2019年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2019?长春）如图，数轴上表示的点到原点的距离是
A． B．2 C． D．
2．（3分）（2019?长春）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019?长春）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019?长春）不等式的解集为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019?长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019?长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（3分）（2019?长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019?长春）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是、、．，，则函数的图象经过点，则的值为
A． B．9 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）（2019?长春）计算 ．
10．（3分）（2019?长春）分解因式： ．
11．（3分）（2019?长春）一元二次方程的根的判别式的值是 ．
12．（3分）（2019?长春）如图，直线，点、分别在、上，．过线段上的点作交于点，则的大小为 度．
13．（3分）（2019?长春）如图，有一张矩形纸片，，．先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为 ．
14．（3分）（2019?长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为 ．
三、解答题（共10小题，满分78分）
，其中．
16．（6分）（2019?长春）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
17．（6分）（2019?长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
18．（7分）（2019?长春）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．（结果保留
19．（7分）（2019?长春）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间（时 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数的值为 ，众数的值为 ．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
20．（7分）（2019?长春）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
21．（8分）（2019?长春）已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米时， ， ．
（2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
22．（9分）（2019?长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：
证明：连结．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点．
（1）如图②，若为正方形，且，则的长为 ．
（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为 ．
23．（10分）（2019?长春）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）①的长为 ；
②的长用含的代数式表示为 ．
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．
24．（12分）（2019?长春）已知函数为常数）
（1）当，
①点在此函数图象上，求的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．
2019年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
的点到原点的距离是
A． B．2 C． D．
【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：数轴上表示的点到原点的距离是2，
故选：．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：．
故选：．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：．
4．（3分）不等式的解集为
A． B． C． D．
【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出的取值．
【解答】解：移项得：
系数化为1得：．
故选：．
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为
A． B．
C． D．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为：
．
故选：．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
故．
故选：．
7．（3分）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是
A． B．
C． D．
【分析】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是、、．，，则函数的图象经过点，则的值为
A． B．9 C． D．
【分析】根据、的坐标分别是、、可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值．
【解答】解：过点作轴，垂足为，
、的坐标分别是、、，
，
在中，，
又，
，
又，
，
，
，代入得：，
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
．
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式．
故答案为：．
10．（3分）分解因式： ．
【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（3分）一元二次方程的根的判别式的值是 5 ．
【分析】根据根的判别式等于，代入求值即可．
【解答】解：，，，
△，
故答案为：5．
12．（3分）如图，直线，点、分别在、上，．过线段上的点作交于点，则的大小为 57 度．
【分析】直接利用平行线的性质得出的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：直线，
，
，
，
．
故答案为：57．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片，，．先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为 ．
【分析】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，，
，
，
由题意得，四边形为矩形，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
则的周长，
故答案为：．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为 2 ．
【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【解答】解：抛物线与轴交于点，
，抛物线的对称轴为
顶点坐标为，点坐标为
点为线段的中点，
点坐标为
设直线解析式为为常数，且
将点代入得
将点代入得
解得
故答案为：2．
三、解答题（共10小题，满分78分）
，其中．
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为套，由题意列出方程：，解方程即可．
【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为套，则实际每天加工彩灯的数量为套，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
18．（7分）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．（结果保留
【分析】（1）根据四边形是正方形，为的直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，为的直径，
，
，，
，
在与中，，
；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
的长．
19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间（时 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数的值为 2.5 ，众数的值为 ．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
中位数的值为，众数为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）（人，
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
20．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示，即为所求；
（2）如图②所示，即为所求；
（3）如图③所示，四边形即为所求；
21．（8分）已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 75 千米时， ， ．
（2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定、的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）乙车的速度为：千米时，
，．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2）（千米），
当时，设，根据题意得：
，解得，
；
当时，设，
；
（3）甲车到达距地70千米处时行驶的时间为：（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）．
答：当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：
证明：连结．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点．
（1）如图②，若为正方形，且，则的长为 ．
（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为 ．
【分析】教材呈现：如图①，连结．根据三角形中位线定理可得，，那么，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明；
结论应用：（1）如图②．先证明，得出，那么，又，可得，由正方形的性质求出，即可求出；
（2）如图③，连接．由（1）易证．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积比，同理，与的面积比，那么的面积的面积的面积的面积），所以的面积，进而求出的面积．
【解答】教材呈现：
证明：如图①，连结．
在中，，分别是边，的中点，
，，
，
，
，
；
结论应用：
（1）解：如图②．
四边形为正方形，为边的中点，对角线、交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
正方形中，，
，
．
故答案为；
（2）解：如图③，连接．
由（1）知，，，
．
与的高相同，
与的面积比，
同理，与的面积比，
的面积的面积的面积的面积），
的面积，
的面积．
故答案为6．
23．（10分）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）①的长为 25 ；
②的长用含的代数式表示为 ．
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算的长，根据三角函数即可计算出．
（2）当为矩形时，由可知，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出的值．
（3）当与重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．在三角形内部时，Ⅱ．有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过的中点，Ⅱ．过的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算值．
【解答】解：（1）在中，，，．
．
，
由题可知，
．
故答案为：①25；②．
（2）当为矩形时，，
，
，
，
由题意可知，，
，
解得，
即当为矩形时．
（3）当重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．在三角形内部时．延长交于点，
由（1）题可知：，，，，．
，，，
．在三角形内部时．有，
，
．
．
当时，与重叠部分图形为，与之间的函数关系式为．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当，与重叠部分图形为梯形时，
即：，解得：，
与重叠部分图形为梯形的面积．
综上所述：当时，．当，．
（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，，与交于点，为中点，过点作，
，
，
，，
，，
．．
，
，
，
解得：，
Ⅱ．如解题图（4）2，，与交于点，为中点，过点作，
，四边形为矩形，
，
，解得．
综上所述：当或时，点且平行于的直线经过一边中点时，
24．（12分）已知函数为常数）
（1）当，
①点在此函数图象上，求的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．
【分析】（1）①将代入；②当时，当时有最大值为5；当时，当时有最大值为；故函数的最大值为；
（2）将点代入中，得到，所以时，图象与线段只有一个交点；将点代入和中，得到，，
所以时图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，得到；当时，，得到，当时，，．
【解答】解：（1）当时，
，
①将代入，
；
②当时，当时有最大值为5；
当时，当时有最大值为；
函数的最大值为；
（2）将点代入中，
，
时，图象与线段只有一个交点；
将点代入中，
，
将点代入中，
，
时图象与线段只有一个交点；
综上所述：，时，图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，
，；
当时，，
，，
当时，，
；
函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或．
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