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○………… 绝 密 ★ 启 用 前 2022 年 重 庆 市 中 考 数 学 真 题 （ B 卷 ）试 卷 副 标 题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1． 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2． 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I 卷 的 文 字 说 明
评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1． 2? 的 相 反 数 是 （ ）A． 2? B． 2 C． 12 D． 12?2． 下 列 北 京 冬 奥 会 运 动 标 识 图 案 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ）A． B．
C． D．3． 如 图 ， 直 线 a b∥ ， 直 线 m 与 a， b 相 交 ， 若 1 115? ? ?， 则 2? 的 度 数 为 （ ）A． 115° B． 105° C． 75° D． 65°
4． 如 图 是 小 颖 0到 12时 的 心 跳 速 度 变 化 图 ， 在 这 一 时 段 内 心 跳 速 度 最 快 的 时 刻 约 为（ ）
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※※线※※内※※答※※题※※A． 3时 B． 6时 C． 9时 D． 12时5． 如 图 ， ABC? 与 DEF? 位 似 ， 点 O 是 它 们 的 位 似 中 心 ， 且 位 似 比 为 1∶ 2， 则 ABC? 与DEF? 的 周 长 之 比 是 （ ）A． 1∶ 2 B． 1∶ 4 C． 1∶ 3 D． 1∶ 96． 把 菱 形 按 照 如 图 所 示 的 规 律 拼 图 案 ， 其 中 第 ① 个 图 案 中 有 1个 菱 形 ， 第 ② 个 图 案 中有 3个 菱 形 ， 第 ③ 个 图 案 中 有 5个 菱 形 ， …， 按 此 规 律 排 列 下 去 ， 则 第 ⑥ 个 图 案 中 菱 形的 个 数 为 （ ）
A． 15 B． 13 C． 11 D． 97． 估 计 54 4? 的 值 在 （ ）A． 6到 7之 间 B． 5到 6之 间 C． 4到 5之 间 D． 3到 4之 间8． 学 校 连 续 三 年 组 织 学 生 参 加 义 务 植 树 ， 第 一 年 共 植 树 400棵 ， 第 三 年 共 植 树 625棵 ． 设该 校 植 树 棵 数 的 年 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 ， 下 列 方 程 正 确 的 是 （ ）A． 2625(1 ) 400x? ? B． 2400(1 ) 625x? ?C． 2625 400x ? D． 2400 625x ?
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○………… 9． 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC、 BD相 交 于 点 O． E、 F 分 别 为 AC、 BD上一 点 ， 且 OE OF? ， 连 接 AF ， BE ， EF ． 若 25AFE? ? ?， 则 CBE? 的 度 数 为 （ ）A． 50° B． 55° C． 65° D． 70°10． 如 图 ， AB是 O? 的 直 径 ， C 为 O? 上 一 点 ， 过 点 C 的 切 线 与 AB的 延 长 线 交 于 点 P，
若 3 3AC PC? ? ， 则 PB的 长 为 （ ）
A． 3 B． 32 C． 2 3 D． 311． 关 于 x的 分 式 方 程 3 1 13 3x a xx x? ?? ?? ? 的 解 为 正 数 ， 且 关 于 y的 不 等 式 组 9 2( 2)2 13y yy a? ? ??? ?? ???的 解 集 为 5y≥ ， 则 所 有 满 足 条 件 的 整 数 a 的 值 之 和 是 （ ）A． 13 B． 15 C． 18 D． 2012． 对 多 项 式 x y z m n? ? ? ? 任 意 加 括 号 后 仍 然 只 含 减 法 运 算 并 将 所 得 式 子 化 简 ， 称 之为 “加 算 操 作 ”， 例 如 ： ( ) ( )x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ，( )x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ， …， 给 出 下 列 说 法 ：
① 至 少 存 在 一 种 “加 算 操 作 ”， 使 其 结 果 与 原 多 项 式 相 等 ；② 不 存 在 任 何 “加 算 操 作 ”， 使 其 结 果 与 原 多 项 式 之 和 为 0；③ 所 有 的 “加 算 操 作 ”共 有 8种 不 同 的 结 果 ．
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以 上 说 法 中 正 确 的 个 数 为 （ ）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13． 0| 2| (3 5)? ? ? ? _________．14． 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 2个 红 球 和 1个 白 球 ， 除 颜 色 外 无 其 他 差 别 ， 随 机 摸 出 一 个 球
后 ， 放 回 并 摇 匀 ， 再 随 机 摸 出 一 个 ， 两 次 都 摸 到 红 球 的 概 率 是 ________．15． 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 1AB ? ， 2BC ? ， 以 B 为 圆 心 ， BC的 长 为 半 径 画 弧 ， 交AD于 点 E． 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 _________． （ 结 果 保 留 π）
16． 特 产 专 卖 店 销 售 桃 片 、 米 花 糖 、 麻 花 三 种 特 产 ， 其 中 每 包 桃 片 的 成 本 是 麻 花 的 2倍 ，每 包 桃 片 、 米 花 糖 、 麻 花 的 售 价 分 别 比 其 成 本 高 20%、 30%、 20%． 该 店 五 月 份 销 售 桃片 、 米 花 糖 、 麻 花 的 数 量 之 比 为 1∶ 3∶ 2， 三 种 特 产 的 总 利 润 是 总 成 本 的 25%， 则 每 包米 花 糖 与 每 包 麻 花 的 成 本 之 比 为 _________．评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17． 计 算 ：(1)( )( ) ( 2)x y x y y y? ? ? ? ；
(2) 2 24 41 2 4m m mm m? ?? ?? ?? ?? ? ?? ．18． 我 们 知 道 ， 矩 形 的 面 积 等 于 这 个 矩 形 的 长 乘 宽 ， 小 明 想 用 其 验 证 一 个 底 为 a， 高 为h 的 三 角 形 的 面 积 公 式 为 12S ah? ． 想 法 是 ： 以 BC为 边 作 矩 形 BCFE ， 点 A 在 边 FE上 ，再 过 点 A 作 BC的 垂 线 ， 将 其 转 化 为 证 三 角 形 全 等 ， 由 全 等 图 形 面 积 相 等 来 得 到 验 证 ． 按以 上 思 路 完 成 下 面 的 作 图 与 填 空 ： 证 明 ： 用 直 尺 和 圆 规 过 点 A 作 BC的 垂 线 AD交 BC于点 D． （ 只 保 留 作 图 痕 迹 ）
