? ?200 1 2 242x? ?

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○………… D． ? ?200 1 2 242x? ?9． 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， AE 平 分 BAC? 交 BC于 点 E， 点 F 是 边 AB上 一 点 ， 连接 DF， 若 BE AF? ， 则 CDF? 的 度 数 为 （ ）A． 45? B． 60? C． 67.5? D． 775?.

10． 如 图 ， AB是 O? 的 切 线 ， B 为 切 点 ， 连 接 AO交 O? 于 点 C， 延 长 AO交 O? 于 点 D，连 接 BD． 若 A D? ?? ， 且 3AC ? ， 则 AB 的 长 度 是 （ ）A． 3 B． 4 C． 3 3 D． 4 2

11． 若 关 于 x的 一 元 一 次 不 等 式 组 4 11 35 1 xxx a ?? ? ???? ?? ＜ 的 解 集 为 2x ?≤ ， 且 关 于 y的 分 式 方 程1 21 1y ay y? ? ?? ? 的 解 是 负 整 数 ， 则 所 有 满 足 条 件 的 整 数 a的 值 之 和 是 （ ）A． － 26 B． － 24 C． － 15 D． － 1312． 对 多 项 式 x y z m n? ? ? ? 任 意 加 括 号 后 仍 然 只 含 减 法 运 算 并 将 所 得 式 子 化 简 ， 称 之为 “加 算 操 作 ”， 例 如 ： ( ) ( )x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ，( )x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ， …， 给 出 下 列 说 法 ：① 至 少 存 在 一 种 “加 算 操 作 ”， 使 其 结 果 与 原 多 项 式 相 等 ；② 不 存 在 任 何 “加 算 操 作 ”， 使 其 结 果 与 原 多 项 式 之 和 为 0；

③ 所 有 的 “加 算 操 作 ”共 有 8种 不 同 的 结 果 ．以 上 说 法 中 正 确 的 个 数 为 （ ）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）

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※※线※※内※※答※※题※※

请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13． 计 算 ： ? ?04 3 ?? ? ? ?_________．14． 有 三 张 完 全 一 样 正 面 分 别 写 有 字 母 A， B， C 的 卡 片 ． 将 其 背 面 朝 上 并 洗 匀 ， 从 中随 机 抽 取 一 张 ， 记 下 卡 片 上 的 字 母 后 放 回 洗 匀 ， 再 从 中 随 机 抽 取 一 张 ， 则 抽 取 的 两 张 卡片 上 的 字 母 相 同 的 概 率 是 _________．15． 如 图 ， 菱 形 ABCD中 ， 分 别 以 点 A， C为 圆 心 ， AD， CB长 为 半 径 画 弧 ， 分 别 交

对 角 线 AC于 点 E， F ． 若 2AB ? ， 60BAD? ? ?， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 _________．（ 结果 不 取 近 似 值 ）16． 为 进 一 步 改 善 生 态 环 境 ， 村 委 会 决 定 在 甲 、 乙 、 丙 三 座 山 上 种 植 香 樟 和 红 枫 ． 初 步预 算 ， 这 三 座 山 各 需 两 种 树 木 数 量 和 之 比 为 5:6:7， 需 香 樟 数 量 之 比 为 4:3:9， 并 且 甲 、乙 两 山 需 红 枫 数 量 之 比 为 2:3． 在 实 际 购 买 时 ， 香 樟 的 价 格 比 预 算 低 20%， 红 枫 的 价 格

比 预 算 高 25%， 香 樟 购 买 数 量 减 少 了 6.25%， 结 果 发 现 所 花 费 用 恰 好 与 预 算 费 用 相 等 ，则 实 际 购 买 香 樟 的 总 费 用 与 实 际 购 买 红 枫 的 总 费 用 之 比 为 _________．评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17． 计 算 ：(1)? ? ? ?22 4x x x? ? ? ；(2) 2 21 2a a bb b?? ?? ?? ?? ? ．18． 在 学 习 矩 形 的 过 程 中 ， 小 明 遇 到 了 一 个 问 题 ： 在 矩 形 ABCD中 ， E是 AD边 上 的 一

点 ， 试 说 明 BCE? 的 面 积 与 矩 形 ABCD的 面 积 之 间 的 关 系 ． 他 的 思 路 是 ： 首 先 过 点 E作BC的 垂 线 ， 将 其 转 化 为 证 明 三 角 形 全 等 ， 然 后 根 据 全 等 三 角 形 的 面 积 相 等 使 问 题 得 到解 决 ． 请 根 据 小 明 的 思 路 完 成 下 面 的 作 图 与 填 空 ：

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○………… 证 明 ： 用 直 尺 和 圆 规 ， 过 点 E作 BC的 垂 线 EF ， 垂 足 为 F （ 只 保 留 作 图 ? 迹 ） ．在 BAE? 和 EFB△ 中 ，∵ EF BC? ，∴ 90EFB? ? ?．又 90A? ? ?，∴ __________________①

∵ AD BC∥ ，∴ __________________②又 __________________③∴ ? ?BAE EFB AAS△ ≌ △ ．同 理 可 得 __________________④∴ 1 1 12 2 2BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCDS S S S S S? ? ? ? ?△ △ △ 矩 形 矩 形 矩 形 ．19． 公 司 生 产 A、 B两 种 型 号 的 扫 地 机 器 人 ， 为 了 解 它 们 的 扫 地 质 量 ， 工 作 人 员 从 某 月生 产 的 A、 B型 扫 地 机 器 人 中 各 随 机 抽 取 10台 ， 在 完 全 相 同 条 件 下 试 验 ， 记 录 下 它 们

的 除 尘 量 的 数 据 （ 单 位 ： g） ， 并 进 行 整 理 、 描 述 和 分 析 （ 除 尘 量 用 x表 示 ， 共 分 为 三 个等 级 ： 合 格 80 85x? ? ， 良 好 85 95x? ? ， 优 秀 95x? ） ， 下 面 给 出 了 部 分 信 息 ：10台 A型 扫 地 机 器 人 的 除 尘 量 ： 83， 84， 84， 88， 89， 89， 95， 95， 95， 98．10台 B型 扫 地 机 器 人 中 “良 好 ”等 级 包 含 的 所 有 数 据 为 ： 85， 90， 90， 90， 94抽 取 的 A、 B型 扫 地 机 器 人 除 尘 量 统 计 表型 号 平 均 数 中 位 数 众 数 方 差 “优 秀 ”等 级 所 占 百 分 比A 90 89 a 26.6 40%B 90 b 90 30 30%

