《數理精藴》之縱法開立方之一上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：本文主要
介紹開縱法開立方根法。本文特別著重相當於現代不含x項之一元三次方程式解法。關鍵詞：共積 初商 次商 無次商本文數學題取材自《
御製數理精藴?下編?卷二十四?體部二》﹝簡稱為《數理精藴》﹞，其分題為：帶縱較數立方。【第一題】設如??一縱立方積一百一十二尺，其
髙與闊相等，長比髙闊多三尺，開立方，問：髙闊長各幾何？解：上文之“??”同“帶”。以現代代數法解，今先設長方體之髙與闊為 x 尺，
長為 (x + 3)尺，依題意可列出以下之方程式：x2(x + 3) = 112x + 3x3 + 3x2 = 112x3 + 3
x2 – 112 = 0 分解因式得x(x – 4)(x2 + 7x – 28) = 0所以 x = 4，他根不取。x答：長方體之
髙與闊為 4 尺，長為 4 + 3 = 7尺。注意以上之一元三次方程式不含 x 項。另法：因為 43 = 64 < 112，今設
x = 4，3x2 = 112 – x3 ，以下為驗算之式：即3x2 = 112 – 64 = 483x2 = 48x2 = 16
x = 4。所以x = 4 正確。以下為《數理精藴》之原圖：《數理精藴》曰：法：“列積如開立方法商之其積一百一十二尺，止可商四尺，
乃以四尺書於原積二尺之上，而以所商四尺為髙與闊，因髙與闊等，故四尺即方之髙與闊也，加縱多三尺得七尺為長，即以髙與闊四尺自乗得一十六
尺，又以長七尺再乗得一百一十二尺，書於原積之下，相減恰盡，是知立方之髙與闊俱四尺，加縱多三尺得七尺，即立方之長也。”4441121
6第二步：444161127長1121120如圖：“甲乙丙丁戊己長方體形容積一百一十二尺，其甲乙為髙，甲己為闊，己戊為長。甲乙、甲
己俱四尺，己戊為七尺，己戊比己庚多三尺，即所??之“縱”。甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積，庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也
﹝見上圖﹞。葢因此法髙與闊俱止一位，其積止一位之積，故初商所得即髙與闊之邊加入縱多即為長邊也，凡有帶一縱無次商者，依此法開之。”“
無次商”即答案為個位，即一位數。若答案為兩位數，則先求十位數，再求個位數，個位數是為次商。甲乙丙丁戊己長方體體積112立方尺，甲乙
= 甲己 = 4尺，己戊 = 4 + 3 = 7尺，此即所謂所??之“縱”。甲乙壬辛庚己體積為64立方尺，庚辛壬丙丁戊為48立方
尺，除以3後得16，所以高與闊均為4，長為7。本題解法只適用於此形式之一元三次方程式x3 + ax2 = b，a與b皆為正數。而x
為整數。引文之“凡有帶一縱無次商”指 x3 + ax2 = b 之x為個位，若x為十位或以上，仍可用試驗法求得。例如x3 + 4x
2 = 2873，先求 x3 < 2873，x = 14，因為 143 = 2744；即 2744 + 4x2 = 2873，4x
2 = 129，顯然x = 14 過大，以x = 13 試之，得：133 + 4x2 = 28732197 + 4x2 = 287
34x2 = 676x2 = 169x = 13。所以 x = 13 正確。【第二題】設如??一縱立方積二千四百四十八尺，其髙與闊
相等，長比髙闊多五尺，問：髙、闊、長各幾何？解：若果答案有次商，則用本題之法。以下為《數理精藴》之算式：以下為《數理精藴》之原文：
本題與上題相同，不同者其答案為兩位數。以現代代數法解，今先設長方體之髙與闊為 x 尺，長為 (x + 5)尺，依題意可列出以下之方
程式：x2(x + 5) = 2448x3 + 5x2 = 2448x3 + 5x2 – 2448 = 0 分解因式得(x – 1
2)(x2 + 17x – 204) = 0所以 x = 12，他根不取。另法：因為 133 = 2197 < 2448，今設 x
= 13，5x2 = 2448 – x3 ，以下為驗算之式：即5x2 = 2448 – 2197 = 2515x2 = 251，
即可知x ≠ 13。試用另一較小之數 12，123 = 1728，驗算式：即5x2 = 2448 – 1728 = 7205x2
= 720x2 = 144。x = 12。所以x = 12 答案正確。《數理精藴》之算法曰：法：“列積如開立方法商之，其二千尺為初
商積，可商十尺，乃以十尺書於原積二千尺之上，而以所商十尺為初商之髙，與闊加縱多五尺得十五尺為初商之長，即以初商之髙與闊十尺自乗得一
