人教版数学2022-2023学年九年级上册二次函数的图象和性质课时2二次函数的图象和性质练习题学校:___________姓名：______
_____班级：___________________一、单选题1．二次函数的对称轴为（?）A．直线B．直线C．直线D．直线2．抛
物线抛物线的相同点是（?）A．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相同D．顶点都在x轴上3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，
的大小关系为（?）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（?）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标
为（2，1），对称轴为直线x=2C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可由的图象向右平移2
个单位长度，再向上平移1个单位长度得到5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（?）A．若a＞0，则当
x≥1时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1）D．当a＝﹣2时
，函数图像与x轴没有交点6．已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（?）A．表达式为B
．图象开口向下C．图象与轴有两个交点D．当时，随的增大而减小二、解答题7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1
）．(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围．8
．已知二次函数y=x2+mx+m2?3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+
m x +m2?3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．9．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污
水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过
程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度
降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天）3569……硫化物的浓度y（mg
/L）4.52.72.251.5……(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)在整改过程中，当
x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为
什么？10．如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和，直线，交轴于点，交于点，（在的左侧）．（1）当时，①直接写出抛物线
的对称轴和顶点坐标，并求的长；②当时，求的最大值和最小值的差．（2）是否存在，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时
，抛物线的最高点到的距离为1，请直接写出此时的值．11．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的
横坐标为－8．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C
，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．三、填空
题12．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．1
3．如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③
若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________．14．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向
下平移2a个单位．（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为__
____．参考答案：1．D【分析】根据，即可求得．【详解】解：该二次函数的对称为直线，故选：D.【点睛】本题考查了求二次函数的对称
轴问题，熟练掌握和运用求二次函数对称轴的方法是解决本题的关键．2．D【分析】根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利
用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴．【详解】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），抛物线y＝?4（x＋
2）2的开口向下，对称轴为直线x＝?2，顶点是（?2，0），∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝?4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上
，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．3．B【分析】根据二次
函数的对称性，可利用对称性，找出点的对称点，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．【详解】解：∵二次函数的解析式为：，∴该二次函数
的对称轴为：直线，∴点关于对称轴的对称点为，∵点都在对称轴左侧，对称轴左侧随的增大而增大∴故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象上
点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．4．C【分析】根据二次函数的性质和函数解析式，可以判断各个选项
中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，∴该函数的图象开口向上，
对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增
大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y
=（x-2）2+1，故选项D的说法正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题
的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．B【分析】根据二次函数的性质进行计算，依次判断即可得．【详解】解：A、抛物线的对称轴
为直线：，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线：，若a＜0，则当x≤1
时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意；C、当，时，，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意
；D、当a＝﹣2时，，，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键
是掌握二次函数的性质．6．D【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．【详解】解：∵抛物线顶
点坐标为(2，1)，∴，将(0，5)代入得，解得，∴，故选项A不符合题意；∵a=1>0，∴图象开口向上，故选项B不符合题意；∵顶点
坐标为(2，1)，且图象开口向上，∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，∴时，随增大而
减小，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系
．7．(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3）(2)﹣3≤n＜6【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值
，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；（2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围．（1）解：
把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1，∴a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴图象的顶点坐