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※※线※※内※※答※※题※※

根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)填 空 ： ?a _________， b?_________， m?_________；(2)这 个 月 公 司 可 生 产 B型 扫 地 机 器 人 共 3000台 ， 估 计 该 月 B型 扫 地 机 器 人 “优 秀 ”等 级的 台 数 ；(3)根 据 以 上 数 据 ， 你 认 为 该 公 司 生 产 的 哪 种 型 号 的 扫 地 机 器 人 扫 地 质 量 更 好 ？ 请 说 明 理由 （ 写 出 一 条 理 由 即 可 ） ．20． 已 知 一 次 函 数 ? ?0y kx b k? ? ? 的 图 象 与 反 比 例 函 数 4y x? 的 图 象 相 交 于 点 ? ?1,A m ，? ?, 2B n ? ．

(1)求 一 次 函 数 的 表 达 式 ， 并 在 图 中 画 出 这 个 一 次 函 数 的 图 象 ；(2)根 据 函 数 图 象 ， 直 接 写 出 不 等 式 4kx b x? ? 的 解 集 ；(3)若 点 C是 点 B关 于 y轴 的 对 称 点 ， 连 接 AC， BC， 求 ABC? 的 面 积 ．21． 在 全 民 健 身 运 动 中 ， 骑 行 运 动 颇 受 市 民 青 睐 ， 甲 、 乙 两 骑 行 爱 好 者 约 定 从 A地 沿 相同 路 线 骑 行 去 距 A地 30千 米 的 B地 ， 已 知 甲 骑 行 的 速 度 是 乙 的 1.2倍 ．(1)若 乙 先 骑 行 2千 米 ， 甲 才 开 始 从 A地 出 发 ， 则 甲 出 发 半 小 时 恰 好 追 上 乙 ， 求 甲 骑 行 的

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○………… 速 度 ；(2)若 乙 先 骑 行 20分 钟 ， 甲 才 开 始 从 A地 出 发 ， 则 甲 、 乙 恰 好 同 时 到 达 B地 ， 求 甲 骑 行的 速 度 ．22． 如 图 ， 三 角 形 花 园 ABC紧 邻 湖 泊 ， 四 边 形 ABDE 是 沿 湖 泊 修 建 的 人 行 步 道 ． 经 测量 ， 点 C在 点 A的 正 东 方 向 ， 200AC ? 米 ． 点 E在 点 A的 正 北 方 向 ． 点 B， D在 点 C的正 北 方 向 ， 100BD? 米 ． 点 B在 点 A的 北 偏 东 30° ， 点 D在 点 E的 北 偏 东 45?．

(1)求 步 道 DE 的 长 度 （ 精 确 到 个 位 ） ；(2)点 D处 有 直 饮 水 ， 小 红 从 A出 发 沿 人 行 步 道 去 取 水 ， 可 以 经 过 点 B到 达 点 D， 也 可以 经 过 点 E到 达 点 D． 请 计 算 说 明 他 走 哪 一 条 路 较 近 ？ （ 参 考 数 据 ： 2 1.414? ，3 1.732? ）23． 若 一 个 四 位 数 M 的 个 位 数 字 与 十 位 数 字 的 平 方 和 恰 好 是 M 去 掉 个 位 与 十 位 数 字 后得 到 的 两 位 数 ， 则 这 个 四 位 数 M 为 “勾 股 和 数 ”．例 如 ： 2543M ? ， ∵ 2 23 4 25? ? ， ∴ 2543是 “勾 股 和 数 ”；又 如 ： 4325M ? ， ∵ 2 25 2 29? ? ， 29 43? ， ∴ 4325不 是 “勾 股 和 数 ”．

(1)判 断 2022， 5055是 否 是 “勾 股 和 数 ”， 并 说 明 理 由 ；(2)一 个 “勾 股 和 数 ”M 的 千 位 数 字 为 a， 百 位 数 字 为 b， 十 位 数 字 为 c， 个 位 数 字 为 d ，记 ? ? 9c dG M ?? ， ? ? ? ? ? ?10 3a c b dP M ? ? ?? ． 当 ? ?G M ， ? ?P M 均 是 整 数 时 ， 求 出 所有 满 足 条 件 的 M ．24． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 212y x bx c? ? ? 与 直 线 AB 交 于 点 ? ?0, 4A ? ，? ?4,0B ．

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※※线※※内※※答※※题※※(1)求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ；(2)点 P是 直 线 AB下 方 拋 物 线 上 的 一 动 点 ， 过 点 P作 x轴 的 平 行 线 交 AB于 点 C， 过 点 P作 y轴 的 平 行 线 交 x轴 于 点 D， 求 PC PD? 的 最 大 值 及 此 时 点 P的 坐 标 ；(3)在 （ 2） 中 PC PD? 取 得 最 大 值 的 条 件 下 ， 将 该 抛 物 线 沿 水 平 方 向 向 左 平 移 5个 单 位 ，点 E为 点 P的 对 应 点 ， 平 移 后 的 抛 物 线 与 y轴 交 于 点 F ， M 为 平 移 后 的 抛 物 线 的 对 称轴 上 一 点 ． 在 平 移 后 的 抛 物 线 上 确 定 一 点 N ， 使 得 以 点 E， F ， M ， N 为 顶 点 的 四 边形 是 平 行 四 边 形 ， 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 N 的 坐 标 ， 并 写 出 求 解 点 N 的 坐 标 的 其 中 一种 情 况 的 过 程 ．25． 如 图 ， 在 锐 角 ABC? 中 ， 60A? ? ?， 点 D， E分 别 是 边 AB， AC上 一 动 点 ， 连 接 BE交 直 线 CD于 点 F ．(1)如 图 1， 若 AB AC? ， 且 BD CE? ， BCD CBE? ?? ， 求 CFE? 的 度 数 ；

(2)如 图 2， 若 AB AC? ， 且 BD AE? ， 在 平 面 内 将 线 段 AC绕 点 C顺 时 针 方 向 旋 转 60?得到 线 段 CM ， 连 接 MF ， 点 N 是 MF的 中 点 ， 连 接 CN ． 在 点 D， E运 动 过 程 中 ， 猜 想线 段 BF ， CF ， CN 之 间 存 在 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 你 的 猜 想 ；(3)若 AB AC? ， 且 BD AE? ， 将 ABC? 沿 直 线 AB翻 折 至 ABC? 所 在 平 面 内 得 到 ABP△ ，点 H 是 AP的 中 点 ， 点 K 是 线 段 PF 上 一 点 ， 将 PHK△ 沿 直 线 HK 翻 折 至 PHK△ 所 在 平面 内 得 到 QHK△ ， 连 接 PQ． 在 点 D， E运 动 过 程 中 ， 当 线 段 PF 取 得 最 小 值 ， 且 QK PF?时 ， 请 直 接 写 出 PQBC 的 值 ．