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○………… 在 ADC? 和 CFA△ 中 ，∵ AD BC? ，∴ 90ADC? ? ?．∵ 90F? ? ?，∴ ______① ____．∵ EF BC∥ ，
∴ ______② _____．又 ∵ ____③ ______．∴ ADC CFA△ ≌ △ （ AAS） ．同 理 可 得 ： _____④ ______．1 1 1 12 2 2 2ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFES S S S S S ah? ? ? ? ? ?? ? ? 矩 形 矩 形 矩 形 ．19． 在 “世 界 读 书 日 ”到 来 之 际 ， 学 校 开 展 了 课 外 阅 读 主 题 周 活 动 ， 活 动 结 束 后 ， 经 初 步统 计 ， 所 有 学 生 的 课 外 阅 读 时 长 都 不 低 于 6小 时 ， 但 不 足 12小 时 ， 从 七 ， 八 年 级 中 各随 机 抽 取 了 20名 学 生 ， 对 他 们 在 活 动 期 间 课 外 阅 读 时 长 （ 单 位 ： 小 时 ） 进 行 整 理 、 描
述 和 分 析 （ 阅 读 时 长 记 为 x， 6 7x? ? ， 记 为 6； 7 8x? ? ， 记 为 7； 8 9x? ? ， 记 为 8； …以 此 类 推 ） ， 下 面 分 别 给 出 了 抽 取 的 学 生 课 外 阅 读 时 长 的 部 分 信 息 ，七 年 级 抽 取 的 学 生 课 外 阅 读 时 长 ：6， 7， 7， 7， 7， 8， 8， 8， 8， 8， 8， 8， 9， 9， 9， 9， 9， 10， 10， 11，七 、 八 年 级 抽 取 的 学 生 课 外 阅 读 时 长 统 计 表年 级 七 年 级 八 年 级平 均 数 8.3 8.3
众 数 a 9中 位 数 8 b8小 时 及 以 上 所 占 百 分 比 75% c
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根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)填 空 ： ?a ______________， b?______________， c?______________．(2)该 校 七 年 级 有 400名 学 生 ， 估 计 七 年 级 在 主 题 周 活 动 期 间 课 外 阅 读 时 长 在 9小 时 及 以上 的 学 生 人 数 ．(3)根 据 以 上 数 据 ， 你 认 为 该 校 七 ， 八 年 级 学 生 在 主 题 周 活 动 中 ， 哪 个 年 级 学 生 的 阅 读 积极 性 更 高 ？ 请 说 明 理 由 ， （ 写 出 一 条 理 由 即 可 ）20． 反 比 例 函 数 4y x? 的 图 象 如 图 所 示 ， 一 次 函 数 y kx b? ? （ 0k ? ） 的 图 象 与 4y x? 的图 象 交 于 ( ,4)A m ， ( 2, )B n? 两 点 ，
(1)求 一 次 函 数 的 表 达 式 ， 并 在 所 给 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 面 出 该 函 数 的 图 象 ；(2)观 察 图 象 ， 直 接 写 出 不 等 式 4kx b x? ? 的 解 集 ；(3)一 次 函 数 y kx b? ? 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 C， 连 接 OA， 求 OAC? 的 面 积 ．21． 为 保 障 蔬 菜 基 地 种 植 用 水 ， 需 要 修 建 灌 溉 水 渠 ．(1)计 划 修 建 灌 溉 水 渠 600米 ， 甲 施 工 队 施 工 5天 后 ， 增 加 施 工 人 员 ， 每 天 比 原 来 多 修 建20米 ， 再 施 工 2天 完 成 任 务 ， 求 甲 施 工 队 增 加 人 员 后 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 多 少 米 ？(2)因 基 地 面 积 扩 大 ， 现 还 需 修 建 另 一 条 灌 溉 水 渠 1800米 ， 为 早 日 完 成 任 务 ， 决 定 派 乙施 工 队 与 甲 施 工 队 同 时 开 工 合 作 修 建 这 条 水 渠 ， 直 至 完 工 ． 甲 施 工 队 按 （ 1） 中 增 加 人
员 后 的 修 建 速 度 进 行 施 工 ． 乙 施 工 队 修 建 360米 后 ， 通 过 技 术 更 新 ， 每 天 比 原 来 多 修 建
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○………… 20%， 灌 溉 水 渠 完 工 时 ， 两 施 工 队 修 建 的 长 度 恰 好 相 同 ． 求 乙 施 工 队 原 来 每 天 修 建 灌 溉水 渠 多 少 米 ？22． 湖 中 小 岛 上 码 头 C 处 一 名 游 客 突 发 疾 病 ， 需 要 救 援 ． 位 于 湖 面 B 点 处 的 快 艇 和 湖岸 A 处 的 救 援 船 接 到 通 知 后 立 刻 同 时 出 发 前 往 救 援 ． 计 划 由 快 艇 赶 到 码 头 C 接 该 游 客 ，再 沿 CA方 向 行 驶 ， 与 救 援 船 相 遇 后 将 该 游 客 转 运 到 救 援 船 上 ． 已 知 C 在 A 的 北 偏 东 30°方 向 上 ， B 在 A 的 北 偏 东 60°方 向 上 ， 且 B 在 C 的 正 南 方 向 900米 处 ．
(1)求 湖 岸 A 与 码 头 C 的 距 离 （ 结 果 精 确 到 1米 ， 参 考 数 据 ： 3 1.732? ） ；(2)救 援 船 的 平 均 速 度 为 150米 /分 ， 快 艇 的 平 均 速 度 为 400米 /分 ， 在 接 到 通 知 后 ， 快 艇能 否 在 5分 钟 内 将 该 游 客 送 上 救 援 船 ？ 请 说 明 理 由 ．（ 接 送 游 客 上 下 船 的 时 间 忽 略 不 计 ）23． 对 于 一 个 各 数 位 上 的 数 字 均 不 为 0的 三 位 自 然 数 N， 若 N 能 被 它 的 各 数 位 上 的 数 字之 和 m 整 除 ， 则 称 N 是 m 的 “和 倍 数 ”．例 如 ： ∵ 247 (2 4 7) 247 13 19? ? ? ? ? ? ， ∴ 247是 13的 “和 倍 数 ”．又 如 ： ∵ 214 (2 1 4) 214 7 30 4? ? ? ? ? ? ? ? ， ∴ 214不 是 “和 倍 数 ”．(1)判 断 357， 441是 否 是 “和 倍 数 ”？ 说 明 理 由 ；
(2)三 位 数 A 是 12的 “和 倍 数 ”， a， b， c 分 别 是 数 A 其 中 一 个 数 位 上 的 数 字 ， 且 a b c? ? ． 在a， b， c 中 任 选 两 个 组 成 两 位 数 ， 其 中 最 大 的 两 位 数 记 为 ( )F A ， 最 小 的 两 位 数 记 为 ( )G A ，若 ( ) ( )16F A G A? 为 整 数 ， 求 出 满 足 条 件 的 所 有 数 A．24． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 234y x bx c?? ? ? 与 x 轴 交 于 点 (4,0)A ， 与 y轴 交 于 点 (0,3)B ．
