2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）（2019?鄂尔多斯）有理数的相反数为
A． B． C． D．3
2．（3分）（2019?鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019?鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，在正方形的外侧，作等边，则为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019?鄂尔多斯）下列计算
①②③④⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019?鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分 30 25 20 15 人数（人 2 1 若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是
A． B． C．2.5 D．5
7．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019?鄂尔多斯）下列说法正确的是
①函数中自变量的取值范围是．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
9．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，矩形与菱形的对角线均交于点，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕过点．若，，，则的长为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019?鄂尔多斯）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米与行驶时间（秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
．
12．（3分）（2019?鄂尔多斯）一组数据，0，1，2，3的方差是 ．
13．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，中，，以为直径的分别与，交于点，，连接，过点作于点．若，，则阴影部分的面积是 ．
14．（3分）（2019?鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，则 ．
15．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，个单位得到的，直线与此折线有且为整数）个交点，则的值为 ．
16．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，在圆心角为的扇形中，，为上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
1）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
18．（9分）（2019?鄂尔多斯）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了 名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是 度，并补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？
（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．
19．（8分）（2019?鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？
20．（7分）（2019?鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝和康镇进行研学活动，澄澄老师在网上查得，和分
别位于学校的正北和正东方向，位于南偏东方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的处时，导航显示，在处北偏东方向有一服务区，且位于，两地中点处．
（1）求，两地之间的距离；
（2）校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米时，计算校车是否超速？
（参考数据：，，
21．（8分）（2019?鄂尔多斯）如图，是的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的长．
22．（9分）（2019?鄂尔多斯）某工厂制作，两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元的最大值及相应的值．
23．（11分）（2019?鄂尔多斯）（1）【探究发现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则，，之间满足的数量关系是 ．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长．
24．（12分）（2019?鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．
（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
的相反数为
A． B． C． D．3
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：有理数的相反数为：．
故选：．
2．（3分）（2019?鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项与此也不符，
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项与此也不符，正确的是．
故选：．
3．（3分）（2019?鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故选：．
4．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，在正方形的外侧，作等边，则为
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出，然后根据列式计算即可得解．
【解答】解：在正方形中，，，
在等边中，，，
在中，，，
所以，，
所以．
故选：．
5．（3分）（2019?鄂尔多斯）下列计算
①②③④⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是
A． B． C． D．
【分析】随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，
故选：．
6．（3分）（2019?鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分 30 25 20 15 人数（人 2 1 若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是
A． B． C．2.5 D．5
【分析】首先根据平均数求得、的值，然后利用中位数及众数的定义求得和的值，从而求得的值即可．
【解答】解：平均数为23，
，
，
即：，
，
，，
中位数，，
，
故选：．
7．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得，所以，再利用基本作图得到垂直平分，平分，所以，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
由作法得垂直平分，平分，
，，
，
，
的度数是．
故选：．
8．（3分）（2019?鄂尔多斯）下列说法正确的是
①函数中自变量的取值范围是．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
【分析】利用等腰三角形的性质、正多边形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①函数中自变量的取值范围是，故错误．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．
④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，正确，
故选：．
9．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，矩形与菱形的对角线均交于点，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕过点．若，，，则的长为
A． B． C． D．
【分析】延长交于点，连接、，则为直角三角形，证明四边形为菱形，则可证，由勾股定理求得的值，再由梯形的中位线定理，即可得出答案．
【解答】解：延长交于点，连接、；如图所示：
则，为直角三角形，
四边形是菱形，，
，，，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
根据题意得：是梯形的中位线，
，
；
故选：．
10．（3分）（2019?鄂尔多斯）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米与行驶时间（秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
【分析】由图象可知，两车经过18秒相遇，继续行驶秒，两车的距离为24米，可求速度和为米秒，距离为米，在快车到地停留3秒，两车的距离增加米，慢车的速度为：米秒，而根据题意米的距离相当于慢车行驶秒的路程，故速度为米秒，因此，，解得：米，从而可求慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒．
【解答】解：速度和为：米秒，
由题意得：，解得：，
因此慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒．
故选：．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
．
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
故答案为：．
12．（3分）（2019?鄂尔多斯）一组数据，0，1，2，3的方差是 2 ．
【分析】利用方差的定义求解．方差．
【解答】解：数据的平均数，
方差．
故填2．
13．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，中，，以为直径的分别与，交于点，，连接，过点作于点．若，，则阴影部分的面积是 ．
【分析】根据即可求解．
【解答】解：连接，
，，，
，
，
．
故答案．