答 案 第 1页 ， 共 23页

参 考 答 案 ：1． A【 解 析 】【 分 析 】根 据 一 个 数 的 相 反 数 就 是 在 这 个 数 前 面 添 上 “-”号 ， 求 解 即 可 ．【 详 解 】解 ： 5的 相 反 数 是 -5，故 选 ： A．【 点 睛 】

本 题 考 查 了 相 反 数 的 意 义 ， 一 个 数 的 相 反 数 就 是 在 这 个 数 前 面 添 上 “-”号 ： 一 个 正 数 的 相 反数 是 负 数 ， 一 个 负 数 的 相 反 数 是 正 数 ， 0的 相 反 数 是 0． 不 要 把 相 反 数 的 意 义 与 倒 数 的 意 义混 淆 ．2． D【 解 析 】【 详 解 】解 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；

D、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 符 合 题 意 ；故 选 ： D．【 点 睛 】本 题 考 查 了 轴 对 称 图 形 的 概 念 ， 如 果 一 个 图 形 沿 一 条 直 线 折 叠 ， 直 线 两 旁 的 部 分 能 够 互 相 重合 ， 这 个 图 形 叫 做 轴 对 称 图 形 ．3． C【 解 析 】【 分 析 】根 据 两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 ， 即 可 求 解 ．

【 详 解 】解 ： ∵ AB CD∥ ，∴ ∠ 1+∠ C=180°，

答 案 第 2页 ， 共 23页

∵ 50C? ? ?，∴ ∠ 1=130°．故 选 ： C【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 平 行 线 的 性 质 ， 熟 练 掌 握 两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 是 解 题 的 关 键 ．4． D【 解 析 】【 分 析 】根 据 函 数 图 象 可 直 接 得 出 答 案 ．

【 详 解 】解 ： ∵ 函 数 图 象 的 纵 坐 标 表 示 一 只 蝴 蝶 在 飞 行 过 程 中 离 地 面 的 高 度 ? ?mh ，∴ 由 函 数 图 象 可 知 这 只 蝴 蝶 飞 行 的 最 高 高 度 约 为 13m，故 选 ： D．【 点 睛 】本 题 考 查 了 从 函 数 图 象 获 取 信 息 的 能 力 ， 准 确 识 图 是 解 题 的 关 键 ．5． B【 解 析 】

【 分 析 】根 据 周 长 之 比 等 于 位 似 比 计 算 即 可 ．【 详 解 】设 DEF? 的 周 长 是 x，∵ ABC? 与 DEF? 位 似 ， 相 似 比 为 2:3， ABC? 的 周 长 为 4，∴ 4： x=2： 3，解 得 ： x=6，故 选 ： B．【 点 睛 】

本 题 考 查 了 位 似 的 性 质 ， 熟 练 掌 握 位 似 图 形 的 周 长 之 比 等 于 位 似 比 是 解 题 的 关 键 ．6． C【 解 析 】

答 案 第 3页 ， 共 23页

【 分 析 】第 1个 图 中 有 5个 正 方 形 ， 第 2个 图 中 有 9个 正 方 形 ， 第 3个 图 中 有 13个 正 方 形 ， ……，由 此 可 得 ： 每 增 加 1个 图 形 ， 就 会 增 加 4个 正 方 形 ， 由 此 找 到 规 律 ， 列 出 第 n 个 图 形 的 算 式 ，然 后 再 解 答 即 可 ．【 详 解 】解 ： 第 1个 图 中 有 5个 正 方 形 ；第 2个 图 中 有 9个 正 方 形 ， 可 以 写 成 ： 5+4=5+4×1；第 3个 图 中 有 13个 正 方 形 ， 可 以 写 成 ： 5+4+4=5+4×2；第 4个 图 中 有 17个 正 方 形 ， 可 以 写 成 ： 5+4+4+4=5+4×3；

． ． ．第 n 个 图 中 有 正 方 形 ， 可 以 写 成 ： 5+4（ n-1） =4n+1；当 n=9时 ， 代 入 4n+1得 ： 4×9+1=37．故 选 ： C．【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 图 形 的 变 化 规 律 以 及 数 字 规 律 ， 通 过 归 纳 与 总 结 结 合 图 形 得 出 数 字 之 间 的 规律 是 解 决 问 题 的 关 键 ．7． B【 解 析 】

【 分 析 】先 化 简 3 (2 3 5) 6 15? ? ? ? ， 利 用 9 15 16＜ ＜ ， 从 而 判 定 即 可 ．【 详 解 】3 (2 3 5) 6 15? ? ? ? ，∵ 9 15 16＜ ＜ ，∴ 15 43＜ ＜ ，∴ 9 15 10＜ 6+ ＜ ，

故 选 ： B．【 点 睛 】本 题 考 查 了 二 次 根 式 混 合 运 算 及 无 理 数 的 估 算 ， 熟 练 掌 握 无 理 数 估 算 方 法 是 解 题 的 关 键 ．

答 案 第 4页 ， 共 23页

8． A【 解 析 】【 分 析 】平 均 增 长 率 为 x， 关 系 式 为 ： 第 三 天 揽 件 量 ＝ 第 一 天 揽 件 量 ×（ 1＋ 平 均 增 长 率 ） 2， 把 相 关 数值 代 入 即 可 ．【 详 解 】解 ： 由 题 意 得 ： 第 一 天 揽 件 200件 ， 第 三 天 揽 件 242件 ，∴ 可 列 方 程 为 ： ? ?2200 1 242x? ? ，

故 选 ： A．【 点 睛 】此 题 考 查 一 元 二 次 方 程 的 应 用 ， 得 到 三 天 的 揽 件 量 关 系 式 是 解 决 本 题 的 突 破 点 ， 难 度 一 般 ．9． C【 解 析 】【 分 析 】先 利 用 正 方 形 的 性 质 得 到 AD AB? ， 90DAF B ADC? ?? ?? ? ?， 45BAC? ? ?， 利 用 角 平分 线 的 定 义 求 得 BAE? ， 再 证 得 ? ?ABE DAF SAS? ?≌ ， 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 求 得22.5ADF BAE? ?? ? ?

， 最 后 利 用 CDF ADC ADF? ?? ?? 即 可 求 解 ．【 详 解 】解 ： ∵ 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ，∴ AD AB? ， 90DAF B ADC? ?? ?? ? ?， 45BAC? ? ?，∵ AE 平 分 BAC? 交 BC于 点 E，∴ 1 22.52BAE BAC? ? ? ? ?，在 ABE△ 和 DAF△ 中 ，AD ABDAF BBE AF???? ???? ??

