第一学期期末学情抽测初三数学样题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
. 观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】根据
轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第
三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形．故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．故选：
C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图
形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 分式﹣可变形为（ ）A. ﹣B. ﹣C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接
利用分式基本性质将分式变形得出答案．【详解】解：分式﹣．故选：D．【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的性质是解题关
键．3. 若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的一个外角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先设这
个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=1080，继而可求得答案．【详解】设这个正多边形的边数为n，∵一
个正多边形的内角和为1080°，∴180（n-2）=1080，解得：n=8，∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷8=45°．故
选：A.．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．4. 在网页制
作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，8，9，9，8.对这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 中位数
是8.B. 众数是9C. 平均数是8.5D. 极差是5【答案】C【解析】【分析】由题意可知：总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取
中间两个数的平均数为中位数，则中位数为8.5；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的众数为8和9；这组数据的
平均数=（7+10+9+8+8+9+9+8）÷8=8.5；一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为3．【详解】A、按
从小到大排列为：7，8，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9）÷2=8.5，故A选项错误；B、8和9都出现了3次，次数最多
，所以众数是8和9，故B选项错误；C、平均数=（7+10+9+8+8+9+9+8）÷8=8.5，故C选项正确；D、极差是：10-7
=3，故D选项错误．故选：C．【点睛】考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．5. 下列因式分
解中：①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+4x+4＝（x+2）2；③﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x）；④x3﹣9x＝x
（x﹣3）2，正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的方法可直接进行排
除选项．【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故正确；④，故错误，∴正确的个数有2个；故选B．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练
掌握因式分解的方法是解题的关键．6. 小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：成绩（分）94959798100周数（个）1224
1这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）A. 97.5 2.8B. 97.5 3C. 97 2.8D. 97 3
【答案】B【解析】【分析】根据中位数和方差的定义计算可得．【详解】这10个周的综合素质评价成绩的中位数是(分)，平均成绩为(分)，
∴这组数据的方差为，故选B．【点睛】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义以及求解方法．7. 2019年5月
26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（ ）A. 签约金额逐
年增加B. 与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多C. 签约金额的年增长速度最快的是2016年D. 2018年的签约金额比
2017年降低了22.98%【答案】C【解析】【分析】根据图像逐项分析即可.【详解】A.2016至2018 签约金额逐年减少，故不
正确；B. ∵381.3-40.9=330.4亿元，422.3-221.6=100.7亿元，∴2016年的签约金额的增长量最多，故
不正确；C. 由B知签约金额的年增长速度最快的是2016年，正确；D. ∵（244.6-221.6）÷244.6=9.4%，∴2
018年的签约金额比2017年降低了9.4%，故不正确.故选C.【点睛】本题考查读折线统计图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好
落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质得到AC=
CD，BC=CE，AB=DE，故A错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A=∠ADC=，∠CBE=，求得∠
A=∠EBC，故D正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误．【详解】∵将△A
BC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC=CD，BC=CE，AB=DE，故A错误，C错误；∴∠ACD=∠BCE，∴∠A=∠ADC=
，∠CBE=，∴∠A=∠EBC，故D正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误故选：D
．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．9. 分式方程的解是（ ）A. B. C. D. 无
解【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】去分母得
：解得：x=1经检验，x=1是增根，分式方程无解.故选：D.【点睛】此题考查了分式方程的解，要始终注意分母不为0这个条件.10.
如图，过对角线的交点，交于，交于，若的周长为36，，则四边形的周长为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 20【答案】A【解析
】【分析】根据平行四边形的性质可求出AD+CD的值，易证△AOE≌△COF，所以AE=CF，OE=OF=3，根据CF+CD+ED+
EF=AD+CD+EF即可求出答案．【详解】在平行四边形ABCD中，2（AB+BC）=36，∴AB+BC=18，∵四边形ABCD是
平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC∴∠AEF=∠CFE，在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，OE=OF=3
，∴EF=6∴AB+BF+FE+EA=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF=18+6=24故选：A．【点睛】本题考查平行四边形
的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质，本题属于中等题型．11. 计算的正确结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
解析】【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按同分母分式加减的法则计算就可以了.【详解】，===.故选：A.【点睛】本
题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和约分的运用，解答的过程中注意符号的运用以及完全平方公式的运用.12. 顺次连接平面上A、B
、C、D四点得到一个四边形，从①，②，③，④四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形是平行四边形”，这一结论的情况共有（ ）A.