14．（3分）（2019?鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，则 或 ．
【分析】分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：①如图1中，
在中，，是的中线，设，则，，
．
②如图2中，
在中，，是的中线，设，则，，
．，
故答案为：或．
15．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，个单位得到的，直线与此折线有且为整数）个交点，则的值为 ．
【分析】由点、的坐标，结合平移的距离即可得出点的坐标，再由直线与此折线恰有，且为整数）个交点，即可得出点在直线上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出值．
【解答】解：，，，，，
．
直线与此折线恰有且为整数）个交点，
点在直线上，
，
解得：．
故答案为：．
16．（3分）（2019?鄂尔多斯）如图，在圆心角为的扇形中，，为上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为 ．
【分析】如图，以为斜边在的右边作等腰，以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，，，．首先证明点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，以为斜边在的右边作等腰，以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，，，．
，
，
点是内心，
，
，，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
点的运动轨迹是，
内心所经过的路径长，
故答案为．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
1）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
【分析】（1）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从的整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题；
（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
，
当时，原式；
（2），
由不等式①，得
，
由不等式②，得
，
故原不等式组的解集是，
该不等式组的非负整数解是0，1．
18．（9分）（2019?鄂尔多斯）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了 200 名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是 度，并补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？
（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．
【分析】（1）根据无所谓人数及其所占百分比可得总人数，乘以很赞同人数所占比例可得其圆心角度数，由各部分人数之和等于总人数求出不赞同的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中不赞同人数所占比例即可得；
（3）用表示男生，表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的家长人数为（人，
扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是，
不赞同的人数为（人，
补全图形如下：
故答案为：200、27；
（2）估计其中“不赞同”的家长有（人；
（3）用表示男生，表示女生，画图如下：
共有20种情况，一男一女的情况是12种，
则刚好抽到一男一女的概率是．
19．（8分）（2019?鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题；
【解答】解：（1）观察图象，可知：当时，水温
当时，设关于的函数关系式为：，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
与的函数关系式为：，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
，
怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待；
20．（7分）（2019?鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝和康镇进行研学活动，澄澄老师在网上查得，和分
别位于学校的正北和正东方向，位于南偏东方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的处时，导航显示，在处北偏东方向有一服务区，且位于，两地中点处．
（1）求，两地之间的距离；
（2）校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米时，计算校车是否超速？
（参考数据：，，
【分析】（1）作于．由题意，可得，设千米，则千米，构建方程即可解决问题．
（2）求出的长，再求出校车的速度即可判断．
【解答】解：（1）如图，作于．
由题意，可得，设千米，
点是的中点，，
千米，
在中，，
，
，
（千米），（千米），（千米），
（千米）．
（2）在中，（千米），
（千米），
千米小时，
，
校车没有超速．
21．（8分）（2019?鄂尔多斯）如图，是的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的长．
【分析】（1）连接，如图，通过证明得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）连接，如图，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，然后证明，再利用相似比计算的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，
，
，
，即，
．
22．（9分）（2019?鄂尔多斯）某工厂制作，两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元的最大值及相应的值．
【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，
（2）、的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产产品的人数是产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出与的函数关系式，
（3）由于工艺品每件盈利，随着的变化而变化，得出工艺品的每件盈利与的关系，再根据总利润，等于三种工艺品的利润之和，得出与的二次函数关系，但，最大值时，蹦为顶点坐标，因为不为整数，因此要根据抛物线的增减性，确定为何整数时，最大．
【解答】解：（1）设制作一件获利元，则制作一件获利元，由题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元．
（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：
，
答：与之间的函数关系式为．
（3）由题意得：
，
又
，
，对称轴为，而时，的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当时，元．
此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
23．（11分）（2019?鄂尔多斯）（1）【探究发现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则，，之间满足的数量关系是 ．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长．
【分析】（1）如图1中，结论：．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，结论不成立．．连接，在上截取，连接．首先证明，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设．构建方程求出可得，再利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，结论：．理由如下：
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）如图2中，结论不成立．．
理由：连接，在上截取，连接．
四边形是菱形，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
（3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设．
在中，，
，
，
解得（舍弃）或，
，
，
，，，四点共圆，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
由（2）可知：，
．
24．（12分）（2019?鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．
（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出过点平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，最大，再求出此直线的解析式，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当时，先求出的长，进而求出，的长，再构造出相似三角形即可得出结论；
②当时，利用锐角三角函数求出点的坐标，最后用对称的性质得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作直线，使，过点作，
当直线与抛物线只有一个交点时，最大，等于，
直线的解析式为，
设直线的解析式为①，
抛物线的解析式为②，
联立①②化简得，，
△，
，
直线的解析式为，
令，则，
，，
，
在△中，，
．
（3）①当时，如图2，
是的切线，
半径为1，，
轴，
，，
，
与是的切线，
，，
，，
在中，，
，
，
，
过点作轴，
轴，
△，
，
，
，，
，
，，
②当时，如图3，
，
，
，
在中，，，
，
，
过点作轴于，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
，，
，，
而点与关于点对称，
，，
即：满足条件的点的坐标为，或或，或，．
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