，∴ ? ?ABE DAF SAS? ?≌ ，∴ 22.5ADF BAE? ?? ? ? ，∴ 90 22.5 67.5CDF ADC ADF? ?? ?? ? ?? ?? ?，

答 案 第 5页 ， 共 23页

故 选 ： C【 点 睛 】本 题 考 查 了 正 方 形 的 性 质 、 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 以 及 角 平 分 线 的 定 义 ， 熟 练 掌 握 全 等 三角 形 的 判 定 方 法 是 解 题 的 关 键 ．10． C【 解 析 】【 分 析 】连 接 OB， 先 求 出 ∠ A＝ 30°， OB＝ AC＝ 3， 再 利 用 tanOB AAB ? ＝ tan30°， 即 可 求 出 AB 的 长 度 ．

【 详 解 】解 ： 连 接 OB，∵ OB＝ OD，∴ △OBD 是 等 腰 三 角 形 ，

∴ ∠ OBD＝ ∠ D，∵ ∠ AOB 是 △OBD 的 一 个 外 角 ，∴ ∠ AOB＝ ∠ OBD＋ ∠ D＝ 2∠ D，∵ AB是 O? 的 切 线 ，∴ OB⊥ AB，∴ ∠ ABO＝ 90°，∵ A D? ?? ，∴ ∠ A＋ ∠ ABO＝ ∠ A＋ 2∠ D＝ 3∠ A＝ 90°，∴ ∠ A＝ 30°，

∴ AO＝ 2OB＝ AC＋ OC，∵ OB＝ OC，∴ OB＝ AC＝ 3，

答 案 第 6页 ， 共 23页

∵ tanOB AAB ? ＝ tan30°，∴ AB＝ 3 3 3tan30 tan30OB ? ?? ? ．故 选 ： C【 点 睛 】此 题 考 查 了 切 线 的 性 质 定 理 、 解 直 角 三 角 形 、 等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识 ， 求 出 ∠ A＝30°是 解 决 此 题 的 关 键 ．11． D【 解 析 】

【 分 析 】根 据 不 等 式 组 的 解 集 ， 确 定 a＞ -11， 根 据 分 式 方 程 的 负 整 数 解 ， 确 定 a＜ 1， 根 据 分 式 方 程的 增 根 ， 确 定 a≠-2， 计 算 即 可 ．【 详 解 】∵ 4 11 35 1 xxx a ?? ? ???? ?? ①＜ ② ，解 ① 得 解 集 为 2x ?≤ ， 解 ② 得 解 集 为 15ax ?＜ ，∵ 不 等 式 组 4 11 35 1 xxx a ?? ? ???? ?? ＜ 的 解 集 为 2x ?≤ ，

∴ 1 25a? ?＞ ，解 得 a＞ -11，∵ 1 21 1y ay y? ? ?? ? 的 解 是 y= 13a? ， 且 y≠-1， 1 21 1y ay y? ? ?? ? 的 解 是 负 整 数 ，∴ a＜ 1且 a≠-2，∴ -11＜ a＜ 1且 a≠-2，故 a=-8或 a=-5，故 满 足 条 件 的 整 数 a的 值 之 和 是 -8-5=-13，故 选 D．

【 点 睛 】本 题 考 查 了 不 等 式 组 的 解 集 ， 分 式 方 程 的 特 殊 解 ， 增 根 ， 熟 练 掌 握 不 等 式 组 的 解 法 ， 灵 活 求分 式 方 程 的 解 ， 确 定 特 殊 解 ， 注 意 增 根 是 解 题 的 关 键 ．

答 案 第 7页 ， 共 23页

12． D【 解 析 】【 分 析 】给 x y? 添 加 括 号 ， 即 可 判 断 ① 说 法 是 否 正 确 ； 根 据 无 论 如 何 添 加 括 号 ， 无 法 使 得 x的 符 号为 负 号 ， 即 可 判 断 ② 说 法 是 否 正 确 ； 列 举 出 所 有 情 况 即 可 判 断 ③ 说 法 是 否 正 确 ．【 详 解 】解 ： ∵ ? ?x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ ① 说 法 正 确

∵ 0x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 ∵ 无 论 如 何 添 加 括 号 ， 无 法 使 得 x的 符 号 为 负 号∴ ② 说 法 正 确∵ 当 括 号 中 有 两 个 字 母 ， 共 有 4种 情 况 ， 分 别 是 ? ?x y z m n? ? ? ? 、 ? ?x y z m n? ? ? ? 、? ?x y z m n? ? ? ? 、 ? ?x y z m n? ? ? ? ；当 括 号 中 有 三 个 字 母 ， 共 有 3种 情 况 ， 分 别 是 ? ?x y z m n? ? ? ? 、 ? ?x y z m n? ? ? ? 、? ?x y z m n? ? ? ? ；

当 括 号 中 有 四 个 字 母 ， 共 有 1种 情 况 ， ? ?x y z m n? ? ? ?∴ 共 有 8种 情 况∴ ③ 说 法 正 确∴ 正 确 的 个 数 为 3故 选 D．【 点 睛 】本 题 考 查 了 新 定 义 运 算 ， 认 真 阅 读 ， 理 解 题 意 是 解 答 此 题 的 关 键 ．13． 5

【 解 析 】【 分 析 】根 据 绝 对 值 和 零 指 数 幂 进 行 计 算 即 可 ．【 详 解 】

答 案 第 8页 ， 共 23页

解 ： ? ?04 3 4 1 5?? ? ? ? ? ? ，故 答 案 为 ： 5．【 点 睛 】本 题 考 查 了 绝 对 值 和 零 指 数 幂 的 计 算 ， 熟 练 掌 握 定 义 是 解 题 的 关 键 ．14． 13【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 意 列 出 图 表 得 出 所 有 等 情 况 数 和 抽 取 的 两 张 卡 片 上 的 字 母 相 同 的 情 况 数 ， 然 后 根 据 概

率 公 式 即 可 得 出 答 案 ．【 详 解 】解 ： 根 据 题 意 列 表 如 下 ：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC

共 有 9种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 两 次 抽 出 的 卡 片 上 的 字 母 相 同 的 有 3种 情 况 ，所 以 P（ 抽 取 的 两 张 卡 片 上 的 字 母 相 同 ） ＝ 39＝ 13．【 点 睛 】此 题 考 查 的 是 用 列 表 法 或 树 状 图 法 求 概 率 ． 列 表 法 可 以 不 重 复 不 遗 漏 的 列 出 所 有 可 能 的 结 果 ，适 合 于 两 步 完 成 的 事 件 ； 树 状 图 法 适 合 两 步 或 两 步 以 上 完 成 的 事 件 ； 解 题 时 要 注 意 此 题 是 放回 实 验 还 是 不 放 回 实 验 ．15． 22 3 3??【 解 析 】

