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高中数学各章节知识点汇总
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目 录
第一章 集合与命题 ........................................................................................................ 1
一、集合 ................................................................................................................... 1
二、四种命题的形式 ................................................................................................. 2
三、充分条件与必要条件 .......................................................................................... 2
第二章 不等式 ............................................................................................................... 1
第三章 函数的基本性质 ................................................................................................. 2
第四章 幂函数、指数函数和对数函数（上） .................................................................. 3
一、幂函数 ............................................................................................................... 3
二、指数函数 ............................................................................................................ 3
三、对数 ................................................................................................................... 3
四、反函数 ............................................................................................................... 4
五、对数函数 ............................................................................................................ 4
六、指数方程和对数方程 .......................................................................................... 4
第五章 三角比 ............................................................................................................... 5
一、任意角的三角比 ................................................................................................. 5
二、三角恒等式 ........................................................................................................ 5
三、解斜三角形 ........................................................................................................ 7
第六章 三角函数的图像与性质 ........................................................................................ 8
一、周期性 ............................................................................................................... 8
第七章 数列与数学归纳法 .............................................................................................. 9
一、数列 ................................................................................................................... 9
二、数学归纳法 ...................................................................................................... 10
第八章 平面向量的坐标表示 ........................................................................................ 12
第九章 矩阵和行列式初步 ............................................................................................ 14
一、矩阵 ................................................................................................................. 14
二、行列式 ............................................................................................................. 14
第十章 算法初步 .......................................................................................................... 16
第十一章 坐标平面上的直线 .......................................................................................... 17
第十二章 圆锥曲线 ........................................................................................................ 19
第十三章 复数 ............................................................................................................. 21
1
第一章 集合与命题
一、集合
1.1 集合及其表示方法
集合的概念
1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集
2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素
3、如果 a 是集合 A 的元素，就记做 a∈ A，读作“a 属于 A”
4、如果 a 不是集合 A 的元素，就记做 a ? A ，读作“ a 不属于 A”
5、数的集合简称数集：
全体自然数组成的集合，即自然数集，记作 N
不包括零的自然数组成的集合，记作 N
全体整数组成的集合，即整数集，记作 Z
全体有理数组成的集合，即有理数集，记作 Q
全体实数组成的集合，即实数集，记作 R
我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为 Z 、 Z - 、
Q 、 Q- 、 R 、 R-
6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极
7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作 ?
集合的表示方法
1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中
元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法
1.2 集合之间的关系
子集
1、对于两个集合 A 和 B，如果集合 A 中任何一个元素都属于集合 B，那么集合 A 叫做集合 B
的子集，记做 A B 或 B A，读作“ A 包含于 B”或“ B 包含 A”
2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集
3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图
相等的集合
1、 对于两个集合 A和 B， 如果 A B， 且 B A， 那么叫做集合 A 与集合 B相等， 记作 “ A=B” ，
读作“集合 A 等于集合 B” ，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等
2
1.3 集合的运算
交集
1、由交集 A 和交集 B 的所有公共元素的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A∩ B，读作 A交 B
并集
1、 由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A、 B 的并集， 记作 A∪ B，
读作 A 并 B
补集
1、在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集
合叫做全集
2、 U是全集， A 是 U的子集。 则由 U中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做 A 在全集 U中的
补集，记作 CU A，读作 A 补
二、四种命题的形式
1.4 命题的形式及等价关系
命题与推出关系
1、可以判断真假的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题
2、命题有可推导性
四种命题形式
1、 “如果 α ，那么 β ” ，如果把结论与条件互换，得到新命题“如果 β ，那么 α ”这个新命
题叫做原来命题的逆命题
2、一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定与条件的否定，那么把这两个命题
互称逆否命题
3、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，那么把这两个命题
互称否命题
等价命题