标为（1，﹣3）；（2）解：如图所示：由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上，∴点Q（m，
n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6．【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式
化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型．8．(1)m=1(2)二次函数的图象与x轴有两个
交点，理由见解析．【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2?3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而
得出答案．（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2?3图象经过点P(2，4) ，∴4=4+2m+m2?3，即m2+2m?3=0，
解得：m1=1，m2=?3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x?2，∵Δ=b2?4ac=12+8=9>
0，∴二次函数y=x2+x?2的图象与x轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是
解题关键．9．(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；(2)y＝（x≥3）；(3)该企业所排污水中硫化物
的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两
点坐标代入求出k、b的值即可；（2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可；（3）根据（2）所得表达式，求出x=1
5时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，
4.5）代入函数关系式，得 ，解得：k=﹣2.5，b=12∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+
12；（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时
间x的函数表达式为：y= ；（3）解：能，理由如下：当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓度，
能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项
是解题关键．10．（1）①对称轴为直线，顶点坐标为；；②8；（2）存在；；（3）的值为或或或．【分析】（1）①当时，得到抛物线，化
为顶点式即可得到对称轴与顶点坐标，再求出A，B坐标，故可得到AB的长；②当时，根据抛物线的图象与性质分别求出最大值和最小值，即可求
解；（2）根据当，时，分别画出图形，根据及直线依次求解；（3）把抛物线化为顶点式得到对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，可知函数最
高点坐标为，根据最高点到直线的距离为1，分当直线在最高点上方时与直线在最高点下方时分别代入即可求解 ．【详解】解：（1）①当时，抛
物线=．∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．∵当时，，当时，（负值舍去），∴，，．②当时，抛物线的最大值为顶点纵坐标，∴的最大值为
，抛物线的最小值为时，，∴最大值和最小值的差为．（2）存在的值，使得．如图1，当时，∵在的左侧，∴若，则，代入表达式得．∴．如图2
，当时，∵在的左侧，当时，，即．令，解得．又，∴．由上可知，当时，抛物线与直线有一个交点；当时，与无交点；当时，与有两个交点．则一
定在的左侧，不存在的情况．综上，存在的值，使得，此时．（3）或或或．∵，∴抛物线的对称轴为直线．又∵抛物线开口向下，∴抛物线的最高
点坐标为．∴最高点到直线的距离为1，∴当且时，顶点处有最大值，∴当直线在最高点上方时，，解得或（舍）；当直线在最高点下方时，，解得
或（舍）．当且时，处有最大值，当直线在最高点上方时，，解得或（舍）；当直线在最高点下方时，，解得或（舍）．综上所述，的值为或或或．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质，根据题意分情况讨论求解．11．(1)(2)，15【分析】（
1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用直线解析式和抛物线解析式可得P、D坐标，然后
表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列
式整理，再根据二次函数的最值问题解答．（1）解：在一次函数中，令，则，解得，当时，，∴点A（2，0），B（﹣8，），把点A、B代入
抛物线得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：；（2）解：∵点P在抛物线上，点D在直线上， ∴P（x，），D（x，），∴PD=，∵P
E⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，过点B作BH⊥x轴于H
，∵A（2，0），B（﹣8，），∴tan∠BAH=，即tan∠BAO=，∴sin∠DPE=sin∠BAO=，cos∠DPE=cos
∠BAO=，∴PE=PD·cos∠DPE=PD，DE=PD·sin∠DPE=PD，∴l= PD+DE+ PE=PD+PD+PD=P
D=，∵，∴当x=﹣3时，l取最大值15．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函
数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的最值等知识，利用数形结合进行分析是解决问题的关键．12．【分析】根据二次函数的性质求解即可
．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物
线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜
0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．【详解】解： ∵二次函数图象开口向下，∴二次项
系数，∵与y轴交于点（0，3），∴常数项，∴这个二次函数的解析式可以是．故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和系数的
关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质和系数的关系．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开
口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号
时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于
（0，c）．13．①②④【分析】对于①，观察图像与x的交点，可得出对应一元二次方程的根的情况，即可判断；对于②，根据对称轴计算即可
；对于③，先确定点的对称点，再根据抛物线的性质判断；对于④，根据对称轴为，再结合时与时函数值相等，即可判断．【详解】①由函数图像可
知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴①正确；②∵抛
物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，∴，∴2a＝b，∴②正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点在抛物线上，∴．∵
，且抛物线对称轴左边图像y值随x的增大而增大，∴y1＜y3＜y2．∴③错误；④∵当x＝﹣3时，y＜0，且对称轴为，∴当与x=-3的函数值相同，∴④正确；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键.14．???? 3或1##1或3???? 2【分析】（1）先求出平移后的解析式，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．【详解】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，∴，∵平移后的二次函数图象经过点，∴，解得，故答案为3或1；（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，∴，∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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