2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，在
菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）A．9.6B．4.8C．10D．52
．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着活
动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）A．10cmB．20cmC．30cmD．10cm3．如图，在菱形ABCD
中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）A．B．8C．D．164．如图，菱形OABC的边OA在平面直
角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（ ）A．B．C．D．（2，2）5．如图，菱形ABCD的边长为3，
过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）A．22B．20C．1
8D．166．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂
足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）A．5B．6.5C．10D．127．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动
点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）A．4B．C．6
D．8．如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（ ）A．30°B．32°C．36°D．40°9．如图
，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，CE∥BD，则△BDE的面积为（ ）A．1B．2C．3D．10．如图，在菱形ABCD
和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（ ）A．B．
C．D．二．填空题（共8小题，满分40分）11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD
角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 ．12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示
交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．13．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，
且∠AED＝50°，则∠CBO＝ 度．14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD
、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F
分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．16．如图，在平面直角坐标
系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 ．17．如图，菱形A
BCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连接DF，则DF的长为 ．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，A
C＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点
C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为 ．三．解答题（共
6小题，满分40分）19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝4，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠BE
F＝150°，求Rt△ABC的面积．20．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC
、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．21．在菱形ABCD中，∠C＝60°，E为CD边上的点，连接BE．（
1）如图1，若E为CD的中点且BE＝3，求菱形ABCD的面积．（2）如图2，点F在BC边上，且DE＝CF，连接DF交BE于点M，连
接EB并延长至点N，使得BN＝DM，求证：AN＝DM+BM．22．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F
是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．（2）如图2，当点E
不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．23．菱形ABCD中，∠A
BC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的
面积；（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．24．在菱形ABCD中，∠ABC＝
60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求
证：BE＝EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： ．（填“成立”或“不成立”）（3
）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参
考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC
⊥BD，∴BC＝＝＝10，∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝BC?AE，∴AE＝＝＝9.6，故选：A．2．解：如图1，图
2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝10cm
，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝10（cm）；故选：D
．3．解：如图，设AC，BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，∴AO＝＝＝4，∴AC＝2AO＝8，故选：C．4．解：过C作CD⊥OA于D，如图：则∠ODC＝90°，∵四边形
OABC是菱形，∴OC＝OA＝4，∵∠AOC＝60°，∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，∴DD＝OC＝2，∴CD＝＝＝2，∴点
C的坐标为（2，2），故选：A．5．解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，∵AE⊥AC，∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝
90°，∴∠BAE＝∠E，∴BE＝AB＝3，∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，同理可得AF＝6，∵AD∥BC，∴四边形AECF是平行
四边形，∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．故选：B．6．解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝
OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝，又∵E是边AD的中点，∴，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故选：B．7．解：连接BP，
如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△AB
C＝S△PAB+S△PBC，∴×6×PE+×6×PF＝12，∴PE+PF＝4，故选：A．8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠
BAE＝∠ABC＝108°，∵四边形ABCF是菱形，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝180°﹣108°＝
72°，∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故选：C．9．解：过点C作CF⊥BD于点F，，∵CE∥BD，∴点
E到BD的距离等于点C到BD的距离，∴△BDE边BD的高＝CF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BC＝CD＝2，∠DB
C＝，2BF＝BD，∴CF＝，BF＝，∴BD＝2，∴△BDE的面积＝，故选：D．10．解：如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段D
F的中点，∴FP＝DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF
＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC＝∠BE
F＝60°，∴∠GCP＝60°，∴＝；故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）11．解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝
3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD
∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得