1、如果 A、 B 是两个命题， A B， B A，那么 A、 B 叫做等价命题
2、等价命题原命题与逆否命题的等价命题
三、充分条件与必要条件
1.5 充分条件，必要条件
1、 α β ，那么 α 叫做 β 的充分条件， β 叫做 α 的必要条件
2、 既有 α β ， 又有 β α ， 既有 α β ， α 是既是 β 的充分条件， 又是 β 的必要条件，
α 是 β 的充分必要条件，简称充要条件
3
1.6 子集与推出关系
1、设 A、 B 是非空集合， A=｛ a│ a 具有性质 α ｝ ， B=｛ b│ b 具有性质 β ｝ ， 则 A B，与 α
β 等价
1
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1、如果 a＞ b， b＞ c，那么 a＞ c
2、如果 a＞ b，那么 a+c＞ b+c
3、如果 a＞ b， c＞ 0，那么 ac＞ bc；如果 a＞ b， c＜ 0，那么 ac＜ bc
4、如果 a＞ b， c＞ d，那么 a+c＞ b+d
5、如果 a＞ b＞ 0，那么 a n ＞ b n （ n∈ N ）
6、如果 a＞ b＞ 0，那么 n a ＞ n b （ n∈ N ， n＞ 1）
2.2 一元二次不等式的解法
1、整式不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，正阳的不等式叫做一元
二次不等式
2、 a、 b 是区间的端点
集合｛ x│ a≤ x≤ b｝叫做闭区间，表示为 [a ， b]
集合｛ x│ a＜ x＜ b｝叫做开区间，表示为（ a， b）
集合｛ x│ a≤ x＜ b｝或集合｛ x│ a＜ x≤ b｝叫做半开半闭区间，表示为 [a ， b) 或（ a， b]
把实数集 R 表示为（ - ∞， +∞） ，把集合｛ x│ x≥ a｝ 、 ｛ x│ x＞ a｝ 、 ｛ x│ x≤ b｝ 、 ｛ x│ x＜ b｝
表示为 [a ， +∞） 、 （ a， +∞） 、 [- ∞， b） 、 （ - ∞， b）
2.3 其他不等式的解法
分式不等式
形如
）（
）（
xg
xf ＞ 0 或
）（
）（
xg
xf ＜ 0（其中 f （ x） 、 g（ x）为整式且 g（ x）≠ 0）的不等式称为分
式不等式
含绝对值的不等式的解法
不等式│ x│＜ a（ a＞ 0）的解集为（ -a ， a） ，│ x│＞ a（ a＞ 0）的解集为（ - ∞， -a ）∪（ a，
+∞）
2.4 基本不等式及其应用
1、对任意实数 a 和 b 有 a 2 +b 2 ≥ 2ab，当且仅当 a=b 时等号成立
2、对任意正数 a 和 b，有
2
ba ≥ ab ，当且仅当 a=b 时等号成立
2
第三章 函数的基本性质
3.1 函数的概念
1、体现了从 x 的合集到 y 的合集的一种对应关系，这种关系叫做函数关系
2、 在某个变化过程中有两个变量， x、 y ， 如果对于 x 在某个实数集合 D 内每一个确定的值，
按照某个对应法则 f ， y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 y 就是 x 的函数，记作 y=f
（ x） x∈ D， x 叫做自变量， y 叫做因变量， x 的取值范围 D叫做函数的定义域，和 x 的值相
对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域
3.2 函数关系的建立
1、函数关系的建立一般应用于应用题中
3.3 函数的运算
1、一直两个函数 y=f （ x） （ x∈ D1 ） ， y=g（ x） （ x∈ D2 ） ，设 D= D1 ∩ D2 把函数 y=f （ x）与
y=g（ x）都有意义，把函数 y=f （ x） +g（ x） （ x∈ D）叫做函数 y=f （ x）与 y=g（ x）的和
3.4 函数的基本性质
1、如果对于函数 y=f （ x）的定义域 D内的任意实数 x，都有 f （ -x ） =f （ x） ，那么就把函
数 y=f （ x）叫做偶函数
2、如果对于函数 y=f （ x）的定义域 D内的任意实数 x，都有 f （ -x ） =-f （ x） ，那么就把函
数 y=f （ x）叫做奇函数
3、 x∈（ - ∞， 0] ， x 逐渐增加是，函数值 y 逐渐减小，当 x∈ [0 ， +∞） ， x 逐渐增加，函数
值 y 逐渐增加，函数的这两个性质都叫做函数的单调性
4、一般地，对于给定区间上 I 的函数 y=f （ x）
如果对于属于这个区间 I 的自变量的任意两个值 x1 、 x 2 ，当 x 1 ＜ x 2 时，都有 f （ x1 ）＜ f
（ x 2 ） ，那么就说函数 y=f （ x）在这个区间上是单调增函数，简称增函数
如果对于属于这个区间 I 的自变量的任意两个值 x1 、 x 2 ，当 x 1 ＜ x 2 时，都有 f （ x1 ）＞ f
（ x 2 ） ，那么就说函数 y=f （ x）在这个区间上是单调减函数，简称减函数
5、设函数 y=f （ x）在 x 0 处的函数值是 f （ x 0 ）
如果对于定义域内任意 x，不等式 f （ x）≥ f（ x 0 ）都成立，那么 f （ x0 ）叫做函数 y=f （ x）
的最小值，记作 y min =f （ x 0 ）
如果对于定义域内任意 x，不等式 f （ x）≤ f（ x 0 ）都成立，那么 f （ x0 ）叫做函数 y=f （ x）
的最大值，记作 y max =f （ x 0 ）
3
第四章 幂函数、指数函数和对数函数（上）
一、幂函数
4.1 幂函数的性质与图像
1、函数 y=x k （ k 为常数， k∈ Q）叫做幂函数
二、指数函数
4.2 指数函数的图像与性质
1、函数 y=a x （ a＞ 0， a≠ 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量作为指数， a 为底数，函数的
定义域是 R
指数函数 y=a x 的函数值恒大于零
指数函数 y=a x 的图像经过点（ 0,1 ）
函数 y=a x （ a＞ 1）在（ - ∞， +∞）内是增函数
