人教版2022-2023学年九年级数学上册二次函数y=ax^2bxc的图象和性质练习题学校:___________姓名：__________
_班级：_______________一、单选题1．抛物线的对称轴是直线（?）A．B．C．D．2．抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2
）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y
1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个
交点，且两交点的距离为6．A．②③④B．①②④C．①③D．①②③④3．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（?）A．当时，B．当时
，C．当时，D．当时4．把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（?）A．B．C．D．5．已
知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（?）A．B．C．D．6．平面直角坐标系中，抛物线y＝
ax2﹣3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+
x3，那么m和n的关系是（ ）A．m＝2n﹣3B．m＝n2﹣3C．m＝2n﹣5D．m＝n2﹣57．小明以二次函数的图象为灵感为某
葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（?）A．12B．11C．6D．38．己知二次函数的图象如图，
则下列结论：（1）（2）方程一定有两个不相等的实数根（3）y随x的增大而增大（4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是
(?)?A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正
方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1 cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与
点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为S cm2，则能反映S与t的函数关系的图象是（?）
B．C． D．10．二次函数的图象如图所示，，则下列判断正确的是（?）A．B．C．D．二、填空题11．规定：两个函数，的图象关于y
轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图
象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．12．如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点（2，0），且对称轴
为．下列四个结论：①；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）．其中正确的结论是______（填写序号）．13．已知
抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．14．李玲用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格，根据表格
上的信息回答问题：该二次函数当时，________．x…-1012…y…1-2-3-2…15．平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛
物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．三
、解答题16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0
＜x＜3时，则y的取值范围．17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．(1)求抛物线的解析式
和顶点坐标；(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；参考答案：1．B【分析】先将抛物线化为顶点式，即，得出对称轴【详解】抛物线
，该抛物线的对称轴是直线，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质．解题关键是掌握抛物线y＝a（x?h）2＋k的顶点坐标为（h，
k），对称轴为x＝h．2．B【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移
可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x＝2时，y取
得最小值﹣9；故①符合题意； y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，而 故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个
单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；当时，则 解得： 而 故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的
是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．3．B【分析】分两种情况讨论，通过解
不等式和，可对各项进行判断．【详解】解：当时，，整理得，，，解得或；当时，，整理得，，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数
与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式
求解．4．A【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解
析式写出即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，1），∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）∴所得抛物
线解析式是．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．5．D【分析】先将抛物线配
成顶点式，求出对称轴为，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为和，根据开口向上即可判断．【详解】解：抛物线，∴对称轴，顶点坐标为，当时
，，解得或，∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，∴当，，时，，故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的
关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．6．C【分析】假设A、B两点在二次函数图象上，
C点在直线上，然后根据题意及根与系数的关系得到n＝3+x3即x3＝n﹣3，进而代入直线解析式求解即可．【详解】∵y＝ax2﹣3ax
+c，∴对称轴为直线x＝﹣，如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在直线y＝2x+1上，∴x1+x2＝3，∵n＝x
1+x2+x3，∴n＝3+x3，∴x3＝n﹣3，∴m＝2（n﹣3）+1，∴m＝2n﹣5，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查二
次函数与一次函数的综合问题，根据解题及函数相关知识点得出x3的关系式是解题的关键．7．A【分析】首先由求出D点的坐标为（1，6），
然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．【
详解】∵，∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，∵AB=4，∴CB=CA=2，∴B点的横坐标为：2+1=3，代入B点横
