专题专题16 相交线与平行线（满分：100分 时间：90分钟）班级_________姓名_________ 学号_________ 分数_
________一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（四川广元市·中考真题）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P
为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【分析】首先作出PA∥a
，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．【详解】解：过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b
∥PA，∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，∴∠
1+∠2+∠3=360°．故选B．2．（河北中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）A．0条B．1条C．2
条D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【
详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．3．（山东枣庄市·中考真题）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长
线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )A．10°B．15°C．18°D．30°【答案】B【分
析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30
°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.4．（山东威海市·中考真题）如图，矩形
的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，可以得到BG的长，再
根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．【
详解】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴
，∵BC＝3，∴GB＝，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝=
=，∴tanα的值为，故选：A．5．（贵州遵义市·中考真题）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点
都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【分析】根据平行线的性质即可得到结
论．【详解】解：如图∵AB∥CD，∴∠1＝∠D＝45°，故选：B．6．（山东济南市·中考真题）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD
＝35°，则∠ACD＝（ ）A．35°B．45°C．55°D．70°【答案】C【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°
，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．【详解】∵AB∥CD，∠BAD
=35°，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故选：C．
7．（甘肃金昌市·中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱
形的边长，则的度数是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等
边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．【详解】如图，连接AC四边形ABCD是菱形如图所示的木制活动衣帽架是由三个全
等的菱形构成，是等边三角形故选：C．8．（河南中考真题）如图，，若，则的度数为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用平行线的
性质即可求解．【详解】如图，∵，∴∠1+∠3=180o，∵∠1=70o，∴∴∠3=180o-70o=110o，∵，∴∠2=∠3=1
10o，故选：B．9．（海南中考真题）如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据得到，再运
用三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】∵，∴，∵，∴∵，且，∴，故选：C．10．（山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD中
，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】C【详解】由AC⊥B
C可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝
40°．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA
＝∠CAB＝40°．故选：C．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（浙江杭州市·中考真题）如图，AB∥CD，EF分
别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝_____．【答案】20°【分析】直接利用平行线的性质得出
∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【详解】∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴
∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故答案为：20°．12．（湖南湘潭市·中考真题）如
图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．【答案】3【分析】根据垂线段最短可知当P
M⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC
时，又∵OP平分∠AOC，，，∴PM=PD=3故答案为：313．（新疆中考真题）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝___
__°．【答案】70【分析】先根据平行线的性质求出∠2＝∠A＝110°，再由平角的定义求出∠1的度数即可．【详解】如图，∵AB∥C
D，∴∠2＝∠A＝110°．又∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70．14．（
湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，，则_____________度．【答案】30【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EG
C，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示：∵，∴∠EGC=∠A
BC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，∴∠BCD=75°-45
°=30°，故答案：30．15．（山东日照市·中考真题）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝6
5°，则∠1的度数是_____．【答案】25°【分析】延长EF交BC于点G，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：
如图，延长EF交BC于点G，∵直尺，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3＝65°，又∵30°角的直角三角板，∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（江苏镇江市·中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线
，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78
°，求∠BAC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；（
2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．【详解】证明：（1）在△BEF和△CDA中，，∴△B
EF≌△CDA（SAS），∴∠D＝∠2；（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°，∵EF∥AC，∴∠2＝∠BAC＝7
8°．17．（湖北黄石市·中考真题）如图，．（1）求的度数；（2）若，求证：．【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．【分析
】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；（2）证明△DAE≌△CBA，即可证
明AD=BC．【详解】（1）∵AB∥DE，∴∠E=∠CAB=40°，∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；（
2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°， ∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AD=BC．1
8．（湖北荆州市·中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：；（2
）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD
为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．【详解】（1）证明：由旋转性质得
：是等边三角形所以∴；（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C两点经过的路径长之和为．19．（山东东营市·中考真
题）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东方向上，与港口相距海里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时海里的速
度沿方向行进，此时位于的北偏西方向，则从到达需要多少小时？【答案】从到达需要小时．【分析】过点作于点，在与中，利用锐角三角函数的定
义求出CD与BC的长，进而求解．【详解】解：如图，过点作于点，由题意得：，，，，在中，（海里），（海里），在中，（海里），，（小时
），从到达需要小时．20．（山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日 星期日没有
直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木
板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，
然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两
点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将
点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有
什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是______________________
_______________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上
保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（
3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析【分析】（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；（
2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，
分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；（2）证明：由作图方法可知：，，，．又，．．即．（3）解：①如图，直线即为所求；图③②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 1 / 1 |
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