函数 y=a x （ 0＜ a＜ 1）在（ - ∞， +∞）内是减函数
三、对数
4.4 对数概念及其运算
1、如果 a（ a>0,a ≠ 1）的 b 次幂等于 N，即 ab =N，那么数 b 叫做以 a 为底 N的对数
2、㏒ a N=b，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数，以 10 为底的对数叫做常用对数，记作
lgN ，以无理数 e=2.71828 , 为底对数，记作㏑ N
3、 如果 a>0,a ≠ 1,M>0,N>0, 那么
㏒ a （ MN） =㏒ a M+㏒ a N
㏒ a
N
M =㏒
a M—㏒ a N
㏒ a Mn =n ㏒ a M
对数换底公式：㏒ b N=
b
N
a
a
㏒
㏒ . （其中 a>0， a≠ 1， b>0， b≠ 1， N>0）
4
四、反函数
4.5 反函数的概念
1、 x 关于 y 的函数叫做 y=f （ x）的反函数，记作 x=f 1 （ y）自变量常用 x 表示，而函数用
y 表示，所以把它改写为 y= f 1 （ x） （ x∈ A）
五、对数函数
4.6 对数函数的图像与性质
1、函数 y=㏒ a x（ a>0，且 a≠ 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是（ 0， +∞）
2、对数函数 y=㏒ a x 的图像都在 y 轴的右方
3、对数函数 y=㏒ a x 的图像都经过（ 1,0 ）
4、对数函数 y=㏒ a x（ a>1） ，当 x>1 时， y>0；当 0
对数函数 y=㏒ a x（ 01 时， y<0；当 00
5、对数函数 y=㏒ a x（ a>1）在（ 0， +∞）上是增函数，对数函数 y=㏒ a x（ 0
+∞）上是减函数
六、指数方程和对数方程
4.7 简单的指数方程
1、指数里含有未知数的方程叫做指数方程
4.8 简单对数方程
1、在对数符号后面有未知数的方程叫做对数方程
5
第五章 三角比
一、任意角的三角比
5.1 任意角及其度量
1、一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向
旋转所形成的角为负角，其度量值是负的
2、用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制
3、把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角
4、 如果一个半径为 r 的圆心角 α 所对的弧长为 ι ， 那么比值
r
ι 就是角 α 的弧度数的绝对值，
即 | α |=
r
ι
5.2 任意角的三角比
1、任意角的三角比：
sin α =
的斜边角
的对边角
a
a =
OP
MP =
r
y cos α =
的斜边角
的邻边角
a
a =
OP
OM =
r
x
tan α =
的邻边角
的对边角
a
a =
OM
MP =
x
y cot α =
的对边角
的邻边角
a
a =
MP
OM =
y
x
2、在平面直角坐标系中，称以原点 O为中心，以 1 为半径的圆
3、第一组诱导公式：当两个角有共同的始边且他们的终边相重合时，根据任意角三角比的
定义，可知这两个角的同名三角比是相等的，即
sin （ 2kπ +α ） =sin α cos （ 2kπ +α ） =cos α
tan （ 2kπ +α ） =tan α cot （ 2kπ +α ） =cot α 其中 k∈ Z
二、三角恒等式
5.3 同角三角比的关系和诱导公式
同等三角比的关系和诱导公式
1、 sin α · csc α =1 tan α =
cos α
αsin sin 2α +cos 2α =1
诱导公式
6
1、第二组诱导公式：
sin （－ α ） =－ sin α cos （－ α ） =cosα
tan （－ α ） =－ tan α cot （－ α ） =－ cot α
2、第三组诱导公式
sin （ π +α ） =－ sin α cos （ π +α ） =－ cos α
tan （ π +α ） =tan α cot （ π +α ） =cot α
3、第四组诱导公式
sin （ π － α ） =sin α cos （ π － α ） =－ cosα
tan （ π － α ） =－ tan α cot （ π － α ） =－ cot α
5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切
1、两角差的余弦公式 cos（ α － β ） =cosα cosβ +sin α sin β
2、两角和的余弦公式 cos（ α +β ） =cosα cos β － sin α sin β
3、第五组诱导公式：
sin （
2
π － α ） =cosα cos （
2
π － α ） =sin α
tan （
2
π － α ） =cot α cot （
2
π － α ） =tan α
4、第六组诱导公式
sin （
2
π ﹢ α ） =cosα cos （
2
π +α ） =－ sin α
tan （
2
π +α ） =－ cot α cot （
2
π +α ） =－ tan α
5、两角和的正弦公式 sin （ α +β ） =sin α cos β +cosα sin β
6、两角差的正弦公式 sin （ α － β ） =sin α cosβ － cos α sin β
7、两角和与差的正切公式 tan （ α +β ）
α tan β－ tan1
β﹢ tanαtan tan （ α － β ）
α tan βtan1
βtanαtan
8、 asin α +bsin α = 22 ba sin （ α +β ）
5.5 两倍角与半角的正弦、余弦和正切
1、二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2 α =2sin α cos α cos2 α =cos 2α － sin 2α tan2 α =
αtan-1
αtan2
2
cos2α =2cos 2α － 1=1－ 2sin 2α