坐标即可求出B点的纵坐标，∴当x=3时，，∴B点纵坐标为14，∵D点的纵坐标为6，∴CD=14-6=8，∴CE=CD+DE=8+4
=12，则杯子的高度为12，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．8．B【分析】
根据x=-1时，y>0，即可判断①；二次函数的图象与横轴有两个交点，再结合二次函数与一元二次方程的关系可判断②；根据二次函数的性质
与图象可判断③；由函数的对称轴为，，则 ，再由函数图象与纵轴交点位置得出c的正负，结合一次函数即可判断④【详解】根据图象，x=-1
时，y>0即故①正确∵二次函数的图象与横轴有两个交点，∴方程一定有两个不相等的实数根，故②正确在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在
对称轴右侧，y随x的增大而增大，故③错误∵函数的对称轴为，∴ 函数图象与纵轴交点在横轴的下方∴c<0∴bc>0∴函数的图象一定过第
二象限，故④错误故选：B【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点性质与一元二次方
程的解的应用．9．B【分析】分当时，当时，当时三个阶段，分别求出三个阶段的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得AH=CH=
BH=4cm，FE=FG=GH=EH=2cm，当时，如图1所示，设EF与CH交于K，则；当时，如图2所示，设EF与BC交于M，则；
当时，如图3所示，设GF与BC交于L，则；故选B．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够根据题意得到三个阶段的函
数表达式．10．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x=1时，函数值为负
，求得a+b+c<0，从而求解．【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，∴，故A选项错误，不符合题意；抛物线的对称轴，∴，故B选项
错误，不符合题意；抛物线与y轴交于正半轴，∴，故C选项错误，不符合题意；∵，∴当时，，故D选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题
主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．11．或【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称
点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点
，当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，当时，此函数是二次函数，它们的图象与x轴都只有一个
交点，它们的顶点分别在x轴上，，得，故k+1=0，解得k=-1，故原函数的解析式为，故它的“Y函数”解析式为，故答案为：或．【点睛
】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思
想是解决本题的关键．12．①③④【分析】由题意得到抛物线的开口向上，得出，对称轴﹣＝，判断a，b与0的关系，再根据抛物线与y轴的交
点得出c的符号，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得a+b＝0，即可判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及c＜
0，得到4a+2b+3c＜0，即可判断③；先根据a+b＝0和4a+2b+c＝0得c＝﹣2a，再根据对称性可知：抛物线过（﹣1，0）
，即可判断④．【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，即﹣＝，，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴的负
半轴上，∴，∴，故①正确；②∵，∴a+b＝0，故②不正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0
），∴4a+2b+c＝0，抛物线与y轴交点在负半轴，所以c＜0，∴4a+2b+3c＜0，故③正确；④由对称得：抛物线与x轴另一交点
为（﹣1，0），∵，∴c＝﹣2a，∴＝﹣1，∴无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0），故④正确．综合分析可得，正确的有：①③
④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物
线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与
b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y
轴交于（0，c）．13．【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．
【详解】解：将代入中得到：，解得，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当时，对
应的最大为：，当时，对应的最小为：，故n的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标
代入即可求解．14．1【分析】观察表格中的x，y值，找到对称点确定对称轴，在找x=3的对称点的y值，即可求出【详解】由上表可知函数
图象经过点（0，-2）和点（2，-2），∴对称轴为x==1，∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，∵当x=-1时，y=1，
∴当x=3时，y=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关键，另外本题也
可以求出二次函数解析式，然后求值15．【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+P
Q，根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），∵点P是抛物线C上第一象限内一动
点，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移
，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．16．(1)；（1，-4）；(2)【分析】（1）利
用待定系数解答，即可求解；（2）由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，可得当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增
大而增大，即可求解．（1）解：把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为；∵，∴抛物线
的顶点坐标为（1，-4）；（2）解：由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，∵抛物线的开口向上，∴当x=1时，二次函数有最小值-4，且
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=0，∴当0＜x＜3时，则y的取值范围为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．17．(1)，顶点坐标为（1，4）；(2)0＜y≤4【分析】（1）将A与B的坐标代入解析式求出b与c的值，即可得到抛物线的解析式，将解析式化成顶点式可得顶点坐标；（2）根据图象即可求出y的取值范围．（1）解：将A（?1，0）和B（3，0）代入y＝?x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝0，∴由函数图象可得：当0＜x＜3时，0＜y≤4．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的顶点坐标，二次函数的最值等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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