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(1)求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ；(2)点 P 为 直 线 AB上 方 抛 物 线 上 一 动 点 ， 过 点 P 作 PQ x? 轴 于 点 Q， 交 AB于 点 M， 求65PM AM? 的 最 大 值 及 此 时 点 P 的 坐 标 ；(3)在 （ 2） 的 条 件 下 ， 点 P?与 点 P 关 于 抛 物 线 234y x bx c?? ? ? 的 对 称 轴 对 称 ． 将 抛 物线 234y x bx c?? ? ? 向 右 平 移 ， 使 新 抛 物 线 的 对 称 轴 l 经 过 点 A． 点 C 在 新 抛 物 线 上 ，点 D 在 l 上 ， 直 接 写 出 所 有 使 得 以 点 A、 P?、 C、 D 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 点D 的 坐 标 ， 并 把 求 其 中 一 个 点 D 的 坐 标 的 过 程 写 出 来 ．25． 在 ABC? 中 ， 90BAC? ? ?， 2 2AB AC? ? ， D 为 BC的 中 点 ， E， F 分 别 为 AC，AD
上 任 意 一 点 ， 连 接 EF ， 将 线 段 EF 绕 点 E 顺 时 针 旋 转 90°得 到 线 段 EG， 连 接 FG ，AG．
(1)如 图 1， 点 E 与 点 C 重 合 ， 且 GF 的 延 长 线 过 点 B， 若 点 P 为 FG 的 中 点 ， 连 接 PD，求 PD的 长 ；(2)如 图 2， EF 的 延 长 线 交 AB于 点 M， 点 N 在 AC上 ， AGN AEG? ?? 且 GN MF? ，求 证 ： AM AF? ? 2AE；(3)如 图 3， F 为 线 段 AD上 一 动 点 ， E 为 AC的 中 点 ， 连 接 BE ， H 为 直 线 BC上 一 动 点 ，连 接 EH ， 将 BEH△ 沿 EH 翻 折 至 ABC? 所 在 平 面 内 ， 得 到 B EH?△ ， 连 接 BG? ， 直 接写 出 线 段 BG? 的 长 度 的 最 小 值 ．
答 案 第 1页 ， 共 24页
参 考 答 案 ：1． B【 解 析 】【 分 析 】根 据 相 反 数 的 定 义 可 得 结 果 ．【 详 解 】因 为 -2+2=0， 所 以 -2的 相 反 数 是 2，故 选 ： B．【 点 睛 】
本 题 考 查 求 相 反 数 ， 熟 记 相 反 数 的 概 念 是 解 题 的 关 键 ．2． C【 解 析 】【 分 析 】根 据 轴 对 称 图 形 的 定 义 进 行 逐 一 判 断 即 可 ．【 详 解 】A.不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 A错 误 ；B.不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 B错 误 ；C.是 轴 对 称 图 形 ， 故 C正 确 ；
D.不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 D错 误 ．故 选 ： C．【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 轴 对 称 图 形 的 定 义 ， 如 果 一 个 平 面 图 形 沿 一 条 直 线 折 叠 ， 直 线 两 旁 的 部 分 能够 互 相 重 合 ， 这 个 图 形 就 叫 做 轴 对 称 图 形 ．3． A【 解 析 】【 分 析 】根 据 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 即 可 求 得 结 果 ．
【 详 解 】∵ a b∥ ，∴ 2? 1?? =115°（ 两 直 线 平 行 同 位 角 相 等 ） ，
答 案 第 2页 ， 共 24页
故 选 ： A．【 点 睛 】本 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质 ， 比 较 简 单 ， 熟 练 掌 握 平 行 线 的 性 质 是 解 题 的 关 键 ．4． C【 解 析 】【 分 析 】分 析 图 象 的 变 化 趋 势 和 位 置 的 高 低 ， 即 可 求 出 答 案 ．【 详 解 】解 ： ∵ 观 察 小 颖 0到 12时 的 心 跳 速 度 变 化 图 ， 可 知 大 约 在 9时 图 象 的 位 置 最 高 ，
∴ 在 0到 12时 内 心 跳 速 度 最 快 的 时 刻 约 为 9时 ，故 选 ： C【 点 睛 】此 题 考 查 了 函 数 图 象 ， 由 纵 坐 标 看 出 心 跳 速 度 ， 横 坐 标 看 出 时 间 是 解 题 的 关 键 ．5． A【 解 析 】【 分 析 】根 据 位 似 图 形 是 相 似 图 形 ， 位 似 比 等 于 相 似 比 ， 相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于 相 似 比 即 可 求 解 ．【 详 解 】
解 ： ∵ ABC? 与 DEF? 位 似∴ ABC DEF∽△ △∵ ABC? 与 DEF? 的 位 似 比 是 1:2∴ ABC? 与 DEF? 的 相 似 比 是 1:2∴ ABC? 与 DEF? 的 周 长 比 是 1:2故 选 ： A．【 点 睛 】本 题 考 查 了 位 似 变 换 ， 解 题 的 关 键 是 掌 握 位 似 变 换 的 性 质 和 相 似 三 角 形 的 性 质 ．6． C
【 解 析 】【 分 析 】根 据 第 ① 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： 1； 第 ② 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： 1 2 3? ? ； 第 ③ 个 图 案 中 菱 形
答 案 第 3页 ， 共 24页
的 个 数 ： 1 2 2 5? ? ? ； …第 n 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： ? ?1 2 1n? ? ， 算 出 第 ⑥ 个 图 案 中 菱 形 个数 即 可 ．【 详 解 】解 ： ∵ 第 ① 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： 1；第 ② 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： 1 2 3? ? ；第 ③ 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： 1 2 2 5? ? ? ；…第 n 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 ： ? ?1 2 1n? ? ，
∴ 则 第 ⑥ 个 图 案 中 菱 形 的 个 数 为 ： ? ?1 2 6 1 11? ? ? ? ， 故 C正 确 ．故 选 ： C．【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 的 是 图 案 的 变 化 ， 解 题 的 关 键 是 根 据 已 知 图 案 归 纳 出 图 案 个 数 的 变 化 规 律 ．7． D【 解 析 】【 分 析 】根 据 49<54<64， 得 到 7 54 8? ? ， 进 而 得 到 3 54 4 4? ? ? ， 即 可 得 到 答 案 ．
【 详 解 】解 ： ∵ 49<54<64，∴ 7 54 8? ? ，∴ 3 54 4 4? ? ? ， 即 54 4? 的 值 在 3到 4之 间 ，故 选 ： D．【 点 睛 】此 题 考 查 了 无 理 数 的 估 算 ， 正 确 掌 握 无 理 数 的 估 算 方 法 是 解 题 的 关 键 ．8． B
【 解 析 】【 分 析 】第 一 年 共 植 树 400棵 ， 第 二 年 植 树 400（ 1+x） 棵 ， 第 三 年 植 树 400（ 1+x） 2棵 ， 再 根 据 题 意列 出 方 程 即 可 ．