2、半角的余弦、正弦和正切公式
tan
2
β =
cos β1
βsin tan
2
β =
sin β
βcos1
7
3、万能置换公式
sin α =
2
αtan1
2
αtan2
2
cos α =
2
αtan1
2
αtan1
2
2
tan α =
2
αtan1
2
αtan2
2
三、解斜三角形
5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
1、正弦定理
A
a
sin
=
B
b
sin
=
C
c
sin
A2=b2+c2－ 2bccosA
B2=a2+c2－ 2accosB
c2=a2+b2－ 2abcosC
2、余弦定理
cosA=
bc
acb
2
222
cosB=
ac
bca
2
222
cosC=
ab
cab
2
222
8
第六章 三角函数的图像与性质
1、任意一个实数 x 都对应着唯一确定的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值 sinx. 这
样， 对任意一个实数 x 都有唯一确定的值 sinx 与他对应。 按照这个对应法则所建立的函数，
表示为 y=sinx ，他叫做正弦函数或余弦函数 . 它们的定义域是实数集 R
一、周期性
1、一般地，对于函数 f （ x） ，如果存在一个常数 T（ T≠ 0） , 使得当 x 取定义域 D 内的任意
值时，都有 f （ x+T） =f （ x）成立，那么函数 f （ x）叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f （ x）
的周期
6.2 正切函数的图像与性质
1、对于任意一个实数 x（ x≠ kπ +
2
π ， k∈ Z）都有唯一确定的值 tanr 与它对应 . 按照这个对
应法则所建立的函数，表示为 y=tanr ，叫做正切函数
6.5 最简三角方程
1、 把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程 . 把满足三角方程的所有 x 的集合叫做三角
方程的解集
2、在三角方程中，形如 sinx=a ， cosx=a ， tanx=a 的方程叫做最简三角方程
9
第七章 数列与数学归纳法
一、数列
7.1 数列
1、按一定顺序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中
的每一项都和项的序数有关，排在第一位的书称为这个数列的第 1 项（首项） ，排在第二位
的数称为整个数列的第 2 项， ,, 排在第 n 为的数称为这个数列的第 n 项， 数列的一般形式
可以写成 a 1 ， a 2 ， a 3 ， ,, a n ， ,,
2、项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，
3、从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列
从第 2 项其每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列
各项相等的数列叫做常数列
4、如果数列 {a n }的第 n 项 a n 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个
公式就叫做这个数列的通项公式
5、如果数列 {a n }的任意一项 a n 与它的前一项 a 1-n （或前几项）之间的关系可用一个公式
来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式
7.2 等差数列
等差数列及其通项公式
1、如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母 d 表示
2、设 a、 A、 b 是等差数列， A 叫做 a 与 b 的等差中项，如果三个数成等差数列，那么等差
中项等于另两项的算术平均数
3、等差数列 {a n }的通项公式 a n = a 1 +（ n-1 ） d
4、 a n = a 1-n +d（ n≥ 2）是以 a 1 为首项，以 d 为公差的等差数列 {a n } 的递推公式
等差数列的前 n 项和
1、等差数列 {a n }的前 n 项和的公式 Sn =
2
aan 1 ）（ n 或 S
n =na1 + 2
1-nn ）（ d
7.3 等比数列
等比数列及其通项公式
1、如果一个数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ， ,, a n ， ,, ，从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等
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于同一个非零常数：
1-n
n
a
a =q（ n≥ 2）那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列
的公比，公比通常用小写字母 q 表示（ q≠ 0）
2、由
1-n
n
a
a =q（ n≥ 2）的得到 a
n =a 1-n q（ n≥ 2） ，它是以 a1 为首项、以 q 为公比的等比数列
{a n } 的递推公式
3、设 a、 G、 b 是等比数列，那么由等比数列的定义，有 G2 =ab， G叫做 a 与 b 的等比中项，
如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积
3、等比数列 {a n }的通项公式 a n = a 1 q 1-n
等比数列的前 n 项和
1、以 a 1 为首项，以 q 为公比的等比数列前 n 项和的公式为
S n =
q-1
q-1a n1 ）（ 或 S
n =
q-1
qa-a n1 （ q≠ 1）
S n =n a 1 （ q=1）
二、数学归纳法
7.4 数学归纳法
1、数学归纳法步骤：
（ⅰ）证明当 n 取第一个值 n0 （ n 0 ∈ N ）命题成立