【 分 析 】连 接 BD 交 AC 于 点 G， 证 明 △ABD 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 BD＝ 2， 然 后 根 据 菱 形 的 性 质 及 勾股 定 理 求 出 AC， 再 由 S 阴 影 ＝ S 菱 形 ABCD－ S 扇 形 ADE－ S 扇 形 CBF 得 出 答 案 ．

答 案 第 9页 ， 共 23页

【 详 解 】解 ： 连 接 BD 交 AC 于 点 G，∵ 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，∴ AB＝ AD＝ 2， AC⊥ BD，∵ 60BAD? ? ?，∴ △ABD 是 等 边 三 角 形 ， ∠ DAC＝ ∠ BCA＝ 30°，∴ BD＝ 2，∴ BG＝ 1 12BD ? ，

∴ 2 2 2 22 1 3AG AB BG? ? ? ? ? ，∴ AC＝ 2 2 3AG ? ，∴ S 阴 影 ＝ S 菱 形 ABCD－ S 扇 形 ADE－ S 扇 形 CBF＝ 2 21 30 2 30 2 22 3 2 2 32 360 360 3? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ，故 答 案 为 ： 22 3 3?? ．

【 点 睛 】本 题 考 查 了 菱 形 的 性 质 ， 等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 勾 股 定 理 ， 扇 形 的 面 积 公 式 等 ， 在 求 阴影 部 分 面 积 时 ， 能 够 将 求 不 规 则 图 形 的 面 积 转 化 为 求 规 则 图 形 的 面 积 是 解 题 的 关 键 ．16． 35【 解 析 】【 分 析 】适 当 引 进 未 知 数 ， 合 理 转 化 条 件 ， 构 造 等 式 求 解 即 可 ．【 详 解 】

设 三 座 山 各 需 香 樟 数 量 分 别 为 4x、 3x、 9x． 甲 、 乙 两 山 需 红 枫 数 量 2a、 3a．∴ 4 2 53 3 6x ax a? ?? ，∴ 3a x? ，

答 案 第 10页 ， 共 23页

故 丙 山 的 红 枫 数 量 为 ? ?7 4 2 9 55 x a x x? ? ? ，设 香 樟 和 红 枫 价 格 分 别 为 m、 n．∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?16 6 9 5 16 1 6.25% 1 20% 6 9 5 1 25%mx x x x n x m x x x n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，∴ : 5:4m n? ，∴ 实 际 购 买 香 樟 的 总 费 用 与 实 际 购 买 红 枫 的 总 费 用 之 比 为 ? ? ? ?? ? ? ?16 1 6.25% 1 20% 36 9 5 1 25% 5x mx x x n? ? ? ? ?? ? ? ? ，故 答 案 为 ： 35．【 点 睛 】

本 题 考 查 了 未 知 数 的 合 理 引 用 ， 熟 练 掌 握 未 知 数 的 科 学 设 置 ， 灵 活 构 造 等 式 计 算 求 解 是 解 题的 关 键 ．17． (1) 22 4x ?(2) 2a b?【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 先 计 算 乘 法 ， 再 合 并 ， 即 可 求 解 ；（ 2） 先 计 算 括 号 内 的 ， 再 计 算 除 法 ， 即 可 求 解 ．

(1)解 ： 原 式 2 24 4 4x x x x? ? ? ? ?22 4x? ?(2)解 ： 原 式 2( )( )a b bb a b a b?? ? ? ?2a b? ?【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 整 式 的 混 合 运 算 ， 分 式 的 混 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 相 关 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键 ．

18． A EFB? ?? 、 AEB FBE? ?? 、 BE EB? 、 ? ?EDC CFE AAS△ ≌ △【 解 析 】【 分 析 】

答 案 第 11页 ， 共 23页

过 点 E作 BC的 垂 线 EF ， 垂 足 为 F ， 分 别 利 用 AAS 证 得 BAE EFB△ ≌ △ ， EDC CFE△ ≌ △ ，利 用 全 等 三 角 形 的 面 积 相 等 即 可 求 解 ．【 详 解 】证 明 ： 用 直 尺 和 圆 规 ， 过 点 E作 BC的 垂 线 EF ， 垂 足 为 F （ 只 保 留 作 图 ? 迹 ） ．如 图 所 示 ，

在 BAE? 和 EFB△ 中 ，∵ EF BC? ，∴ 90EFB? ? ?．又 90A? ? ?，∴ EFB A? ?? ①∵ AD BC∥ ，∴ AEB FBE? ?? ②又 BE EB? ③

∴ ? ?BAE EFB AAS△ ≌ △ ．同 理 可 得 ? ?EDC CFE AAS△ ≌ △ ④∴ 1 1 12 2 2BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCDS S S S S S? ? ? ? ?△ △ △ 矩 形 矩 形 矩 形 ．故 答 案 为 ： A EFB? ?? 、 AEB FBE? ?? 、 BE EB? 、 ? ?EDC CFE AAS△ ≌ △【 点 睛 】本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 掌 握 全 等 三 角 形 的 面 积 相 等 是 解 题 的 关 键 ．19． (1)95； 90； 20

(2)900台(3)A型 号 更 好 ， 在 平 均 数 均 为 90的 情 况 下 ， A型 号 的 平 均 除 尘 量 众 数 95大 于 B 型 号 的 平 均

答 案 第 12页 ， 共 23页

除 尘 量 众 数 90【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 中 位 数 和 众 数 的 定 义 求 出 a， b， 根 据 B型 扫 地 机 器 人 中 “优 秀 ”等 级 所 占 百 分 比 和 “良好 ”等 级 包 含 的 数 据 可 求 出 m；（ 2） 用 总 数 乘 以 B型 扫 地 机 器 人 “优 秀 ”等 级 所 占 百 分 比 即 可 ；（ 3） 可 从 众 数 的 角 度 进 行 分 析 判 断 ．(1)解 ： A型 中 除 尘 量 为 95的 有 3个 ， 数 量 最 多 ，

所 以 众 数 a＝ 95；B 型 中 “良 好 ”等 级 包 含 的 数 据 有 5个 ， 则 所 占 百 分 比 为 50%，所 以 m%＝ 1－ 50%－ 30%＝ 20%， 即 m＝ 20；因 为 B 型 中 “合 格 ”等 级 所 占 百 分 比 为 20%，所 以 B 型 中 “合 格 ”的 有 2个 ，所 以 B 型 中 中 位 数 b＝ 90 90 92 0? ? ；故 答 案 为 ： 95； 90； 20；(2)3000 30% 900? ?