出BD＝，∴OE＝，∴AE＝2OE＝2，故答案为：2．12．解：如图所示：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，A
B＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：
62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BG＝，∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25；故答案为：25．13．解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO＝∠AED＝50°，CD＝CB，∠BCO＝∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS
），∴∠CBO＝∠CDO＝50°．故答案为50．14．解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4
，BC＝3，∴AB＝＝5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．∵AB?OC＝AC?BC
，∴OC＝．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，∴AD＝AB﹣2OB＝．故答案是：．15．解：连接AF，如图所示：∵四
边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH＝AF，当AF⊥BC时，AF
最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝AB＝×2＝，∴GH＝，即GH的最小
值为，故答案为：．16．解：如图，∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，∴CH＝1，∴AH＝，∵∠AB
O＝∠DCH＝30°，∴DH＝AO＝，∴OD＝﹣﹣＝，∴点D的坐标是（，0）．故答案为：（，0）．17．解：延长FG交AD于点M，
过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形
AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠A
DH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．18．解：作PD⊥BC于D，
PE⊥AC于E，如图，AP＝t，BQ＝tcm，（0≤t＜6）∵∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，∴△ABC为直角三角形，∴∠A＝∠
B＝45°，∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，∴CE＝AC﹣AE＝（6﹣t）cm，∵四
边形PECD为矩形，∴PD＝EC＝（6﹣t）cm，∴BD＝（6﹣t）cm，∴QD＝BD﹣BQ＝（6﹣2t）cm，在Rt△PCE中，
PC2＝PE2+CE2＝t2+（6﹣t）2，在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2，∵四边形QPC
P′为菱形，∴PQ＝PC，∴t2+（6﹣t）2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2，∴t1＝2，t2＝6（舍去），∴t的值为2．解法二：
由题意PE＝＝t，∵四边形QPCP′为菱形，PD⊥CD，∴QD＝CD＝t，∴BD＝BQ+QD＝2t，∵PD＝EC＝6﹣t，△PBD
为等腰直角三角形，∴BD＝PD，即2t＝6﹣t，解得t＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题，满分40分）19．解：如图，分别过
点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，∵四边形ABEF为菱形，∴AB＝BE＝4，又∵∠BEF＝150°，∴∠ABE＝30°
，在Rt△BHE中，EH＝2，∵AB∥CF，根据平行线间的距离处处相等，∴HE＝CG＝2，∴Rt△ABC的面积为×4×2＝4．20
．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，∵∠E＝∠F，
∴∠BAG＝∠DAH，在△ABG和△ADH中，，∴△ABG≌△ADH（ASA）．21．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵DE＝EC，∴BE⊥CD，∴EC＝，∴CD＝2EC＝2，∴菱形
ABCD的面积＝CD?BE＝6．（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH＝MD，连接DH．∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝C
D，∴△BDE≌△DCF，∴∠DBE＝∠CDF，∴∠BMF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，∴∠DMB＝120°，
∵∠DAB+∠DMB＝180°，∴∠ADM+∠ABM＝180°，∵∠ABN+∠ABM＝180°，∴∠ABN＝∠ADM，∵AB＝AD
，BN＝DM，∴△ABN≌△ADM，∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，∴∠MAN＝∠DAB＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴∠A
MB＝∠AMD＝60°，∵MH＝MD，∴△DMH是等边三角形，∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，∴∠ADH＝∠BDM，∵A
D＝DB，DH＝DM．∴△ADH≌△BDM，∴AH＝BM，∵AM＝AH+HM，∴AN＝AM＝DM+BM．22．（1）证明：∵四边形
ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE＝∠
ABE＝30°，AE＝CE，∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，∴∠CBE＝∠F＝30°，∴BE＝EF
；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠BCD＝120
°，AB∥CD，∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，∴∠ECF＝120°，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形
，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴A
G＝AE＝GE，∠AGE＝60°，∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，又∵CF＝AE，∴GE＝CF，在△BGE和△CEF中
，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE＝EF．23．（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A
BC＝∠D＝60°，AD∥BC∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD
＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，∴4m2+3m2＝63，∴m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，∴BC
＝6，EC＝3，∴S菱形ABCD＝BC?CE＝18．（2）作CK∥AH交BE于点K．∵△AFH是等边三角形，∴∠AHF＝∠AFH＝
60°，∵AH∥CK，∴∠AHF＝∠CKE＝60°，∴∠AFB＝∠BKC＝120°，∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BC
K＝60°，∴∠ABF＝∠BCK，∵AB＝BC，∴△ABF≌△BCK（AAS），∴BK＝AF，∵∠BAC＝∠FAH＝60°，∴∠B
AF＝∠CAH，∵BA＝AC，AF＝AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴BF＝CH，∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，∴
BK＝FK＝FH，∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，∴AG＝CG．24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC
＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，∵CF＝AE
，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，∴∠CBE＝∠F＝30°，∴BE＝EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作
EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ACD＝60°，∠D
CF＝∠ABC＝60°，∴∠ECF＝120°，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，又∵CF＝AE，∴GE＝CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE＝EF．（3）解：结论成立．证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，又∵CF＝AE，∴GE＝CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE＝EF．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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