（ⅱ）假设 n=k（ k∈ N ， k≥ n 0 ）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立
（ⅲ）命题对于从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立
7.5 数学归纳法的应用
7.6 归纳—猜想—论证
三、数列的极限
7.7 数列的极限
数列的极限
1、在 n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列 {a n } 中的 a n 无限趋近与一个常数 A，那么 A
叫做数列 {a n } 的极限，或叫做数列 {a n } 收敛于 A，记作
n
lim =A，读作 n 趋向于无穷大时，
a n 的极限等于 A
2、当│ q│＜ 1 时，
n
lim q n =0
11
3、
n
lim
n
1 =0
极限的计算法则
1、设
n
lim a n =A，
n
lim b n =B
n
lim （ a n ± b n ） =
n
lim a n ±
n
lim b n =A+B
n
lim （ a n · b n ） =
n
lim a n ·
n
lim b n =A· B
n
lim
n
n
b
a =
nn
nn
blim
alim
=
B
A （ B≠ 0）
n
lim （ C· a n ） =
n
lim C·
n
lim a n =C· A
7.8 无穷等比数列各项的和
1、│ q│＜ 1 的无穷等比数列的前 n 项和 S n 当 n→∞时的极限叫做无穷等比数列各项的和
S=
q-1
a 1 （│ q│＜ 1）
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第八章 平面向量的坐标表示
8.1 向量的坐标表示及运算
1、在平面直角坐标系内，方向分别于 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位
向量，分别记为 i 和 j ，向量 a 的起点置于坐标原点 O，作 OA = a ， OA 叫做位置向量
2、两点之间距离公式，求向量 a 的模，│ a │ = 2121 yx
8.2 向量的数量积
向量的夹角
1、对于两个非零向量 a 和 b ，如果以 O为起点，作 OA = a ， OB = b ，那么射线 OA、 OB的
夹角 θ 叫做向量 a 与向量 b 的夹角， θ 的取值范围是 0≤ θ ≤ π
2、当 θ =0 时，表示向量 a 和向量 b 方向相同
当 θ =π 时，表示向量 a 和向量 b 方向相反
夹角 θ =0 或 θ =π 的两个向量是相互平行的
夹角 θ =
2
π 的两个向量是相互垂直的，记作 a ⊥ b
向量的数量积
1、如果两个非零向量 a 、 b 的夹角 θ （ 0≤ θ ≤ π ） ，那么│ a ││ b │ cosθ 叫做向量 a 与
向量 b 的数量积，记作 a · b ，即 a · b =│ a ││ b │ cosθ
2、在数量积的定义 a · b =│ a ││ b │ cosθ 中，│ b │ cos θ 叫做向量 b 在向量 a 的方向
上的投影
3、当 0≤ θ ≤
2
π 时，有向线段
1OB 的值等于向量 1OB 的模│ 1OB │
当
2
π ≤ θ ≤ π 时，有向线段
1OB 的值等于 - │ 1OB │
夹角 θ =
2
π 时，有向线段
1OB 的值等于零
4、 两个向量 a 、 b 的数量积是其中的一个向量 a 的模│ a │与另一个向量 b 在向量 a 的方向
上的投影│ b │ cos θ 的乘积
5、 a · a =│ a │ 2 ≥ 0，当且仅当 a · a =0 时， a = 0 a · b = b · a
（ λ a ） · b = a · （ λ b ） =λ （ a · b ） a · （ b + c ） = a · b + a · c
向量的数量积和坐标表示
13
1、 a · b =x 1 x 2 +y 1 y 2
2、 a · b =0 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0
8.3 平面向量的分解定理
1、 如果 1e 、 2e 是同一平面内的两个不平行向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a ， 有且
只有一对实数 λ 1 、 λ 2 ，使 a =λ 1 1e +λ 2 2e
8.4 向量的应用
14
第九章 矩阵和行列式初步
一、矩阵
9.1 矩阵的概念
1、矩阵，矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素
2、矩阵
13
2-1 叫做方程的系数矩阵，是 2 行 2 列的矩阵，可记作 A
2×2
3、矩阵
813
52-1 叫做方程组的增广矩阵，是 2 行 3 列的矩阵，可记作
32A
4、 1 行 2 列的矩阵（ 1， -2 ）叫做系数矩阵的两个行向量， 2 行 1 列的矩阵
3
1 叫做系数矩
阵的两个列向量
5、
10
01 叫做单位矩阵
9.2 矩阵的计算
1、只有矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数相等时，矩阵之积 AB才有意义
2、一般 AB≠ BA
二、行列式
9.3 二阶行列式
二阶行列式
1、
22
11
ba
ba
叫做行列式，并且它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式， a1 b 2 -a 2 b 1 叫
做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值， a1 、 a 2 、 b 1 、 b 2 都是行列式的元素，利
用对角线可把二阶行列式写成它的展开式， 这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则行列
式一般可用大写字母表示 D=
22
11
ba
ba
2、当 D≠ 0 时，方程的解可用二阶行列式表示为