答 案 第 4页 ， 共 24页
【 详 解 】第 一 年 植 树 为 400棵 ， 第 二 年 植 树 为 400（ 1+x） 棵 ， 第 三 年 400（ 1+x） 2棵 ， 根 据 题 意 列 出方 程 ： 2400(1 ) 625x? ? ．故 选 ： B．【 点 睛 】本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 应 用 ， 属 于 增 长 率 的 常 规 应 用 题 ， 解 决 此 类 题 目 要 多 理 解 、 练 习增 长 率 相 关 问 题 ．9． C
【 解 析 】【 分 析 】根 据 正 方 形 的 性 质 证 明 △ AOF≌ △ BOE（ SAS） ， 得 到 ∠ OBE=∠ OAF， 利 用 OE=OF，∠ EOF=90°， 求 出 ∠ OEF=∠ OFE=45°， 由 此 得 到 ∠ OAF=∠ OEF-∠ AFE=20°， 进 而 得 到 ∠ CBE的 度 数 ．【 详 解 】解 ： 在 正 方 形 ABCD中 ， AO=BO， ∠ AOD=∠ AOB=90°， ∠ CBO=45°，∵ OE OF? ，∴ △ AOF≌ △ BOE（ SAS） ，
∴ ∠ OBE=∠ OAF，∵ OE=OF， ∠ EOF=90°，∴ ∠ OEF=∠ OFE=45°，∵ 25AFE? ? ?，∴ ∠ OAF=∠ OEF-∠ AFE=20°，∴ ∠ CBE=∠ CBO+∠ OBE=45°+20°=65°，故 选 ： C．【 点 睛 】此 题 考 查 了 正 方 形 的 性 质 ， 全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质 ， 熟 记 正 方 形 的 性 质 是 解 题 的 关 键 ．
10． D【 解 析 】【 分 析 】
答 案 第 5页 ， 共 24页
连 接 OC， 根 据 AC PC? ， OC OA? ， 证 出 A OCA P? ?∠ ∠ ∠ ， 求 出 30A OCA P? ? ? ?∠ ∠ ∠ ，在 Rt OPC△ 中 ， tan OCP PC?∠ ,cos PCP OP?∠ ， 解 得 OC 、 OP的 长 度 即 可 求 出 PB的 长 度 ．【 详 解 】解 ： 连 接 OC， 如 图 所 示 ，
∵ AC PC? ，∴ A P? ?? ，∵ OC OA? ，∴ A OCA? ?? ，∴ A OCA P? ?∠ ∠ ∠ ，∵ PC是 O? 的 切 线 ，∴ 90OCP? ? ?，∵ 180A P OCA OCP? ? ? ? ?∠ ∠ ∠ ∠ ，∴ 30A OCA P? ? ? ?∠ ∠ ∠ ，
在 Rt OPC△ 中 ， tan OCP PC?∠ ， cos PCP OP?∠ ，∴ 3tan 3 3 33OC PC P? ? ? ? ?∠ ， 3 3 6cos 32PCOP P? ? ?∠ ，∵ PB OP OB? ? ， 3OB? ，∴ 3PB? ，故 选 D．【 点 睛 】
答 案 第 6页 ， 共 24页
本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 、 切 线 的 性 质 、 解 直 角 三 角 形 等 知 识 点 ， 正 确 作 出 辅 助 线 是 解答 此 题 的 关 键 ．11． A【 解 析 】【 分 析 】先 通 过 分 式 方 程 求 出 a的 一 个 取 值 范 围 ， 再 通 过 不 等 式 组 的 解 集 求 出 a的 另 一 个 取 值 范 围 ，两 个 范 围 结 合 起 来 就 得 到 a的 有 限 个 整 数 解 ．【 详 解 】由 分 式 方 程 的 解 为 整 数 可 得 ： 3 1 3x a x x? ? ? ? ?
解 得 ： 2? ?x a又 题 意 得 ： 2 0a? ? 且 2 3a? ?∴ 2a? 且 5a ? ，由 ? ?9 2 2y y? ? ? 得 ： 5y≥由 2 13y a? ? 得 ： 32ay ??∵ 解 集 为 5y≥∴ 3 52a? ?
解 得 ： 7a?综 上 可 知 a 的 整 数 解 有 ： 3， 4， 6它 们 的 和 为 ： 13故 选 ： A．【 点 睛 】本 题 考 查 含 参 数 的 分 式 方 程 和 含 参 数 的 不 等 数 组 ， 掌 握 由 解 集 倒 推 参 数 范 围 是 本 题 关 键 ．12． D【 解 析 】【 分 析 】
给 x y? 添 加 括 号 ， 即 可 判 断 ① 说 法 是 否 正 确 ； 根 据 无 论 如 何 添 加 括 号 ， 无 法 使 得 x的 符 号为 负 号 ， 即 可 判 断 ② 说 法 是 否 正 确 ； 列 举 出 所 有 情 况 即 可 判 断 ③ 说 法 是 否 正 确 ．【 详 解 】
答 案 第 7页 ， 共 24页
解 ： ∵ ? ?x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ ① 说 法 正 确∵ 0x y z m n x y z m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 ∵ 无 论 如 何 添 加 括 号 ， 无 法 使 得 x的 符 号 为 负 号∴ ② 说 法 正 确∵ 当 括 号 中 有 两 个 字 母 ， 共 有 4种 情 况 ， 分 别 是 ? ?x y z m n? ? ? ? 、 ? ?x y z m n? ? ? ? 、? ?x y z m n? ? ? ? 、 ? ?x y z m n? ? ? ? ；当 括 号 中 有 三 个 字 母 ， 共 有 3种 情 况 ， 分 别 是 ? ?x y z m n? ? ? ? 、 ? ?x y z m n? ? ? ? 、? ?x y z m n? ? ? ?
；当 括 号 中 有 四 个 字 母 ， 共 有 1种 情 况 ， ? ?x y z m n? ? ? ?∴ 共 有 8种 情 况∴ ③ 说 法 正 确∴ 正 确 的 个 数 为 3故 选 D．【 点 睛 】本 题 考 查 了 新 定 义 运 算 ， 认 真 阅 读 ， 理 解 题 意 是 解 答 此 题 的 关 键 ．
13． 3【 解 析 】【 分 析 】先 计 算 绝 对 值 和 零 指 数 幂 ， 再 进 行 计 算 即 可 求 解 ．【 详 解 】解 ： 0| 2| (3 5) 2 1 3? ? ? ? ? ?故 答 案 为 ： 3．【 点 睛 】
本 题 考 查 了 实 数 的 运 算 ， 解 答 此 题 的 关 键 是 要 掌 握 负 数 的 绝 对 值 等 于 它 的 相 反 数 ， 任 何 不 为0的 数 的 0次 幂 都 等 于 1．14． 49
答 案 第 8页 ， 共 24页
【 解 析 】【 分 析 】画 树 状 图 列 出 所 有 等 可 能 结 果 ， 从 中 找 出 符 合 条 件 的 结 果 数 ， 再 根 据 概 率 公 式 求 解 即 可 ．【 详 解 】解 ： 画 树 状 图 如 下 ：
由 树 状 图 可 知 ， 共 有 9种 等 可 能 结 果 ， 其 中 两 次 都 摸 到 红 球 的 有 4种 结 果 ，所 以 两 次 都 摸 到 红 球 的 概 率 为 49 ，故 答 案 为 ： 49 ．【 点 睛 】本 题 考 查 了 列 表 法 或 树 状 图 法 求 概 率 ． 用 到 的 知 识 点 为 ： 概 率 =所 求 情 况 数 与 总 情 况 数 之 比 ．15． π3【 解 析 】【 分 析 】
先 根 据 特 殊 角 的 锐 角 三 角 函 数 值 ， 求 出 ABE? ， 进 而 求 出 EBC? ， 再 根 据 扇 形 的 面 积 公 式 求解 即 可 ．【 详 解 】解 ： ∵ 矩 形 ABCD，90A ABC?? ?? ? ? ，? 以 B 为 圆 心 ， BC的 长 为 半 轻 画 弧 ， 交 AD于 点 E， 2BC ? ，2BE BC? ? ? ，在 Rt ABE△ 中 ， 1AB ? ，1cos 2ABABE BE? ? ? ?