（ 台 ） ，答 ： 估 计 该 月 B型 扫 地 机 器 人 “优 秀 ”等 级 的 台 数 有 900台 ；(3)A型 号 更 好 ，理 由 ： 在 平 均 数 均 为 90的 情 况 下 ， A型 号 的 平 均 除 尘 量 众 数 95大 于 B 型 号 的 平 均 除 尘 量 众数 90．【 点 睛 】本 题 考 查 了 众 数 ， 中 位 数 ， 用 样 本 估 计 总 体 等 知 识 ， 能 够 从 不 同 的 统 计 图 或 统 计 表 中 获 取 有用 信 息 是 解 题 的 关 键 ．

20． (1) 2 2y x? ? ， 图 见 解 析(2) 2 0x? ? ? 或 1x?(3)12

答 案 第 13页 ， 共 23页

【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 把 ? ?1,A m ， ? ?, 2B n ? 分 别 代 入 4y x? 得 到 m， n 的 值 ， 得 到 点 A 和 点 B 的 坐 标 ， 利 用待 定 系 数 法 求 出 一 次 函 数 的 表 达 式 ， 并 画 出 图 象 即 可 ；（ 2） 由 函 数 图 象 可 知 ， 当 2 0x? ? ? 或 1x? 时 ， 一 次 函 数 ? ?0y kx b k? ? ? 的 图 象 在 反 比 例函 数 4y x? 的 图 象 的 上 方 ， 即 可 得 到 答 案 ；（ 3） 根 据 点 C是 点 B关 于 y轴 的 对 称 点 ， 求 出 点 C 的 坐 标 ， 得 到 BC 的 长 ， 进 一 步 求 出 三角 形 的 面 积 即 可 ．

(1)解 ： 把 ? ?1,A m ， ? ?, 2B n ? 分 别 代 入 4y x? 得 ，41m? ， 42 n? ? ，解 得 m＝ 4， n＝ ﹣ 2，∴ 点 A（ 1， 4） ， 点 B（ ﹣ 2， ﹣ 2） ，把 点 A（ 1， 4） ， 点 B（ ﹣ 2， ﹣ 2） 代 入 一 次 函 数 ? ?0y kx b k? ? ? 得 ，42 2k bk b? ???? ? ??? ，

解 得 22kb??? ?? ，∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 是 y＝ 2x＋ 2，这 个 一 次 函 数 的 图 象 如 图 ，

答 案 第 14页 ， 共 23页

(2)解 ： 由 函 数 图 象 可 知 ， 当 2 0x? ? ? 或 1x? 时 ， 一 次 函 数 ? ?0y kx b k? ? ? 的 图 象 在 反 比 例函 数 4y x? 的 图 象 的 上 方 ，∴ 不 等 式 4kx b x? ? 的 解 集 为 2 0x? ? ? 或 1x? ；(3)解 ： ∵ 点 C是 点 B关 于 y轴 的 对 称 点 ， 点 B 的 坐 标 是 （ ﹣ 2， ﹣ 2） ，∴ 点 C 的 坐 标 是 （ 2， ﹣ 2） ，∴ BC＝ 2－ （ ﹣ 2） ＝ 4，

∴ 1 4 6 122ABCS ? ? ? ?? ．【 点 睛 】此 题 是 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 综 合 题 ， 主 要 考 查 了 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式 、 一 次 函 数 与 反比 例 函 数 的 交 点 问 题 、 三 角 形 的 面 积 ， 熟 练 掌 握 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 性 质 是 解 题 的 关 键 ．21． (1)24 /千 米 时(2)18千 米 /时【 解 析 】【 分 析 】

（ 1） 设 乙 的 速 度 为 x千 米 /时 ， 则 甲 的 速 度 为 1.2x千 米 /时 ， 根 据 甲 出 发 半 小 时 恰 好 追 上 乙 列方 程 求 解 即 可 ；

答 案 第 15页 ， 共 23页

（ 2） 设 乙 的 速 度 为 x千 米 /时 ， 则 甲 的 速 度 为 1.2x千 米 /时 ， 根 据 甲 、 乙 恰 好 同 时 到 达 B地 列方 程 求 解 即 可 ．(1)解 ： 设 乙 的 速 度 为 x千 米 /时 ， 则 甲 的 速 度 为 1.2x千 米 /时 ，由 题 意 得 ： 0.5 1.2 0.5 2x x? ? ? ，解 得 ： 20x= ，则 1.2 24x? ，答 ： 甲 骑 行 的 速 度 为 24千 米 /时 ；(2)

设 乙 的 速 度 为 x千 米 /时 ， 则 甲 的 速 度 为 1.2x千 米 /时 ，由 题 意 得 ： 30 1 303 1.2x x? ? ，解 得 15x ? ，经 检 验 15x ? 是 分 式 方 程 的 解 ，则 1.2 18x? ，答 ： 甲 骑 行 的 速 度 为 18千 米 /时 ．【 点 睛 】本 题 考 查 了 一 元 一 次 方 程 的 应 用 和 分 式 方 程 的 应 用 ， 找 准 等 量 关 系 ， 正 确 列 出 方 程 是 解 题 的

关 键 ．22． (1)283米(2)经 过 点 B到 达 点 D较 近【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 过 E作 BC的 垂 线 ， 垂 足 为 H ， 可 得 四 边 形 ACHE 是 矩 形 ， 从 而 得 到 200EH AC? ? 米 ，再 证 得 △ DEH 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 可 求 解 ；（ 2） 分 别 求 出 两 种 路 径 的 总 路 程 ， 即 可 求 解 ．(1)

解 ： 过 E作 BC的 垂 线 ， 垂 足 为 H ，

答 案 第 16页 ， 共 23页

∴ ∠ CAE=∠ C=∠ CHE=90°，∴ 四 边 形 ACHE 是 矩 形 ，∴ 200EH AC? ? 米 ，根 据 题 意 得 ： ∠ D=45°，∴ △ DEH 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，∴ DH=EH=200米 ，∴ 2 200 2 283DE EH? ? ? （ 米 ） ；(2)解 ： 根 据 题 意 得 ： ∠ ABC=∠ BAE=30°，