D
D
D
D
y
x
y
x
，由于行列式 D是由方程中未知
15
数 x、 y 的系数组成的，通常被叫做方程组的系数行列式
作为判别式的二阶行列式
1、当 D≠ 0 时，方程有唯一解， D叫做方程组解的判别式
9.4 三阶行列式
三阶行列式
1、
333
222
111
cba
cba
cba
=a 1 b 2 c 3 +a 2 b 3 c 1 +a 3 b 1 c 2 -a 3 b 2 c 1 -a 2 b 1 c 3 -a 1 b 3 c 2
333
222
111
cba
cba
cba
叫 做 行 列 式 ， 并 且 它 三 行 三 列 ， 所 以 把 它 叫 做 三 阶 行 列 式 ，
a 1 b 2 c 3 +a 2 b 3 c 1 +a 3 b 1 c 2 -a 3 b 2 c 1 -a 2 b 1 c 3 -a 1 b 3 c 2 叫做行列式的展开式，其计算结果叫
做行列式的值， a 1 、 a 2 、 a 3 、 b1 、 b 2 、 b 3 、 c 1 、 c 2 、 c 3 都是行列式的元素，利用对角线
可把三阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做三阶行列式展开的对角线法则
2、按一行或一列展开
1、
33
22
cb
cb
叫做元素 a 1 的余子式即
333
222
111
cba
cba
cba
33
22
cb
cb
a 1 的余子式
三元一次方程组的行列式解法
1、 设三元一次方程组
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
D=
333
222
111
cba
cba
cba
D x =
333
222
111
cbd
cbd
cbd
Dy =
333
222
111
cda
cda
cda
D z =
333
222
111
dba
dba
dba
当 D≠ 0 时，方程组有唯一解
D
Dz
D
D
y
D
Dx
z
y
x
16
第十章 算法初步
10.1 算法的概念
1、对于一类有待求解的问题，如果建立了一淘通用的解题方法，按部就班地实施这套方法
就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法
10.2 程序图框
1、为了使算法的表述更加简练，结构更加清晰，人们常用含有算法内容的框和箭头构成的
图来表示算法，这种图也叫算法的程序框图
10.3 计算机语句和算法程序
赋值语句
1、赋值语句：被复制变量名 =由数值或已经被赋值的变量组成的表达式
输入语句
1、输入变量 =input
输出语句
1、 print （ %io（ 2） ，变量 1，变量 2，变量 3， ,, ）
2、 disp （变量 1，变量 2，变量 3， ,, ）或 disp
条件语句
1、 if 条件表达式 then
语句组 A
else
语句组 B
end
循环语句
1、 for 循环变量 =初值：步长：终值
循环体
end
2、 while 条件表达式
循环体
end
17
第十一章 坐标平面上的直线
11.1 直线的方程
1、 v（ x-x 0 ） =u（ y-y 0 ） ，即
υ
0xx
ν
0yy =0①
我们把方程①叫做直线 l 的方程，直线 l 叫做方程①的图形，把与直线 l 平行的向量叫做直
线 l 的方向向量，向量 d =（ υ ， ν ）是直线 ι 的一个方向向量 .
2、
υ
0xx =
ν
0yy ②
a（ 0xx ） +b（ 0yy ） =0③
我们把与直线 l 垂直的向量叫做直线 l 的法向量，方程③叫做直线 l 的点法向式方程
向量 n =（ a， b）是直线 l 的一个法向量
11.2 直线的倾斜角和斜率
1、设直线 l 与 x 轴相交于点 M，将 x 轴绕点 M 按逆时针方向旋转至于直线 l 重合时所成的
最小正角 α 叫做直线 l 的倾斜角
2、当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定其倾斜角 α =0. 因此直线的倾斜角 α 的范围是 0≤ α
＜ π
3、当 α ≠
2
π 时，把 α 的正切值 k=tanα 叫做直线 l 的斜率
4、记 tanα =k，方程 y-y 0 =k （ 0xx ）叫做直线 l 的点斜式方程
5、 ax+by+c=0 （ a、 b 不同时为零）①我们把方程①叫做直线的一般方程
11.3 两条直线的位置关系
两条直线的相交、平行与重合
两条直线的夹角
ι
b
x
y
α
M O
18
1、我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角
2、两条直线的夹角公式： cosα =
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
baba
bbaa
11.4 点到直线的距离
1、点到直线的距离公式： d=
22
00
ba
cbyax
.
19
第十二章 圆锥曲线
12.1 曲线和方程
曲线和方程
1、借助于平面坐标系用代数方法研究平面上图形性质的学科称为平面解析几何 .
求曲线方程
1、求曲线的方程，一般有如下几个步骤：
（ⅰ）建立适当的直角坐标系；
（ⅱ）设曲线上任意一点的坐标为（ x， y） ；
（ⅲ）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（ⅳ）用坐标 x， y 表示这个等式（方程） ，并化简；
（ⅴ）证明以化简后的方程的解为坐标点都是曲线上的点
曲线的交点
12.2 圆的方程
圆的标准方程
1、 （ x-a） 2 +（ y-b ） 2 =r 2
圆的一般方程
1、 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 圆的一般方程有如下特点：
（ 1） x 2 与 y 2 项的系数相同且不为零；
（ 2）不含 xy 项
（ 3） D 2 +E 2 -4F ﹥ 0.
12.3 椭圆的标准方程
1、 把平面内到两个定点 F1 F 2 的距离和等于常数 2a（ 2a﹥︳ F 1 F2 ︳） 的点的轨迹叫做椭圆 .