，60ABE?? ? ? ，90 60 30EBC?? ? ?? ?? ? ，
答 案 第 9页 ， 共 24页
S 阴 影 230π 2 π360 3?? ? ．故 答 案 为 ： π3 ．【 点 睛 】本 题 考 查 了 由 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 角 度 数 ， 矩 形 的 性 质 ， 扇 形 的 面 积 的 计 算 ， 综 合 掌 握 以上 知 识 点 并 熟 练 运 用 是 解 题 的 关 键 ．16． 4： 3【 解 析 】【 分 析 】
设 每 包 麻 花 的 成 本 为 x 元 ， 每 包 米 花 糖 的 成 本 为 y 元 ， 桃 片 的 销 售 量 为 m 包 ， 则 每 包 桃 片的 成 本 为 2x 元 ， 米 花 糖 的 销 售 量 为 3m 包 ， 麻 花 的 销 售 量 为 2m 包 ， 根 据 三 种 特 产 的 总 利 润是 总 成 本 的 25%列 得 2 20% 30% 3 20% 2 25%2 3 2x m y m x mmx my mx? ? ? ? ? ? ?? ? ， 计 算 可 得 ．【 详 解 】解 ： 设 每 包 麻 花 的 成 本 为 x 元 ， 每 包 米 花 糖 的 成 本 为 y 元 ， 桃 片 的 销 售 量 为 m 包 ， 则 每 包桃 片 的 成 本 为 2x 元 ， 米 花 糖 的 销 售 量 为 3m 包 ， 麻 花 的 销 售 量 为 2m 包 ， 由 题 意 得2 20% 30% 3 20% 2 25%2 3 2x m y m x mmx my mx? ? ? ? ? ? ?? ? ，解 得 3y=4x，
∴ y： x=4： 3，故 答 案 为 ： 4： 3．【 点 睛 】此 题 考 查 了 三 元 一 次 方 程 的 实 际 应 用 ， 正 确 理 解 题 意 确 定 等 量 关 系 是 解 题 的 关 键 ．17． (1) 2 2x y?(2) 2 2m?【 解 析 】【 分 析 】
（ 1） 根 据 平 方 差 公 式 和 单 项 式 乘 多 项 式 法 则 进 行 计 算 ， 再 合 并 同 类 项 即 可 ；（ 2） 先 将 括 号 里 通 分 计 算 ， 所 得 的 结 果 再 和 括 号 外 的 分 式 进 行 通 分 计 算 即 可 ．(1)解 ： ( )( ) ( 2)x y x y y y? ? ? ?
答 案 第 10页 ， 共 24页
= 2 2 2 2x y y y? ? ?= 2 2x y?(2)解 ： 2 24 41 2 4m m mm m? ?? ?? ?? ?? ? ??= ? ?? ?? ?222 2 2 2mm mm m m?? ? ?? ? ?= ? ?? ?? ?22 22 2 2m mm m? ??? ?
= 2 2m?【 点 睛 】本 题 考 查 了 平 方 差 公 式 、 单 项 式 乘 多 项 式 、 合 并 同 类 项 、 分 式 的 混 合 运 算 等 知 识 点 ， 熟 练 掌握 运 算 法 则 是 解 答 本 题 的 关 键 ．18． 图 见 解 析 ， ∠ ADC=∠ F； ∠ 1=∠ 2； AC=AC； △ ABD≌ △ BAE【 解 析 】【 分 析 】根 据 垂 线 的 作 图 方 法 作 图 即 可 ， 利 用 垂 直 的 定 义 得 到 ∠ ADC=∠ F， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到
∠ 1=∠ 2， 即 可 证 明 △ ADC≌ △ CAF， 同 理 可 得 △ ABD≌ △ BAE， 由 此 得 到 结 论 ．【 详 解 】解 ： 如 图 ， AD 即 为 所 求 ，
在 ADC? 和 CFA△ 中 ，∵ AD BC? ，∴ 90ADC? ? ?．∵ 90F? ? ?，
答 案 第 11页 ， 共 24页
∴ ∠ ADC=∠ F．∵ EF BC∥ ，∴ ∠ 1=∠ 2．又 ∵ AC=AC．∴ ADC CFA△ ≌ △ （ AAS） ．同 理 可 得 ： △ ABD≌ △ BAE．1 1 1 12 2 2 2ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFES S S S S S ah? ? ? ? ? ?? ? ? 矩 形 矩 形 矩 形 ．故 答 案 为 ： ∠ ADC=∠ F； ∠ 1=∠ 2； AC=AC； △ ABD≌ △ BAE．
【 点 睛 】此 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质 ， 垂 线 的 作 图 方 法 ， 矩 形 的 性 质 ， 熟 练 掌 握 三 角 形 的 判定 定 理 是 解 题 的 关 键 ．19． (1)8， 8.5， 65%(2)160名(3)八 年 级 阅 读 积 极 性 更 高 .理 由 ： 七 年 级 和 八 年 级 阅 读 时 长 平 均 数 一 样 ， 八 年 级 阅 读 时 长 的众 数 和 中 位 数 都 比 七 年 级 高 （ 合 理 即 可 ）【 解 析 】【 分 析 】
（ 1） 根 据 众 数 、 中 位 数 、 百 分 比 的 意 义 求 解 即 可 ；（ 2） 用 400名 学 生 乘 七 年 级 在 主 题 周 活 动 期 间 课 外 阅 读 时 长 在 9小 时 及 以 上 所 占 的 百 分 比即 可 求 解 ；（ 3） 根 据 七 年 级 阅 读 时 长 为 8小 时 及 以 上 所 占 百 分 比 比 八 年 级 高 进 行 分 析 即 可 ．(1)解 ： ∵ 七 年 级 学 生 阅 读 时 长 出 现 次 数 最 多 是 8小 时∴ 众 数 是 8， 即 8a ?∵ 将 八 年 级 学 生 阅 读 时 长 从 小 到 大 排 列 ， 处 在 中 间 位 置 的 两 个 数 的 平 均 数 为 8 9 8.52? ?
∴ 八 年 级 学 生 阅 读 时 长 的 中 位 数 为 8.5， 即 8.5b?∵ 八 年 级 学 生 阅 读 时 长 为 8小 时 及 以 上 的 人 数 为 13∴ 八 年 级 学 生 阅 读 时 长 为 8小 时 及 以 上 所 占 百 分 比 为 13 100% 65%20? ? ， 即 65%c?综 上 所 述 ： 8a ? ， 8.5b? ， 65%c?
