2019年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）
1．（2分）（2019?镇江）的相反数是 ．
2．（2分）（2019?镇江）27的立方根为 ．
3．（2分）（2019?镇江）一组数据4，3，，1，5的众数是5，则 ．
4．（2分）（2019?镇江）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
5．（2分）（2019?镇江）氢原子的半径约为，用科学记数法把0.00000000005表示为 ．
6．（2分）（2019?镇江）已知点、都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
7．（2分）（2019?镇江）计算： ．
8．（2分）（2019?镇江）如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则 ．
9．（2分）（2019?镇江）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于 ．
10．（2分）（2019?镇江）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则 ．（结果保留根号）
11．（2分）（2019?镇江）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘、，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 ．
12．（2分）（2019?镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）
A． B． C． D．
14．（3分）（2019?镇江）一个物体如图所示，它的俯视图是
A． B．
C． D．
15．（3分）（2019?镇江）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于
A． B． C． D．
16．（3分）（2019?镇江）下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是
A．
B．
C．
D．
17．（3分）（2019?镇江）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于
A． B． C． D．3
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
1）计算：；
（2）化简：．
19．（10分）（2019?镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式：
20．（6分）（2019?镇江）如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
（1）求证：；
（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．
21．（6分）（2019?镇江）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
22．（6分）（2019?镇江）如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，的半径为12，则 ．
23．（6分）（2019?镇江）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知与的面积满足．
（1） ， ；
（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．
24．（6分）（2019?镇江）在三角形纸片（如图中，，．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图．
（1） ；
（2）求正五边形的边的长．
参考值：，，．
25．（6分）（2019?镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
得分 类别 0 ：没有作答 1 ：解答但没有正确 3 ：只得到一个正确答案 6 ：得到两个正确答案，解答完全正确 已知两个班一共有的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是 ；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是多少？
26．（6分）（2019?镇江）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” ，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
【实际应用】
观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．
（1）求的度数；
（2）已知，求这两个观测点之间的距离即上的长．取
27．（10分）（2019?镇江）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线1，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．
（1）点的坐标是 ；
（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似．
①当时，求的长；
②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围 ．
28．（11分）（2019?镇江）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 ．（直接写出结果）
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）
的相反数是 2019 ．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】解：的相反数是：2019．
故答案为：2019．
2．（2分）27的立方根为 3 ．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：，
的立方根是3，
故答案为：3．
3．（2分）一组数据4，3，，1，5的众数是5，则 5 ．
【分析】根据众数的概念求解可得．
【解答】解：数据4，3，，1，5的众数是5，
，
故答案为：5．
4．（2分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
5．（2分）氢原子的半径约为，用科学记数法把0.00000000005表示为 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为．
故答案为：．
6．（2分）已知点、都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
【分析】反比例函数的图象在第二象限，在第二象限内，随的增大而增大，根据的值大小，得出值大小．
【解答】解：反比例函数的图象在二、四象限，而、都在第二象限，
在第二象限内，随的增大而增大，
．
故答案为：
7．（2分）计算： ．
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
8．（2分）如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则 40 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
由三角形的外角性质可知，，
故答案为：40．
9．（2分）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于 1 ．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为1．
10．（2分）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则 ．（结果保留根号）
【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用旋转的性质得，根据正方形的性质得，则可判断为等腰直角三角形，从而计算即可．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点落在对角线上，
，，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
11．（2分）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘、，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 80 ．
【分析】先根据题意求出转盘中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于计算即可．
【解答】解：设转盘中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为，
根据题意得：，
解得，
转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．
故答案为：80．
12．（2分）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是 ．
【分析】根据题意得，解不等式求得，把代入代数式即可求得．
【解答】解：抛物线过点，两点，
线段的长不大于4，
的最小值为：；
故答案为．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）
A． B． C． D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】从图形的上方观察即可求解；
【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，
故选：．
15．（3分）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于
A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出、，计算即可．
【解答】解：连接，
四边形是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：．
16．（3分）下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是