这两个定点 F 1 、 F 2 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离︳ F 1 F 2 ︳叫做焦距
2
2
a
x +
2
2
b
y =1（ a﹥ b﹥ 0）①
2
2
a
y +
2
2
b
x =1（ a﹥ b﹥ 0）②
其中 a、 b、 c 满足 c 2 =a 2 -b 2 这里方程①和②都叫做椭圆的标准方程
12.4 椭圆的性质
对称性
顶点
12.5 双曲线的标准方程
1、把平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离之差的绝对值等于常数 2a（ 2a<︳ F 1 F 2 ︳）的点的
20
轨迹叫做双曲线，这两个定点 F 1 、 F 2 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离︳ F 1 F 2 ︳叫做
焦距
2、 2
2
a
x -
2
2
b
y =1（ a﹥ 0， b﹥ 0）①
2
2
a
y -
2
2
b
x =1（ a﹥ 0， b﹥ 0）②
其中 a， b， c 的关系是 c 2 =a 2 +b 2 这里方程①和②都叫做双曲线的标准方程
12.6 双曲线的性质
1、双曲线 C 的标准方程 2
2
a
x -
2
2
b
y =1（ a﹥ 0， b﹥ 0）①
对称性
1、与探讨椭圆对称性做类似的讨论，可得双曲线关于 x 轴、 y 轴和原点都对称 .双曲线的对
称中心叫做双曲线的中心 .
顶点
1、在双曲线 C 的标准方程①中，令 y=0，得双曲线与 x 轴的交点 A 1 （ a， 0） ， A 1 A 2 叫做
双曲线的顶点 .线段 A 1 A 2 叫做双曲线 C 的实轴，他的长等于 2a.双曲线 C 与 y 轴没有交点 .
我们把点 B 1 （ 0， -b） 、 B 2 （ 0， b）画在 y 轴上，线段 B1 B 2 叫做双曲线 C 的虚轴，他的长
等于 2b， a 和 b 分别叫做双曲线 C 的实半轴和虚半轴的长
范围
渐近线
12.7 抛物线的标准方程
1、平面上与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物
线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线 y 2 =2px(p>0) ①形如①的方程叫做抛物线的标准方程
12.8 抛物线的性质
1、抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点
对称性
顶点
范围
21
第十三章 复数
13.1 复数的概念
复数的概念
1、为了解决负数开方问题，引入了一个新数 i，叫做虚数单位，规定： i 2 =-1，即 i 是 -1 的
一个平方根。我们把形如 a+bi（ a、 b∈ R）的数叫做复数
2、复数全体所组成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示单个附属常常用字母 z 表示，即
z=a+bi 的实部在下面定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系（域）
3、单个复数常常用字母 z 表示，即 z=a+bi（ a、 b∈ R） 。把复数 z 表示成 a+bi 时，叫做复数
的代数形式，并规定 0i=0,0+bi=bi 。 a 与 b 分别叫做复数 z=a+bi 的实部与虚部。复数 z 的实
部记作 Rez，复数 z 的虚部记作 Imz。当 b=0 时，复数 z=a=bi=a 是实数；当 b≠ 0 时， z 叫
做虚数；当 a=0 且 b≠ 0 时， z=a+bi=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时， z 是实数 0.
两个复数相等
1、 a=c 且 b=d 那么这两个复数相等
13.2 复数的坐标表示
复平面
1、建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在这里 x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚
轴
复数的向量表示
复数的模
1、复数的模：复数 z=a+bi 所对应的点 Z（ a、 b）到坐标原点的距离叫做复数 z 的模（或绝
对值） ，记作︳ z︳ .由模的定义，可知︳ z︳ =︳ a+bi︳ = 22 ba
13.3 复数的加法与减法
复数的加法
1、 z 1+z 2 = z 2 + z 1 ；
（ z+z 2 ） +z 3 = z 1+（ z 2 +z 3 ）
共轭复数
1、 形如 3+2i 和 3-2i 这样实部相等而虚部虎威相反数的两个复数， 叫做互为共轭复数， 也称
互相共轭。
复数的减法
复平面上两点间的距离
13.4 复数的乘法与除法
22
复数的乘法
1、 （ a+bi） （ c+di） =（ ac-bd） +（ bc+ad） i
复数的乘方
1、 z m ?zn =z nm （ zm ） n =z mn （ z1 ?z2 ） n =z n1 ?zn2
复数的除法
复数的积与商的模
1、要求几个复数积的模或两个复数商的模，可以先求得其积或商的实部和虚部，再利用模
的计算公式计算。
13.5 复数的平方根与立方根
复数的平方根
1、 （ a+bi） 2 =c+di 称 a+bi 是 c+di 的一个平方根。
复数的立方根
1、若复数 z1 、 z 2 满足 z 31 = z 2 ，则称 z 1 是 z 2 的立方根。
13.6 实系数一元二次方程
1、一元二次方程中根与系数的关系（韦达定理）
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