答 案 第 12页 ， 共 24页
(2)解 ： 8400 16020? ? （ 名 ）答 ： 估 计 七 年 级 在 主 题 周 活 动 期 间 课 外 阅 读 时 长 在 9小 时 及 以 上 的 学 生 人 数 为 160名 ．(3)解 ： ∵ 七 年 级 和 八 年 级 阅 读 时 长 平 均 数 一 样 ， 八 年 级 阅 读 时 长 众 数 和 中 位 数 都 比 七 年 级 高∴ 八 年 级 阅 读 积 极 性 更 高 （ 合 理 即 可 ）【 点 睛 】本 题 考 查 了 条 形 统 计 图 、 统 计 表 、 众 数 、 中 位 数 等 知 识 点 ， 能 够 读 懂 统 计 图 和 统 计 表 并 理 解
相 关 概 念 是 解 答 本 题 的 关 键 ．20． (1)一 次 函 数 的 表 达 式 为 2 2y x? ? ； 函 数 图 象 见 解 析 ；(2) 2x?? 或 0 1x? ?(3)2【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 把 ( ,4)A m ， ( 2, )B n? 分 别 代 入 4y x? 求 出 m， n 的 值 ， 再 运 用 待 系 数 法 求 出 a， b 的 值 即可 ；
（ 2） 根 据 交 点 坐 ， 结 合 函 数 图 象 即 可 解 答 ；（ 3） 先 求 出 点 C的 坐 标 ， 再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 解 即 可 ．(1)∵ 一 次 函 数 y kx b? ? （ 0k ? ） 的 图 象 与 4y x? 的 图 象 交 于 ( ,4)A m ， ( 2, )B n? 两 点 ，∴ 把 ( ,4)A m ， ( 2, )B n? 分 别 代 入 4y x? ， 得 ，4 4, 2 4m n? ? ? ，解 得 ， 1, 2m n? ?? ，∴ (1,4)A ， ( 2, 2)B ? ? ，
把 (1,4)A ， ( 2, 2)B ? ? 代 入 y kx b? ? ， 得 ：42 2k bk b? ???? ? ??? ，
答 案 第 13页 ， 共 24页
解 得 ， 22kb ??? ??∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 为 2 2y x? ? ；画 出 函 数 图 象 如 下 图 ：
(2)∵ 直 线 2 2y x? ? 与 反 比 例 函 数 4y x? 交 于 点 A（ 1， 4） ， B（ -2， -2）∴ 当 2x?? 或 0 1x? ? 时 ， 一 次 函 数 的 图 象 在 反 比 例 函 数 图 象 的 下 方 ，∴ 不 等 式 4kx b x? ? 的 解 集 为 2x?? 或 0 1x? ? ；(3)如 图 ，
对 于 2 2y x? ? ， 当 0y ? 时 ， 2 2 0x? ? ，解 得 ， 1x?? ，
答 案 第 14页 ， 共 24页
∴ 点 C 的 坐 标 为 （ -1， 0）∵ A（ 1， 4）∴ 1 1 1 4 22 2AOC AS OC y? ? ? ? ? ?? ?【 点 睛 】本 题 考 查 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ， 解 题 关 键 是 掌 握 函 数 与 方 程 及 不 等 式 的 关 系 ．21． (1)100米(2)90米【 解 析 】
【 分 析 】（ 1） 设 甲 施 工 队 增 加 人 员 后 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 x 米 ， 原 来 每 天 修 建 ? ?20x? 米 ， 根 据 工 效 问题 公 式 ： 工 作 总 量 ＝ 工 作 时 间 ×工 作 效 率 ， 列 出 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程 ， 解 方 程 即 可 得 出 答案 ；（ 2） 设 乙 施 工 队 原 来 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 y 米 ， 技 术 更 新 后 每 天 修 建 ? ?1 20 y? ％ 米 ， 根 据 水 渠总 长 1800米 ， 完 工 时 ， 两 施 工 队 修 建 长 度 相 同 ， 可 知 每 队 修 建 900米 ， 再 结 合 两 队 同 时 开工 修 建 ， 直 至 同 时 完 工 ， 可 得 两 队 工 作 时 间 相 同 ， 列 出 关 于 y 的 分 式 方 程 ， 解 方 程 即 可 得 出答 案 ．
(1)解 ： 设 甲 施 工 队 增 加 人 员 后 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 x 米 ， 原 来 每 天 修 建 ? ?20x? 米 ，则 有 ? ?5 20 2 600x x? ? ?解 得 100x?∴ 甲 施 工 队 增 加 人 员 后 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 100米 ．(2)∵ 水 渠 总 长 1800米 ， 完 工 时 ， 两 施 工 队 修 建 长 度 相 同∴ 两 队 修 建 的 长 度 都 为 1800÷2＝ 900(米 )
乙 施 工 队 技 术 更 新 后 ， 修 建 长 度 为 900－ 360＝ 540(米 )解 ： 设 乙 施 工 队 原 来 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 y 米 ， 技 术 更 新 后 每 天 修 建 ? ?1 20 y? ％ 米 ， 即 1.2y 米则 有 540 360 9001.2 100y y? ?解 得 90y ?
答 案 第 15页 ， 共 24页
经 检 验 ， 90y ? 是 原 方 程 的 解 ， 符 合 题 意∴ 乙 施 工 队 原 来 每 天 修 建 灌 溉 水 渠 90米 ．【 点 睛 】本 题 考 查 一 元 一 次 方 程 和 分 式 方 程 的 实 际 应 用 ， 应 注 意 分 式 方 程 要 检 验 ， 读 懂 题 意 ， 正 确 设出 未 知 数 ， 并 列 出 方 程 ， 是 解 题 的 关 键 ．22． (1)湖 岸 A 与 码 头 C 的 距 离 为 1559米(2)在 接 到 通 知 后 ， 快 艇 能 在 5分 钟 内 将 该 游 客 送 上 救 援 船【 解 析 】【 分 析 】
（ 1） 过 点 A作 CB垂 线 ， 交 CB延 长 线 于 点 D， 设 BD x? ， 则 2AB x? ， 3AD x? ， 900CD x? ? ，在 Rt ACD△ 中 ， tan CDCAD AD? ? ， 即 可 求 出 450x? ， 根 据 Rt ACD△ 中 ， sin CDCAD AC? ? 即可 求 出 湖 岸 A与 码 头 C的 距 离 ；（ 2） 设 快 艇 将 游 客 送 上 救 援 船 时 间 为 t分 钟 ， 根 据 等 量 关 系 式 ： 救 援 船 行 驶 的 路 程 +快 艇 行驶 的 路 程 = BC AC? ， 列 出 方 程 ， 求 出 时 间 t， 再 和 5分 钟 进 行 比 较 即 可 求 解 ．(1)解 ： 过 点 A作 CB垂 线 ， 交 CB延 长 线 于 点 D， 如 图 所 示 ，
由 题 意 可 得 ： 60NAB? ? ?， 30NAC? ? ?， 900CB ? 米 ， 则 60CAD? ? ?， 30BAD? ? ?设 BD x? ， 则 2AB x? ， 3AD x? ， 900CD x? ? ，
答 案 第 16页 ， 共 24页
在 Rt ACD△ 中 ， tan CDCAD AD? ? ，∴ 9003 3 xx?? ， 解 得 450x? ，在 Rt ACD△ 中 ， sin CDCAD AC? ? ，∴ 900 450 900 3 900 1.732 1558.8 155932AC ?? ? ? ? ? ? （ 米 ） ，∴ 湖 岸 A与 码 头 C的 距 离 为 1559米 ；(2)解 ： 设 快 艇 将 游 客 送 上 救 援 船 时 间 为 t分 钟 ，
由 题 意 可 得 ： 150 400 900 1559t t? ? ? ，4.47 5t ? ＜ ，∴ 在 接 到 通 知 后 ， 快 艇 能 在 5分 钟 内 将 该 游 客 送 上 救 援 船 ．【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 解 直 角 三 角 形 及 其 应 用 ， 一 元 一 次 方 程 应 用 中 的 行 程 问 题 、 含 30°角 的 直 角三 角 形 的 三 边 关 系 等 知 识 点 ， 找 到 等 量 关 系 式 ， 构 建 直 角 三 角 形 是 解 答 本 题 的 关 键 ．23． (1)357不 是 15“和 倍 数 ”， 441是 9的 “和 倍 数 ”； 理 由 见 解 析(2)数 A 可 能 为 732或 372或 516或 156【 解 析 】
