人教版八年级上学期数学第十三章等边三角形的性质与判定练习题学校:___________姓名：___________班级：__________
__一、单选题1．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（?）A．B．是直角三角形C．
D．2．已知：如图，在Δ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E．若AD=3，BC=5，则Δ BE
C的周长为（?）A．8B．10C．11D．133．下列判断正确的是（?）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是
60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰
三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（2）（3）4．如图，
将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB＝2，∠A＝120°时，AC等于（
）A．B．C．D．25．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（?）A．B．C．或D．46．如图，在四边形ABCD中
，，，，，，则CD的长为（?）．A．6B．5C．4D．37．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将
△ABC绕点B顺时针旋转得到，若直线经过点A，则的长为（ ）A．1B．2C．D．4二、填空题8．如图，在边长为6的等边△ABC中
，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．9．等边三角形的判定：①
______的三角形是等边三角形．（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形．③有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．10．
如图，在等边中，D为边BC上一点，E为边CA延长线上的点，连接DE交AB边于点F，，若的面积为2，则的面积为___________
___．11．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为______．12．如图，C为AB上任意一点
，分别以AC、BC为边在AB同侧作正方形ACDE、正方形BCFG，设∠AFC=α，则∠BDC为_________（用含α的代数式表
示）．13．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．14．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B
′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD=3，则A′A的值为___．三、解答题15．如图，有两条
公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长
为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/
秒．(1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总
时间．16．如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．(1)求对角线
AC的长；(2)求EF的长．17．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；
②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是____.18．已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关
于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是 _____三
角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为
BE的中点，若AE＝12，则CF的长为 _____．19．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求
证：．参考答案：1．D【分析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一
半可以得出．现有条件不足以证明．【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，∴，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，故B选项正确；∵，，∴
，∴，∴，，故A选项正确；∴BC为斜边上的中线，∴，故C选项正确；现有条件不足以证明，故D选项错误；故选D．【点睛】本题考查菱形的
性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．2．C【分析】根
据题意易得AB=AC=2AD=6，AE=BE，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∵AB=AC，DE垂直平分线
段AB，∴AD=BD，AE=BE，∵AD=3，∴AB=AC=2AD=6，∵BC=5，∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+E
C=5+6=11；故选C．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．3．A【分析
】根据等边三角形的判定定理求解即可．【详解】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，三个内角相等，故为等边三角形，（1
）正确；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；三边都相等的三角
形是等边三角形，故（4）正确；等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，
熟记判定定理是解本题的关键．4．D【分析】连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB＝2，∠A＝1
20°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：连接AC，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2．故选：D．【
点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．5．C【分析】根据菱形的性质得
出AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，结合题意得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理确定OC=OA，考虑点E在A
C上，可能在点O的左边或右边，结合图形求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，如图所示，∴.AB=AD=6，AC⊥BD，OB
=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，OB=BD=3，∴OC=OA=，∴.AC=2OA
=，∵点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE=，∴CE=OC+OE=或CE=O C-O E=，故选：C．【点睛】题目主要考查菱
形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识是解题的关键．6．C【分析】先延长AD、BC交于E
，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=8，BC=2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值
即可．【详解】解：延长AD、BC交于E，∵∠A=30°,∠B=90°，∴∠E=60°，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴
△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∵AD=8，BC=2，∴2(2+x)=x+8，解得；x=4，∴CD=4，故选：C【点
睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．7．C【分析】根
据旋转的性质可证明是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=2，由勾股定理得，从而解决问题．【详解】解：∵
将△ABC绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵∠BAC=60°， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵∠AB
C=90°，∠BAC=60°， ∴∠ACB=30°， ∴AC=2AB=2， ∴BC=， ∴， 故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转
的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，证明是等边三角形是解题的关键．8．【分析】如图
所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠B
AD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．【详解】解：如图所
示，过点E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=A
C=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠B
DP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周长，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角
三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．9．???? 三条边都相等????