百尺，又以初商之長十五尺再乗得一千五百尺，書於原積之下，相減餘九百四十八尺為次商亷隅之共積，乃以初商之髙與闊十尺自乗得一百尺，此一
方亷初商數也，又以初商之髙與闊十尺與初商之長十五尺相乗得一百五十尺，倍之得三百尺，加倍為??縱兩方亷，即初商加縱多也。”以下為初步
之算式：初商124481500948先取10尺為初商，再求 10 + 5 = 15，又求10 × 10 = 100 ，又再求 10
0 × 15 = 1500，此乃長方形體積。計算2448 – 1500 = 948是為次商亷隅之共積。又算10 × 15 = 15
0，2 × 150 = 300，《數理精藴》曰：“兩數相併得四百尺為次商三方亷面積，以除次商亷隅之共積九百四十八尺，足二尺，則以二
尺書於原積八尺之上，而以初商之髙與闊十尺倍之得二十尺，此兩長亷初商數也，與初商之長十五尺相併，此??縱一長亷也，得三十五尺，以次商
之二尺乘之，得七十尺為次商三長亷面積，又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積，合三方亷、三長亷、一小隅面積共得四百七十四尺為亷隅
共法，以次商之二尺乘之，得九百四十八尺書於餘積之下，相減恰盡，是知立方之髙與闊俱一十二尺加縱多五尺得一十七尺，即立方之長也。”以上
文意指先算出以下諸數：300 + 100 = 400 ，984 ÷ 400 = 2 ，10 × 2 = 20，20 + 15 =
35 ，2 × 35 = 70 ，22 = 4，400 + 70 + 4 = 474，最後得474 × 2 = 948。注意以下之
分拆圖：CBA21052210子A102B1015 × 10 × 2 = 30010 × 10 × 2 = 200C15 × 10
× 2 = 300己立方體及三長方體辰、巳、卯之體積為：23 + 22 × 15 + 22 × 10 + 22 × 10 = 8
+ 60 + 40 + 40 = 148300 + 200 + 300 + 148 = 948。948 ÷ 474 = 2所以
x = 12。如圖：甲乙丙丁長方體形容積二千四百四十八尺，其甲乙髙、甲戊闊皆十二尺，甲己長十七尺，甲己比庚己所多甲庚五尺，即縱多之
數。其從一角所分辛乙癸壬長方體形，壬癸與辛乙皆十尺，即初商數壬辛十五尺，即初商加縱多之數。辛乙癸壬長方積一千五百尺，即初商自乗，又
以初商加縱多再乘之數，所餘子形、丑形、寅形為三方廉，其中寅形為一正方廉，每邊十尺即初商數子形、丑形為二長方廉每闊十尺長十五尺其長比
闊多五尺，即縱多之數其厚皆二尺，即次商數卯形、辰形、巳形為三長廉，其辰形、巳形皆長十尺，即初商數卯形比辰形、巳形皆長五尺，即縱多之
數其闊與厚皆二尺亦即次商數，其巳形一小正方體為隅、其長闊與高皆二尺，亦即次商數合子、丑、寅三方廉，卯、辰、巳三長廉，巳一小方隅共成
一磬折體形，附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總長方體積也，三商以後，皆倣此遞析開之。又法：以初商積二千尺商十尺書於原積二千尺之上
，而以所商十尺為初商之高與闊，加縱多五尺得十五尺為初商之長，即以初商之高與闊十尺自乘得一百尺，又以初商之長十五尺再乘得一千五百尺，
書於原積之下，相減餘九百四十八尺為次商積。以下為初步之算式：初商124481500948 次商積先取10尺為初商，再求 10 +
5 = 15 ，10 × 10 = 100 ，100 × 15 = 1500，乃以初商之髙與闊十尺自乘得一百尺，又以初商之髙與闊十
尺與初商之長十五尺相乘得一百五十尺，倍之得三百尺，兩數相併得四百尺為次商三方亷面積，以除次商積九百四十八尺，足二尺，則以二尺書於原
積八尺之上。10 × 10 = 100 ，10 × 15 = 150 ，2 × 150 = 300 ，100 + 300 = 40
0 次商三方亷面積，948 ÷ 400 = 2，取整數。又10 + 2 = 12。合初商、次商共一十二尺為初商、次商之髙，與闊加縱多五尺得十七尺為初商、次商之長，乃以初商次商之髙與闊十二尺自乘得一百四十四尺，又以初商次商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺，與原積相減恰盡，即知立方之髙與闊俱十二尺，其長為十七尺也。12 + 5 = 17，12 × 12 = 14417 × 144 = 2448。剛好減盡。答：髙、闊為 12 尺，長為 17 尺。以下為《數理精藴》之原文：(1) |
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