在 Rt ABC? 中 ，∴ 2 400AB AC? ? 米 ，∴ 经 过 点 B到 达 点 D， 总 路 程 为 AB+BD=500米 ，∴ 2 2 200 3BC AB BC? ? ? （ 米 ） ，∴ 200 3 100 200 200 3 100AE CH BC BD DH? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 米 ） ，∴ 经 过 点 E到 达 点 D， 总 路 程 为 200 2 200 3 100 529 500? ? ? ? ，∴ 经 过 点 B到 达 点 D较 近 ．【 点 睛 】

本 题 主 要 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 实 际 应 用 ， 明 确 题 意 ， 准 确 构 造 直 角 三 角 形 是 解 题 的 关 键 ．23． (1)2022不 是 “勾 股 和 数 ”， 5055是 “勾 股 和 数 ”； 理 由 见 解 析(2)8109或 8190或 4536或 4563．【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 “勾 股 和 数 ”的 定 义 进 行 验 证 即 可 ；

答 案 第 17页 ， 共 23页

（ 2） 由 “勾 股 和 数 ”的 定 义 可 得 2 210a b c d? ? ? ， 根 据 ? ?G M ， ? ?P M 均 是 整 数 可 得 9c d? ? ，2 2 81 2c d cd? ? ? 为 3的 倍 数 ， 据 此 得 出 符 合 条 件 的 c， d 的 值 ， 然 后 即 可 确 定 出 M．(1)解 ： 2022不 是 “勾 股 和 数 ”， 5055是 “勾 股 和 数 ”；理 由 ： ∵ 2 22 2 8? ? ， 8 20? ，∴ 1022不 是 “勾 股 和 数 ”；∵ 2 25 5 50? ? ，∴ 5055是 “勾 股 和 数 ”；

(2)∵ M 为 “勾 股 和 数 ”，∴ 2 210a b c d? ? ? ，∴ 2 20 100c d? ? ? ，∵ ? ? 9c dG M ?? 为 整 数 ，∴ 9c d? ? ，∵ ? ? ? ? ? ? 2 2 910 10 910 33 3 ca c b d a b c dP c dM ?? ? ? ? ? ??? ?? ? 为 整 数 ，

∴ 2 2 81 2c d cd? ? ? 为 3的 倍 数 ，∴ ① 0c= ， 9d ? 或 9c? ， 0d ? ， 此 时 8109M ? 或 8190；② 3c ? ， 6d ? 或 6c? ， 3d ? ， 此 时 4536M ? 或 4563，综 上 ， M 的 值 为 8109或 8190或 4536或 4563．【 点 睛 】本 题 以 新 定 义 为 背 景 考 查 了 整 式 混 合 运 算 的 应 用 以 及 学 生 应 用 知 识 的 能 力 ， 解 题 关 键 是 要 理解 新 定 义 ， 能 根 据 条 件 找 出 合 适 的 “勾 股 和 数 ”．24． (1) 21 42y x x? ? ?

(2)254 ， 3 35,2 8P? ??? ?? ?(3) 1 1 45,2 8N ? ?? ?? ?； 2 15 13,2 8N ? ??? ?? ?； 3 1 13,2 8N ? ??? ?? ?【 解 析 】【 分 析 】

答 案 第 18页 ， 共 23页

（ 1） 将 点 A， B 的 坐 标 代 入 抛 物 线 212y x bx c? ? ? 中 求 出 b， c 即 可 ；（ 2） 设 PD交 BC于 H ， 可 得 PC PH? ， 求 出 直 线 AB 的 解 析 式 ， 设 21, 42P t t t? ?? ?? ?? ? ， 则? ?, 4H t t? ， ? ?,0D t ， 表 示 出 PC PD? ， 然 后 根 据 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 值 即 可 ；（ 3） 根 据 平 移 的 性 质 可 得 平 移 后 抛 物 线 解 析 式 及 点 E、 F 坐 标 ， 设 ? ?4,M m? ，21 7, 42 2N n n n? ?? ?? ?? ? ， 分 情 况 讨 论 ： ① 当 EF 为 对 角 线 时 ， ② 当 EM 为 对 角 线 时 ， ③ 当 EN 为对 角 线 时 ， 分 别 根 据 对 角 线 交 点 的 横 坐 标 相 同 列 式 计 算 即 可 ．(1)

解 ： 将 点 ? ?0, 4A ? ， ? ?4,0B 代 入 212y x bx c? ? ? 得 ： 48 4 0c b c???? ? ? ?? ，解 得 ： 41cb???? ??? ，∴ 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 ： 21 42y x x? ? ? ；(2)如 图 ， 设 PD交 BC于 H ，∵ ? ?0, 4A ? ， ? ?4,0B ，

∴ OA＝ OB＝ 4，∴ 45OBA OAB? ?? ? ?，∵ PC∥ OB， PD∥ OA，∴ 45BCP OBA? ?? ? ?， 45PHC BHD OAB? ?? ?? ? ?，∴ PC PH? ，设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y kx b? ? ，则 44 0bk b???? ? ?? ， 解 得 ： 41bk???? ?? ，∴ 直 线 AB 的 解 析 式 为 4y x? ? ，

设 21, 42P t t t? ?? ?? ?? ? ， 则 ? ?, 4H t t? ， ? ?,0D t ，∴ 22 2 21 1 3 254 4 4 3 42 2 2 4PC PD PH PD t t t t t t t t? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ，

答 案 第 19页 ， 共 23页

∴ 当 32t ? 时 ， PC PD? 取 得 最 大 值 254 ， 此 时 3 35,2 8P? ??? ?? ?；(3)

由 题 意 得 ： 平 移 后 抛 物 线 解 析 式 为 ? ? ? ? 221 5 1 74242 25 x xy x x? ? ? ? ? ? ?? ， 7 35,2 8E? ?? ?? ?? ?，∴ 70,2F? ?? ?? ?，∵ 抛 物 线 21 742 2y x x? ? ? 的 对 称 轴 为 4x ?? ，∴ 设 ? ?4,M m? ， 21 7, 42 2N n n n? ?? ?? ?? ? ，分 情 况 讨 论 ：① 当 EF 为 对 角 线 时 ，则 74 2n? ? ?? ，

解 得 ： 12n? ， 此 时 21 7 4542 2 8n n? ? ? ，∴ 1 1 45,2 8N ? ?? ?? ?；② 当 EM 为 对 角 线 时 ，则 7 42 n? ? ? ， 即 152n?? ，此 时 21 7 1342 2 8n n? ? ? ，∴ 2 15 13,2 8N ? ??? ?? ?；③ 当 EN 为 对 角 线 时 ，