60°【解析】略10．6【分析】过点D作DG∥CE，交AB于点G，先证明△AEF≌△GDF（ASA），得到AE＝GD，GF＝AF，
然后证明△GDB为等边三角形，由三角形面积之间的关系即可求得答案．【详解】解：过点D作DG∥CE，交AB于点G，∴∠E＝∠GDF，
∠C＝∠GDB，∵DF＝EF，∠EFA＝∠DFG，∴△AEF≌△GDF（ASA），∴AE＝GD，GF＝AF，，∵△ABC为等边三角
形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，∵DG∥CE，∴∠C＝∠GDB＝60°，∠BGD＝∠BAC ＝60°，∴∠B＝∠GDB＝∠BG
D＝60°，∴△GDB为等边三角形，∴BG＝GD＝AE，∵AE＝2AF，∴BG＝2AF＝2GF，∴＝4，,∴＝6，即△BDF的面积
为6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解决此
题的关键．11．14【分析】根据平行四边形的性质证得，再证明OE为线段BD的垂直平分线，则BE=ED，由的周长=即可求解．【详解】
解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵平行四边形的周长为28，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴的周长．【点睛】本题考查平行四边形
的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明是线段的垂直平分线是解答的关键．12
．90°-α【分析】由“SAS”可证△ACF≌△DCB，得出∠CAF=∠BDC，再由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形
ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC=CD，CF=CB，∠ACF=∠DCB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°，在△ACF和
△DCB中，，∴△ACF≌△DCB（SAS），∴∠CAF=∠BDC，∵∠AFC=α，∴∠CAF=90°-∠AFC=90°-α，∴∠
BDC=90°-α，故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识；证明三角
形全等是解题的关键．13．20°【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．【详解】解：如图，延长
至点E使，连接．∴，∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴设，则．在与中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考
查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．14．1【分析】设A′B′，A′C′交BC于点E、F
，由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E
∽△DAB知()2=，据此求解可得．【详解】解：如图，设A’ B’，A’ C’交BC于点E、F，∵S△ABC=9、S△A′EF=4
，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A''
B''C''，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则()2=，即()2=，解得A′D=2（负值舍去），故答案为：1．【点睛】本题主
要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
15．(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A作AD⊥ON于D，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD可得答案；（2）在上取
点，点，使，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间．（1）解：过作，垂足为，由垂线段最短可知为
所求，∵，米，∴米，答：噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米；（2）在上取点，点，使，由题意，卡车到达点时开始对学校产生噪声影
响，到达点时结束噪声影响，由（1）知AD＝40米，∴米，同理可得：米，∴米，∵卡车的行驶速度为5米/秒，∴给学校带来噪声影响的总时
间为（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解
题的关键．16．(1)2(2)【分析】（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再证△ABC是等边
三角形即可；（2）由三角形中位线定理得EF=BD，再由菱形的性质得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾股定理解答即可
．（1）解： 四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等边三角形∴．（2）解：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴是中位线，∴．又∵四边
形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（负舍）∴∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、
三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．17．①②③【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD
交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠B
AE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和
等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠EC
B＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD
+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确．【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M
，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE
＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，∴∠BAE
+∠BCD＝90°，∴∠AMC＝90°，∴CD⊥AE，故①正确；∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，∴∠BAD+∠E
CB＝90°，∴∠ANC＝90°，∴AD⊥CE，故②正确；∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，∠ECB＝∠ECD+∠
BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质
、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．18．?
??? 等边???? 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三
角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AAS），由
全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝
∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边
三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝C
D，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠
GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝18
0°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AAS），∴CF
＝GF，∴CF＝CG＝AE＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．19．证明见解析【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，由旋转的性质可得△BCD≌△BAE，∠DBE＝60°，由全等三角形的性质可得BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，由三角形内角和定理求出∠EAD＝90°，结合勾股定理可得结论．【详解】解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接DE，∴△BCD≌△BAE，∠DBE＝60°，∴BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，∴△BED是等边三角形，∴DE＝BD，在△BDE中，∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，∴60°+∠BEA+∠AED+∠ADE+∠BDA＝180°，∴∠AED+∠ADE+∠BDC+∠ADB＝120°，∴∠AED+∠ADE＝120°﹣∠ADC＝90°，∴∠EAD＝90°，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，证明∠EAD＝90°是本题的关键．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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