人教版2022-2023学年九年级数学上册解一元二次方程（公式法）练习题学校:___________姓名：___________班级：___
_________一、单选题1．方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有
两个不相等的实数根2．若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（?）A．B．C．且D．且3．若关于x的一元二次方程没有实数根，则
实数m的取值范围是（?）A．B．C．且D．4．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（?）A．有两个相异正根B．有两个相
异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根5．一元二次方程 的根的情况是（?）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相
等的实数根D．有一个实数根6．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3
的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（?）A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2B．若M1＝1，M2＝1
，则M3＝1C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝27．若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x
＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（?）A．B．C．且k≠2D．且k≠28．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值
之和为（?）A．B．C．D．9．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（?）A．B．若点都在抛物线上，则C．当时，y随x
的增大而减小D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，则关于的一元二次
方程有实数根，则所有满足条件的整数的值之和是（?）A．B．C．D．二、填空题11．已知关于x的方程，在内有两个不相等的实数根，则n
的取值范围是___________________________．12．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程
的两个根，则的值为_______．13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．14．若双曲线与
直线AB：只有一个公共点P，则k=________．15．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______________
__．三、解答题16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)
若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．17．已知关于的一元二次方程．(1)若，解这个方程；(2)若该方程有实数根，求的取值范
围．18．如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边
BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为3
00平方米；(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．参考答案：1．A【分析】判断方程的根的情况，
只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号就可以了．【详解】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜
0，∴方程无实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2－
4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．2．D【分析】方程为
一元二次方程，故a≠0，再结合根的判别式：当≥0时，方程有实数根；即可求解．【详解】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，∴a≠
0，≥0时，方程有实数根；∴，解得：a≤1，∴且，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练地掌握根的判别式与根的
关系是解题的关键．当≥0时，方程有实数根，当<0时，方程无实数根．3．A【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根
的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：方程是关于的一元二次方程，，解得，又关于的一元二次方程没有实数根
，此方程根的判别式，解得，综上，实数的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次
方程根的判别式是解题关键．4．C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可
化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛
】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．5．A【分析】根
据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．【详解】解：∵一元二次方程 中，∴，该方程没有实数根，故选A．【点睛】本题考查了一元二次
方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的
实数根；当时，方程没有实数根．6．B【分析】利用一元二次方程根的判别式一一证明即可．【详解】解：∵a＝2，∴y1＝x2+2x+1＝
（x+1）2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），∴M1＝1，∵y2＝x2+bx+2，∴，当M2＝1时，b2﹣8＝0，∴b2＝ac＝8
，∴c＝4，∴y3＝x2+4x+3，∵，∴M3＝2，故A选项正确,B错误；当M2＝0时，b2﹣8＜0，∴b2＝ac＜8，∴c＜4，
∴，∴M3＝0或1或2，故C正确；当M2＝2时，，∴，∴，∴，∴M3＝2，故D选项正确；故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的
交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用一元二次方程的根的判别式解决问题．7．B【分析】分情况讨论
：当k-2=0时，方程为一元一次方程，方程有一个实数解；当k-2≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ=≥0，解得k≤3且k≠2，然后
综合两种情况得到k的取值范围．【详解】解：当k-2=0时，方程化为-2x+1=0，解得x=；当k-2≠0时，根据题意得Δ=≥0，解
得k≤3且k≠2，综上所述，k的取值范围为k≤3．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式
对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．8．D【分析】
先解方程可得x（a），根据方程的解是负整数可得是负整数，进而可求解满足条件的所有非负整数a的值，即可求解．【详解】解：解关于x的方
程得x（a），∵关于x的方程的解是负整数，∴是负整数，∴ 或或或即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，∴满足条件的所有
整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，故答案为：D．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，正确求解一元一次
方程是解题的关键．9．C【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物
线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．【详解】解：A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个
不相等的实数根，b2-4ac＞0，故A选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的
距离，所以m=n，故B选项不符合题意； C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的
增大而减小，故C选项符合题意； D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a
≠0）没有实数根，故D选项不符合题意． 故选：C．【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、
最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．10．D【分析】根据反比例函数的图象
在第一、三象限，可得： 根据关于的一元二次方程有实数根，可得：且 再结合a为整数，从而可得答案．【详解】解：∵反比例函数的图象在第
一、三象限，∴ 解得： ∵关于的一元二次方程有实数根，且 解得：且 综上：且 ∵为整数，∴或或，∴ 故选：D．【点睛】本题考查的是
反比例函数的图象与性质，一元二次方程的根的判别式，“理解反比例函数的图象与系数k的关系，根据一元二次方程的解的情况列不等式求解参数
的取值范围”都是解本题的关键．11．-7＜n≤-5【分析】根据“方程有两个不相等的实数根”求出n＞-7，解出方程，根据在内有两个不
相等的实数根，求出n的取值，问题得解．【详解】解：原方程整理得，∴，∵方程有两个不相等的实数根，∴∴n＞-7，∴∵方程在内有两个不
相等的实数根，∴，解得n≤-5，n≤11，∴n≤-5，又∵n＞-7，∴-7＜n≤-5．故答案为：-7＜n≤-5【点睛】本题考查了含
字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次方程的两个根，根根据题意列出不等式．12．12或1
6【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．其中，每种情况
下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．【详解】解：由题意，分以
下两种情况：（1）当6为等腰三角形的腰长时，则关于 x 的方程 x2?8x+m=0的一个根x1=6 代入方程得，36-48+m=0
解得m=12 则方程为 x2?8x+12=0 解方程，得另一个根为x2=2 ∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角
形的三边关系定理；（2）当6为等腰三角形的底边长时，则关于x的方程 x2?8x+m=0 有两个相等的实数根∴根的判别式解得，m=1
6则方程为x2?8x+16=0 解方程，得 x1=x2=4∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．综
上，m的值为12或16．故答案为：12或16．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系
定理等知识点．正确分两种情况讨论是解题关键．13．且．【分析】由题意可得Δ＞0且k≠0，然后解不等式即可．【详解】解：由题意得：Δ
＞0，∴整理得：．又∵k≠0，∴实数k的取值范是且k≠0．故答案是：且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记
不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．14．3【分析】联立，，可得，根据双曲线和直线AB只有一个公共点P，结合一元二次
方程的根的判别式，列式并求解即可获得答案．【详解】解：联立，，可得，整理得 ，∵双曲线y=与直线AB只有一个公共点P，∴有两个相等
实数根，即，解得 k=3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌
握相关性质，利用数形结合思想分析问题是解题关键．15．9【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．【详解】解：根据
题意得△，解得．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相
等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．16．(1)见解析(2)2【分析】（1）先证明 即可得到结论；（
2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系求解另一个根即可．（1）证明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，∴m＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0．∵2÷1＝2，∴方程的另一个根为
2．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系解题
是关键．17．(1)，(2)【分析】（1）把代入，得到，再解这个方程即可；（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求的取值范围．（
1）解：∵关于的一元二次方程，∴当时，方程为，∴，∴，．（2）∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：．∴的取值范围为．【点睛】本
题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式用表示，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程
有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．18．(1)当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米(2)不能围成500平
方米的矩形花园，理由见解析【分析】（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60-x+2）m，再
根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．（2）利用根的判别式进行判断即可．（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x
+2）米，依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝300，x2﹣62x+600＝0，解这个方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去），∴x＝12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝500，x2﹣62x+1000＝0，△＝622﹣4000＝﹣156＜0，则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．答：不能围成500平方米的矩形花园．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
|
