专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一 圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．
这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组
成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆
心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并
且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的
弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦
心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点） 知识点二 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半
径，造，用勾股，求长度；有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一 圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋
转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内
，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆
心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的
线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读
作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的
弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点） 知识点二 垂径定理垂
径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助
线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；4）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点三 圆心角、弧、弦、弦心
距之间的关系圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆
中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等知识点二 圆周角定理（考点）圆
周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角
所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）知识点三 圆内接四边形圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有
顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
【考查题型】考查题型一 圆的周长与面积问题典例1．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A．三个小圆周长之和B．大圆
周长C．一样长D．不能确定变式1-1．如图，的半径为，分别以的直径上的两个四等分点，为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（
）A．B．C．D．变式1-2．图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．A．B．C．D．变式1-3
．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（ ）A．4πrB．2πrC．πrD．2r考查题型二 利用垂径定理进
行计算典例2．（贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝
3：5，则AB的长为（ ）A．8B．12C．16D．2变式2-1．（湖北中考真题）如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）
A．2B．4C．D．变式2-2．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5B．6C．7D．8变式2-3．（曲阜模拟）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（
）A．7B．17C．7或17D．34变式2-4．（陕西中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接O
E并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°考查题型三 垂径定理的实际应用典例
3．（广东广州市·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）A．B．C．D．变
式3-1．（宁夏中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问
这根圆形木材的直径是______寸．变式3-2．（湖南湘潭市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章
计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦
长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式
计算出弧田的面积为_____平方米．变式3-3．（佳木斯市模拟）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝2
4，则水的深度CD是_____．变式3-4．（广西梧州市·九年级二模）如图，圆柱形水管的截面半径是，阴影部分为有水部分，水面宽，则
水的最大深度是__________．考查题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解典例4．（四川泸州市·中考真题）如图，中，，．则的度数
为（ ） A．100°B．90°C．80°D．70°变式4-1．（山东青岛市·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则
的度数为（ ）A．B．C．D．变式4-2．（山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）A．
51°B．56°C．68°D．78°变式4-3．（扬州市一模）如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则
∠AOC的度数是（ ）度.A．74B．106C．117D．127考查题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求证典例5．（富顺县中考真题
）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.求证：⑴；⑵.变式5-1．（安徽中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是
半圆所任圆的切线，与的延长线相交于点，求证：；若求平分．考查题型六 圆周角定理典例6．（吉林长春市·中考真题）如图，是⊙O的直径，
点、在⊙O上，，则的大小为（ ）A．B．C．D．变式6-1．（浙江杭州市·中考真题）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点
D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）A．3α+β＝180°B．2α+
β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°变式6-2．（黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）如图，点在圆上，若弦的长度等
于圆半径的倍，则的度数是( )．A．22.5°B．30°C．45°D．60°变式6-3．（辽宁鞍山市·中考真题）如图，是的外
接圆，半径为，若，则的度数为（ ）A．30°B．25°C．15°D．10°变式6-4．（四川广元市·中考真题）如图，是的两条互相垂
直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）A．B．C．D．考查
题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等典例7．（四川眉山市·中考真题）如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）A．B．C．D．
变式7-1．（四川内江市·中考真题）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）A．B．C．D．变式7-2．（
江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A．B．C．D．考查题型八 直径所对的圆周角是直角典例8．（甘肃金昌市·中考真题）如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，
则的长为（ ）A．B．C．D．变式8-1．（江苏镇江市·中考真题）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）A．10°B．14°C．16°D．26°变式8-2．（海南中考真题）如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）A．B．C．D．变式8-3．（辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）A．110°B．130°C．140°D．160° 1 / 1 |
|
