2019年上海市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）（2019?上海）下列运算正确的是
A． B． C． D．
2．（4分）（2019?上海）如果，那么下列结论错误的是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019?上海）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是
A． B． C． D．
4．（4分）（2019?上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是
A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大
5．（4分）（2019?上海）下列命题中，假命题是
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
6．（4分）（2019?上海）已知与外切，与、都内切，且，，，那么的半径长是
A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
．
8．（4分）（2019?上海）已知，那么 ．
9．（4分）（2019?上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
10．（4分）（2019?上海）如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
11．（4分）（2019?上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是 ．
12．（4分）（2019?上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注斛是古代一种容量单位）
13．（4分）（2019?上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降，已知某登山大本营所在的位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么关于的函数解析式是 ．
14．（4分）（2019?上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克．
15．（4分）（2019?上海）如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么 度．
16．（4分）（2019?上海）如图，在正边形中，设，，那么向量用向量、表示为 ．
17．（4分）（2019?上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是 ．
18．（4分）（2019?上海）在和△中，已知，，，，点、分别在边、上，且△，那么的长是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
20．（10分）（2019?上海）解方程：
21．（10分）（2019?上海）在平面直角坐标系中（如图），已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点在轴上，当时，求点的坐标．
22．（10分）（2019?上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．
（1）求点到的距离；
（2）求、两点的距离．
23．（12分）（2019?上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
24．（12分）（2019?上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线的“不动点”的坐标；
②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．
25．（14分）（2019?上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
2019年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24
1．（4分）（2019?上海）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式，故错误；
（C）原式，故错误；
（D）原式，故错误；
故选：．
2．（4分）（2019?上海）如果，那么下列结论错误的是
A． B． C． D．
【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：，
，
故选：．
3．（4分）（2019?上海）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是
A． B． C． D．
【考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质
【分析】一次函数当时，函数值总是随自变量增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大．
【解答】解：.该函数图象是直线，位于第一、三象限，随的增大而增大，故本选项正确．
.该函数图象是直线，位于第二、四象限，随的增大而减小，故本选项错误．
.该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故本选项错误．
.该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项错误．
故选：．
4．（4分）（2019?上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是
A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大
【考点】算术平均数；中位数；方差
【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为，
甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：．
5．（4分）（2019?上海）下列命题中，假命题是
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【考点】命题与定理
【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：.矩形的对角线相等，正确，是真命题；
.矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
.矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
.矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：．
6．（4分）（2019?上海）已知与外切，与、都内切，且，，，那么的半径长是
A．11 B．10 C．9 D．8
【考点】圆与圆的位置关系
【分析】如图，设，，的半径为，，．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设，，的半径为，，．
由题意：，
解得，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
【解答】解：．
8．（4分）（2019?上海）已知，那么 0 ．
【考点】函数值
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：当时，．
故答案为：0．
9．（4分）（2019?上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：正方形的面积是3，
它的边长是．
故答案为：
10．（4分）（2019?上海）如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△，由此可以建立关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
【解答】解：由题意知△，
．
故填空答案：．
11．（4分）（2019?上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
掷的点数大于4的概率为，
故答案为：．
12．（4分）（2019?上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注斛是古代一种容量单位）
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛米斛，1个小桶可以盛米斛，
则，
故，
则．
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
13．（4分）（2019?上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降，已知某登山大本营所在的位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么关于的函数解析式是 ．
【考点】函数关系式
【分析】根据登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高气温下降，可求出与的关系式．
【解答】解：由题意得与之间的函数关系式为：．
故答案为：．
14．（4分）（2019?上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 90 千克．
【考点】用样本估计总体；扇形统计图
【分析】求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案．
【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约（千克），
故答案为：90．
15．（4分）（2019?上海）如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么 120 度．
【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数．
【解答】解：是斜边的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为120．
16．（4分）（2019?上海）如图，在正边形中，设，，那么向量用向量、表示为 ．
【考点】平面向量
【分析】连接．利用三角形法则：，求出即可．
【解答】解：连接．
多边形是正六边形，
，，
，
，
，
故答案为．
17．（4分）（2019?上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是 2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；解直角三角形
【分析】由折叠可得，，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到，进而得到．
【解答】解：如图所示，由折叠可得，，
正方形中，是的中点，
，
，
，
又是的外角，
，
，
，
．
故答案为：2．
18．（4分）（2019?上海）在和△中，已知，，，，点、分别在边、上，且△，那么的长是 ．
【考点】全等三角形的性质
【分析】根据勾股定理求得，设，则，根据全等三角形的性质得出，，，即可求得，根据等角的余角相等求得，即可证得△，根据其性质得出，解得求出的长．
【解答】解：如图，在和△中，，，，，
，
设，则，
△，
，，，
，
，，
，
△，
，即，
解得，
的长为，
故答案为．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
【考点】分数指数幂；实数的运算
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
20．（10分）（2019?上海）解方程：
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
21．（10分）（2019?上海）在平面直角坐标系中（如图），已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点在轴上，当时，求点的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题
【分析】（1）设一次函数的解析式为，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与轴的解得为，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：，
一次函数的图象平行于直线，
，
一次函数的图象经过点，
，
，
一次函数的解析式为；
（2）由，令，得，
，
一次函数的图形与轴的解得为，
点在轴上，
设点的坐标为，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
点的坐标是．
22．（10分）（2019?上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．
（1）求点到的距离；
（2）求、两点的距离．
【考点】解直角三角形的应用；矩形的性质
【分析】（1）过点作，垂足为点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在△中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离；
（2）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离．
【解答】解：（1）过点作，垂足为点，交于点，如图3所示．
由题意，得：厘米，．
四边形是矩形，
，
．
在△中，厘米．
又厘米，厘米，
厘米，
厘米．
答：点到的距离为厘米．
（2）连接，，，如图4所示．
由题意，得：，，
是等边三角形，
．
四边形是矩形，
．
在中，厘米，厘米，
厘米，
厘米．
答：、两点的距离是厘米．
23．（12分）（2019?上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
【考点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）连接，根据，，即可得出垂直平分，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出，求出，再根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）如图1，连接，，，
、是的两条弦，且，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
；
（2）如图2，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
24．（12分）（2019?上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线的“不动点”的坐标；
②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解．
【解答】解：（1），
故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，
解得：或3，
故“不动点”坐标为或；
②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，
新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，
四边形是梯形，
直线在轴左侧，
与不平行，
，
又点，点，
，
故新抛物线是由抛物线向左平移2个单位得到的，
新抛物线的表达式为：．
25．（14分）（2019?上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，
，同理，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，
，
，
，
，此时．
②当时，，
，
与相似，
，此时．
综上所述，或，或．
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