A．
B．
C．
D．
【分析】由数轴上解集左端点得出的值，代入第二个不等式，解之求出的另外一个范围，结合数轴即可判断．
【解答】解：由得，
．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
．由数轴知，则，，解得，与数轴相符合；
．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
故选：．
17．（3分）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于
A． B． C． D．3
【分析】如图1中，当点是的中点时，作于，连接．首先说明点与点重合时，的值最大，如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【解答】解：如图1中，当点是的中点时，作于，连接．
，，
，，
，
，
，
当点与重合时，的值最大．
如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．
，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；
（2）根据分式的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
19．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式：
【分析】（1）方程两边同乘以化成整式方程求解，注意检验；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．
【解答】解；（1）方程两边同乘以得
检验：将代入得
是原方程的解．
原方程的解是．
（2）化简得
原不等式的解集为．
20．（6分）如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
（1）求证：；
（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．
【分析】（1）由垂线的性质得出，，由平行线的性质和对顶角相等得出，由即可得出；
（2）连接、，由全等三角形的性质得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，，
，，
，
，
，，
，
在和中，，
；
（2）解：线段与互相平分，理由如下：
连接、，如图所示：
由（1）得：，
，
，
四边形是平行四边形，
线段与互相平分．
21．（6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，
则小丽和小明在同一天值日的概率是．
22．（6分）如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，的半径为12，则 ．
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出，得出，再由三角函数定义即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
点在圆上，
直线与相切；
（2）解：，
，
，
，
；
故答案为：．
23．（6分）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知与的面积满足．
（1） 3 ， ；
（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．
【分析】（1）由一次函数解析式求得点的坐标，易得的长度，结合点的坐标和三角形面积公式求得，所以，由反比例函数系数的几何意义求得的值；
（2）利用待定系数法确定直线函数关系式，易得点的坐标；利用，判定，根据该相似三角形的对应边成比例求得、的长度，易得点的坐标．
【解答】解：（1）由一次函数知，．
又点的坐标是，
．
．
．
点是反比例函数图象上的点，
，则．
故答案是：3；8；
（2）由（1）知，反比例函数解析式是．
，即．
故，将其代入得到：．
解得．
直线的解析式是：．
令，则，
，
．
．
由（1）知，．
设，则，．
，，
，
，即①，
又②．
联立①②，得（舍去）或．
故．
24．（6分）在三角形纸片（如图中，，．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图．
（1） 30 ；
（2）求正五边形的边的长．
参考值：，，．
【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；
（2）作于，根据正弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）五边形是正五边形，
，
，
故答案为：30；
（2）作于，
在中，，
，
在中，，
，
．
25．（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
得分 类别 0 ：没有作答 1 ：解答但没有正确 3 ：只得到一个正确答案 6 ：得到两个正确答案，解答完全正确 已知两个班一共有的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是 6分 ；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是多少？
【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在类，所以中位数是6分；
（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班、两类的学生数得到类和类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．
【解答】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：人，
将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在类，所以中位数是6分．
故答案为6分；
（2）两个班一共有学生：（人，
九（1）班有学生：（人．
设九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是人、人．
由题意，得，
解得．
答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是6人、17人．
26．（6分）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” ，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
【实际应用】
观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．
（1）求的度数；
（2）已知，求这两个观测点之间的距离即上的长．取
【分析】（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，则，证出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出；
（2）同（1）可证，求出，由弧长公式即可得出结果．
【解答】解：（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）同（1）可证，
，
．
27．（10分）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线1，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．
（1）点的坐标是 ；
（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似．
①当时，求的长；
②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围 ．
【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；
（2）由对称轴可知点，，，点关于对称轴对称的点，，借助的直线解析式求得；①当时，，可求，，当时，，；当与不平行时，；②当，时，，，所以，则有且只有一个与相似时，；
【解答】解：（1）顶点为；
故答案为；
（2）对称轴，
，
由已知可求，，
点关于对称点为，，
则关于对称的直线为，
，
①当时，，
，，
当时，，
，
，
；
当与不平行时，，
，
，
；
综上所述，；
②当，时，
，
，
，
，
有且只有一个与相似时，；
故答案为；
28．（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 90 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 ．（直接写出结果）
【分析】【观察】①设此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
②此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；
②设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；
【拓展】由题意得到，得到，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
【解答】解：【观察】①相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人甲从相遇点到点所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：90；
②相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：120；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
经检验：是分式方程的根，
即：，
故答案为：50；
②当时，点在线段上，
线段的表达式为，
当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
即：，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，，
，
第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，
，
，
，
，
故答案为．
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