【 分 析 】（ 1） 根 据 题 目 中 给 出 的 “和 倍 数 ”定 义 进 行 判 断 即 可 ；（ 2） 先 根 据 三 位 数 A 是 12的 “和 倍 数 ”得 出 12a b c? ? ? ， 根 据 a b c? ? ， ? ?F A 是 最 大 的 两位 数 ， ? ?G A 是 最 小 的 两 位 数 ， 得 出 ? ? ? ? 10 2 10F A G A a b c? ? ? ? ， ( ) ( )16 kF A G A? ? （ k 为 整数 ） ， 结 合 12a b c? ? ? 得 出 15 2b k? ? ， 根 据 已 知 条 件 得 出 1 6b＜ ＜ ， 从 而 得 出 3b? 或 5b? ，然 后 进 行 分 类 讨 论 即 可 得 出 答 案 ．(1)解 ： ∵ ? ?357 3 5 7 357 15 23 12? ? ? ? ? ? ?????? ，
∴ 357不 是 15“和 倍 数 ”；∵ ? ?441 4 4 1 441 9 49? ? ? ? ? ? ，
答 案 第 17页 ， 共 24页
∴ 441是 9的 “和 倍 数 ”．(2)∵ 三 位 数 A 是 12的 “和 倍 数 ”，∴ 12a b c? ? ? ，∵ a b c? ? ，∴ 在 a， b， c 中 任 选 两 个 组 成 两 位 数 ， 其 中 最 大 的 两 位 数 ? ? 10F A a b? ? ， 最 小 的 两 位 数? ? 10G A c b? ? ，∴ ? ? ? ? 10 10 10 2 10F A G A a b c b a b c? ? ? ? ? ? ? ? ，
∵ ( ) ( )16F A G A? 为 整 数 ，设 ( ) ( )16 kF A G A? ? （ k 为 整 数 ） ，则 10 2 1016a b c k? ? ? ，整 理 得 ： 5 5 8a c b k? ? ? ，根 据 12a b c? ? ? 得 ： 12a c b? ? ? ，∵ a b c? ? ，∴ 12 b b? ＞ ， 解 得 6b＜ ，∵ “和 倍 数 ”是 各 数 位 上 的 数 字 均 不 为 0的 三 位 自 然 数 ，
∴ 0a b c? ? ＞ ，∴ 1b＞ ，∴ 1 6b＜ ＜ ，把 12a c b? ? ? 代 入 5 5 8a c b k? ? ? 得 ：? ?5 12 8b b k? ? ? ，整 理 得 ： 15 2b k? ? ，∵ 1 6b＜ ＜ ， k 为 整 数 ，∴ 3b ? 或 5b? ，
当 3b ? 时 ， 12 3 9a c? ? ? ? ，∵ 0a b c? ? ＞ ，∴ a＞ 3， 0 3c＜ ＜ ，
答 案 第 18页 ， 共 24页
7a? ? ， 3b? ， 2c? ， 或 8a ? ， 3b? ， 1c? ，要 使 三 位 数 A 是 12的 “和 倍 数 ”， 数 A 必 须 是 一 个 偶 数 ，当 7a? ， 3b? ， 2c? 时 ， 组 成 的 三 位 数 为 732或 372，∵ 732 12 61? ? ，∴ 732是 12的 “和 倍 数 ”，∵ 372 12 31? ? ，∴ 372是 12的 “和 倍 数 ”；当 8a ? ， 3b? ， 1c? 时 ， 组 成 的 三 位 数 为 318或 138，∵ 318 12 26 6? ? ?????? ，
∴ 318不 是 12的 “和 倍 数 ”，∵ 138 12 11 6? ? ?????? ，∴ 138不 是 12的 “和 倍 数 ”；当 5b? 时 ， 12 5 7a c? ? ? ? ，∵ 0a b c? ? ＞ ，∴ 5 7a＜ ＜ ，6a? ? ， 5b? ， 1c? ， 组 成 的 三 位 数 为 516或 156，∵ 516 12 43? ? ，∴ 516是 12的 “和 倍 数 ”，
∵ 156 12 13? ? ，∴ 156是 12的 “和 倍 数 ”；综 上 分 析 可 知 ， 数 A 可 能 为 732或 372或 516或 156．【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 新 定 义 类 问 题 ， 数 的 整 除 性 ， 列 代 数 式 ， 利 用 数 位 上 的 数 字 特 征 和 数 据 的 整除 性 ， 是 解 题 的 关 键 ， 分 类 讨 论 是 解 答 本 题 的 重 要 方 法 ， 本 题 有 一 定 的 难 度 ．24． (1) 23 9 34 4y x x?? ? ?(2) 65PM MA? 最 大 值 为 ： 274 ， 91 2P? ?? ?? ?，
(3) 454, 16D? ??? ?? ?、 454,16D? ?? ?? ?、 994,16D? ?? ?? ?【 解 析 】【 分 析 】
答 案 第 19页 ， 共 24页
（ 1） 将 ? ?4,0A 、 ? ?0,3B 代 入 抛 物 线 234y x bx c?? ? ? ， 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 根 据 AQM AOB△ ∽ △ 得 到 : : : : 3:4:5OB OA AB QM QA AM? ? ， 推 出 53AM MQ? ，即 可 得 到 6 25 AM MQ? ， 则 6 25PM MA PM MQ? ? ? ， 求 出 直 线 AB的 解 析 式 为 ： 3 34y x?? ? ，设 23 9, 34 4P m m m? ?? ? ?? ?? ? ， 则 3, 34M m m? ?? ?? ?? ? ， ? ?,0Q m ， 求 出 ? ?23 272 14 4PM MQ m? ?? ? ? ，即 可 求 解 ；（ 3） 先 求 出 平 移 后 新 抛 物 线 解 析 式 ： 23 11764 16y x x??? ? ? ， ? ?4,0A ， 92,2P ? ??? ?? ?， 设 ? ?4,D t ，23 117, 64 16C c c c? ?? ? ?? ?? ? ， 再 利 用 平 行 四 边 形 中 心 对 称 性 分 情 况 列 出 方 程 组 求 解 即 可 ．
(1)解 ： 将 ? ?4,0A 、 ? ?0,3B 代 入 抛 物 线 234y x bx c?? ? ? 可 得 ： 230 4 44 3 b cc? ?? ? ? ???? ?? ， 解 得 94b? ，∴ 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 ： 23 9 34 4y x x?? ? ? ；(2)解 ： ∵ ? ?4,0A 、 ? ?0,3B ，∴ 3OB? ， 4OA? ，在 Rt AOB? 中 ， 2 2 2 23 4 5AB OB OA? ? ? ? ? ，
∵ AQM AOB?∠ ∠ ， BAO BAO? ?? ，∴ AQM AOB△ ∽ △ ，∴ : : : : 3:4:5OB OA AB QM QA AM? ? ，∴ 53AM MQ? ，∴ 6 25 AM MQ? ，∴ 6 25PM MA PM MQ? ? ? ，设 直 线 AB的 解 析 式 为 ： y kx b? ? ，
将 ? ?4,0A 、 ? ?0,3B 代 入 可 得 ： 0 4 3k bb? ??? ?? ， 解 得 34k ?? ，∴ 直 线 AB 的 解 析 式 为 ： 3 34y x?? ? ，
答 案 第 20页 ， 共 24页
设 23 9, 34 4P m m m? ?? ? ?? ?? ? ， 则 3, 34M m m? ?? ?? ?? ? ， ? ?,0Q m ，∴ ? ?22 23 9 3 3 3 3 3 272 3 3 2 3 6 14 4 4 4 4 2 4 4PM MQ m m m m m m m? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?∵ 3 04? ＜ ， 0 4m＜ ＜ ，∴ 当 1m? 时 ， 存 在 65PM MA? 最 大 值 ， 最 大 值 为 ： 274 ， 此 时 91 2P? ?? ?? ?， ；(3)解 ： ∵ 对 称 轴 为 ： 32x ? ，
∴ 92,2P ? ??? ?? ?，∵ 直 线 l： 4x ? ，∴ 抛 物 线 向 右 平 移 52 个 单 位 ，∴ 23 11764 16y x x??? ? ? ，? ?4,0A ， 92,2P ? ??? ?? ?， 设 ? ?4,D t ， 23 117, 64 16C c c c? ?? ? ?? ?? ? ，① 以 ?AP 、 DC为 对 角 线 时 ， 24 2 49 3 1170 62 4 16ct c c? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ， 解 得 24516ct ???? ????