则 7 42 n? ? ?? ， 即 12n?? ，此 时 21 7 1342 2 8n n? ? ? ，∴ 3 1 13,2 8N ? ??? ?? ?，

答 案 第 20页 ， 共 23页

综 上 所 述 ， 点 N 的 坐 标 为 ： 1 1 45,2 8N ? ?? ?? ?， 2 15 13,2 8N ? ??? ?? ?， 3 1 13,2 8N ? ??? ?? ?．【 点 睛 】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 综 合 应 用 ， 待 定 系 数 法 ， 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 ， 一 次 函 数 的 性 质 ，二 次 函 数 的 最 值 ， 二 次 函 数 图 象 的 平 移 ， 平 行 四 边 形 的 性 质 等 知 识 ， 解 题 的 关 键 是 学 会 用 待定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 ， 根 据 二 次 函 数 解 析 式 求 最 大 值 以 及 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 列 方程 ．25． (1) 60EFC? ? ?(2) 2BF CF CN? ? ， 证 明 见 解 析

(3)2 14 4214?【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 在 射 线 CD上 取 一 点 K ， 使 得 CK BE? ， 证 明 CBE BCK△ ≌ △ ， 求 出CEB BKD BDK ADF? ?? ?? ?? ， 然 后 根 据 四 边 形 内 角 和 定 理 及 邻 补 角 的 性 质 得 出 答 案 ；（ 2） 证 明 ABE BCD△ ≌ △ ， 求 出 120BFC? ? ?， 倍 长 CN 至 Q， 连 接 FQ， PQ， 证 明CNM QNF△ ≌ △ ， 求 出 FQ CM BC? ? ， 在 CF 上 截 取 FP＝ FB， 连 接 BP， 易 得 PBF△ 为正 三 角 形 ， 然 后 求 出 PFQ PBC? ?? ， 证 PFQ PBC△ ≌ △ ， 可 得 PQ＝ PC， ∠ QPF＝ ∠ CPB

＝ 60°， 则 可 得 PCQ△ 为 正 三 角 形 ， 然 后 由 2BF CF PF CF PC QC CN? ? ? ? ? ? 得 出 结 论 ；（ 3） 根 据 120BFC? ? ?可 知 F 轨 迹 为 如 图 3-1中 圆 弧 ， O 为 所 在 圆 的 圆 心 ， 此 时 AO 垂 直平 分 BC， 当 P、 F 、 O三 点 共 线 时 ， PF 取 得 最 小 值 ， 设 2HL LK? ? ， 解 直 角 三 角 形 求 出PL、 PH， 再 用 面 积 法 求 出 PQ 计 算 即 可 ．(1)解 ： 如 图 1， 在 射 线 CD上 取 一 点 K ， 使 得 CK BE? ，∵ BCD CBE? ?? ， BC＝ BC，∴ CBE BCK△ ≌ △ （ SAS） ，∴ BK CE BD? ? ，

∴ CEB BKD BDK ADF? ?? ?? ?? ，∴ 180ADF AEF AEF CEB? ?? ?? ?? ? ?，∴ 180A DFE? ?? ? ?，∵ 60A? ? ?，

答 案 第 21页 ， 共 23页

∴ 120DFE? ? ?，∴ 60CFE? ? ?；(2) 2BF CF CN? ? ，

证 明 ： ∵ AB AC? ， 60A? ? ?，∴ △ABC 是 正 三 角 形 ，∴ AB＝ BC＝ AC， ∠ A＝ ∠ DBC＝ 60°，又 ∵ BD AE? ，∴ ABE BCD△ ≌ △ （ SAS） ，∴ BCF ABE? ?? ，∴ 60FBC BCF? ?? ? ?，∴ 120BFC? ? ?，倍 长 CN 至 Q， 连 接 FQ， PQ，

∵ CN＝ QN， ∠ QNF＝ ∠ CNM， NF＝ NM，∴ CNM QNF△ ≌ △ （ SAS） ，∴ FQ CM? ， ∠ QFN＝ ∠ CMN，由 旋 转 的 性 质 得 AC＝ CM，∴ FQ CM BC? ? ，在 CF 上 截 取 FP＝ FB， 连 接 BP，∵ 120BFC? ? ?，∴ 60BFP? ? ?，∴ PBF△ 为 正 三 角 形 ，

∴ ∠ BPF＝ 60°， 120PBC PCB PCB FCM? ?? ?? ?? ? ?，∴ FCM PBC? ?? ，∵ ∠ QFN＝ ∠ CMN，

答 案 第 22页 ， 共 23页

∴ FQ∥ CM，∴ PFQ FCM? ?? ，∴ PFQ PBC? ?? ，又 ∵ PB PF? ， FQ BC?∴ PFQ PBC△ ≌ △ （ SAS） ，∴ PQ＝ PC， ∠ QPF＝ ∠ CPB＝ 60°，∴ PCQ△ 为 正 三 角 形 ，∴ 2BF CF PF CF PC QC CN? ? ? ? ? ? ， 即 2BF CF CN? ? ；

(3)由 （ 2） 知 120BFC? ? ?，∴ F 轨 迹 为 如 图 3-1 中 圆 弧 ， O 为 所 在 圆 的 圆 心 ， 此 时 AO 垂 直 平 分 BC，∴ P、 F 、 O三 点 共 线 时 ， PF 取 得 最 小 值 ，∵ ∠ PAO＝ ∠ PAB＋ ∠ BAO＝ 90°，∴ 2tan 3AOAPK AP? ? ? ，∴ 45HPK? ? ?，∵ QK PF? ，

∴ 45PKH QKH? ?? ? ?，如 图 3-2， 作 HL⊥ PK 于 L，设 2HL LK? ? ，在 Rt△HLP 中 ， 2tan 3HLHPL PL? ? ? ， 即 2 23PL ? ，∴ 3PL ? ，

答 案 第 23页 ， 共 23页

∴ ? ?2 23 2 7PH ? ? ? ， 2 22 2 2 2HK ? ? ? ，设 PQ 与 HK 交 于 点 R， 则 HK 垂 直 平 分 PQ，∵ S△PHK＝ 1 12 2PK HL HK PR? ? ? ，∴ ? ?2 3 2 2 2PR? ? ? ，∴ 2 32PR ?? ，∴ 4 2 32 2PQ PR ?? ? ，

∵ BC＝ AP＝ 2 2 7PH ? ，∴ 4 2 3 1 2 14 42142 2 7PQBC ? ?? ? ? ．

【 点 睛 】本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 旋 转 的 性 质 ， 平 行 线 的 性质 ， 圆 的 基 本 性 质 ， 解 直 角 三 角 形 ， 勾 股 定 理 等 知 识 ， 综 合 性 较 强 ， 能 够 作 出 合 适 的 辅 助 线是 解 题 的 关 键 ．