∴ 454, 16D? ??? ?? ?；② 以 PD? 、 AC为 对 角 线 时 ， 24 2 49 3 1170 62 4 16ct c c? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ， 解 得 24516ct ???? ???∴ 454,16D? ?? ?? ?；③ 以 AD、 PC? 为 对 角 线 时 ， 24 4 29 3 1170 62 4 16ct c c? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ， 解 得 69916ct ???? ???∴ 994,16D? ?? ?? ?．
【 点 睛 】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 解 析 式 、 一 次 函 数 的 解 析 式 、 二 次 函 数 的 性 质 、 平 行 四 边 形 的 性 质 、相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识 点 ， 解 题 的 关 键 是 能 够 熟 练 应 用 待 定 系 数 法 求 得 二 次 函 数 和
答 案 第 21页 ， 共 24页
一 次 函 数 解 析 式 ．25． (1)2(2)见 解 析(3) 10 2?【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 已 知 条 件 可 得 D为 BC的 中 点 ， 证 明 CP BG? ， 进 而 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中线 等 于 斜 边 的 一 半 即 可 求 解 ；
（ 2） 过 点 E作 EH AE? 交 AD的 延 长 线 于 点 H ， 证 明 AEG HEF? ?≌ ? ?SAS ，? ?AGB AMF AAS? ?≌ ， 可 得 AG AF? ， 进 而 根 据 AF AM FH AF AH? ? ? ? ， 2AH AE?即 可 得 出 结 论 ，（ 3） 根 据 （ 2） 可 知 90FAG? ? ?， 当 点 F 在 线 段 AD上 运 动 时 ， 点 G在 平 行 于 BC的 线 段 上运 动 ， 根 据 题 意 作 出 图 形 ， 根 据 点 到 圆 上 的 距 离 求 最 值 即 可 求 解 ．(1)如 图 ， 连 接 CP?
将 线 段 EF 绕 点 E 顺 时 针 旋 转 90°得 到 线 段 EG，?△ FCG是 等 腰 直 角 三 角 形 ，? P 为 FG 的 中 点 ，CP FG? ? ，CP PF? ? ， 45PFC FCP?? ?? ? ?，? 90BAC? ? ?， D 为 BC的 中 点 ， 2 2AB AC? ? ，AD? BC? ， 2 4BC AB? ? ，AD DC? ? ，
答 案 第 22页 ， 共 24页
在 Rt PBC? 中 ， 1 22PD BC? ? ；(2)如 图 ， 过 点 E作 EH AE? 交 AD的 延 长 线 于 点 H ，,EF EG HE AE? ??
，HEF FEA FEA AEG?? ?? ?? ?? 90? ?，? =HEF AEG? ? ， 45DAE DAC? ?? ? ?? ，AEH?? 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，AE EH? ? ，2AH AE? ? ，在 AEG△ 与 HEF? 中 ，GE FEGEA FEHAE HE???? ???? ?? AEG HEF?? ?≌ ? ?SAS
，45H GAE?? ?? ? ? ， 90GAF CAD GAE?? ?? ?? ? ? ，MAF NAG?? ?? 45? ?，又 HE AC? ， 90BAC? ? ?，? //HE AB，AMF FEH?? ?? ，? AGN AEG? ?? ，
答 案 第 23页 ， 共 24页
AEG FEH AMF? ?? ??? ，AMF AGN?? ?? ，又 GN MF? ， ? ?AASAGN AMF?? ?≌ ，? AM AG= ,AG FH?? ，AM FH? ? ，AF AM FH AF AH? ? ? ? ? ，2AH AE??
， 2AF AM AE? ? ? ；(3)由 （ 2） 可 知 90FAG? ? ?，则 当 点 F 在 线 段 AD上 运 动 时 ， 点 G在 平 行 于 BC的 线 段 上 运 动 ，?将 BEH△ 沿 EH 翻 折 至 ABC? 所 在 平 面 内 ， 得 到 B EH?△ ，? E 为 AC的 中 点 ，1 22AE AC? ? ? ，B E BE?? ? ? ? ? ?2 22 2 2 10? ? ?
，则 点 B?在 以 E为 圆 心 10 为 半 径 的 圆 上 运 动 ， 当 '', ,B G E 三 点 共 线 时 ， ''B E 最 小 ，如 图 ， 当 F 运 动 到 与 D点 重 合 时 ， BG? 取 得 最 小 值 ， 10 2BG EB AE? ?? ? ? ? ．
答 案 第 24页 ， 共 24页
如 图 ， 当 点 F 运 动 到 与 A点 重 合 时 ， BG? 取 得 最 小 值 ，此 时 2EG EF AE? ? ? ， 则 10 2BG EB AE? ?? ? ? ? ．
综 上 所 述 ， BG? 的 最 小 值 为 10 2? ．【 点 睛 】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定 ， 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 ， 勾 股 定 理 ， 全 等 三 角 形 的性 质 与 判 定 ， 轴 对 称 线 的 性 质 ， 点 到 圆 上 一 点 距 离 最 值 问 题 ， 正 确 的 添 加 辅 助 线 是 解 题 的 关键 ．
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