2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．【详解】如图，当①AB∥CD，③∠
A=∠C时，四边形ABCD为平行四边形；理由：∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠A=∠C，∴∠D+∠A=180°，∵AB∥
CD，∴四边形ABCD是平行四边形；当①AB∥CD，④∠B=∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由：同上；当③∠A=∠C，④∠B
=∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴2∠
A+2∠B=360°∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理：AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形；综上可得，所选方式有：①
③，①④，③④，共3种，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（
2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．二、填空题（本大题共8个小题；每小题4分，共32分，将答案填在答题纸上）13. 如果分
式的值为零，那么则x的值是______．【答案】2【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零，由此问题可求解．【
详解】解：由分式的值为零，可得：且，解得：，故答案为2．【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
14. 分解因式：=____.【答案】【解析】【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．【详解】．故答案为：15. 若分式
方程有增根，则m＝________.【答案】－1【解析】【分析】首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值．详解】解
：解方程可得：x=m+2，根据方程有增根，则x=1，即m+2=1，解得：m=－1．故答案为：-1【点睛】本题考查分式方程的增根，掌
握增根的概念是本题的解题关键．16. 某商店以定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销售，减少
库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元.设该商店3月份这种商品的售价是元，则根据题意所
列方程为__________．【答案】【解析】【分析】设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据
数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程【详解】设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商
品的售价为0.9x元，根据题意得：，故答案为：.【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.17
. 如图，在中，，，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出BC=AD=5，再由勾股定理可得出A
C=12，过作DF⊥BC交BC的延长线于点F，可证明四边形ACFD是矩形，再运用勾股定理即可求出BD的长.【详解】∵四边形ABCD
是平行四边形，∴BC=AD=5，AD∥BC,∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形，∴ 过作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则AC∥
DF，由AD∥BC知CF∥AD，∴四边形ACFD是平行四边形，∵，即∠ACF=90°，∴四边形ACFD是矩形，∴DF=AC=12，
CF=AD=5，∠DFC=90°，在Rt△ABF中，BF=BC+CF=5+5=10，DF=12， ∴.【点睛】此题考查了平行四边形
的性质，勾股定理以及矩形的判定，能求出AC的长度是解此题的关键．18. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接
第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是__________．【答案】【解析】【分析】根据三角
形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的．【详解】△ABC周长为1，因为每
条中位线均为其对应边的长度的，所以：第2个三角形对应周长为；第3个三角形对应的周长为；第4个三角形对应的周长为；以此类推，第n个三
角形对应周长为；所以第2020个三角形对应的周长为．故答案为：．【点睛】此题考查中位线定理，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长
是上一个三角形周长的的规律，进行分析解决题目．19. 如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点
是对应点，则_____度．【答案】【解析】【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可
得到答案.【详解】如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，∵，的垂直平分线交于点，∴点是旋转中心，∵，∴旋转角.故答案为.【
点睛】本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.20. 如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的
坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每
三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶
点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【详解】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一
个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2019÷3=673，∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后
一个三角形的直角顶点，∵673×12=8076，∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．故答案为（8076，0）.【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结
合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．三、解答题：本大题共7个小题，满分70分。.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.21. （1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）先将括号内分式通分，化为同
分母分式，然后把把除法转化为乘法，约分化简即可；（2）先将括号内的分式通分，化为同分母分式，然后把把除法转化为乘法，约分化简后代入
a计算即可.【详解】（1）；（2）当时，原式.【点睛】本题主要考查了分式化简，涉及到分式的混合运算，要注意先去括号；分子，分母能分
解因式的先分解因式，除法要统一为乘法运算.22. 我市某中学举行“中国梦?校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名
选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表；平均数（分）中位数（
分）众数（分）初中部85高中部85100（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；（3）计算两队决赛成绩的方差
并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）平均数（分）中位数（分）众数（分）初中部858585高中部8580100（2）初
中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定【解析】【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意
义回答．（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可．（3）分别求出初中、高中部的方差比较即可．【详解】解：（1）初中部5名选手
的成绩分别为：75，80，85，85，100，初中部的平均数为：（分），85出现的次数最多，所以初中部5名选手的成绩的众数为85，
高中部5名选手的成绩按从小到大排列为：70，75，80，100，100，所以高中部5名选手的成绩的中位数为80；填表如下：平均数（
分）中位数（分）众数（分）初中部858585高中部8580100（2）初中部成绩好些．∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，∴
在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．（3）∵，∴＜，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．【点睛】此题考查了众数，中位数和平
均数以及方差的求解，解题的关键是熟练掌握众数，中位数和平均数以及方差的求法．23. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A
、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
．（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）只要证明，即可．（2）先证明得，再
在中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形．（2）四边形是平行四边
形，，四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，在中，，，，，．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾
股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24. 如图，在平面直角坐
标系中，的三个顶点的坐标分别为、、.（1）按下列要求作图：①将向左平移5个单位得到，并写出点的坐标；②将绕原点逆时针旋转90°后得
到，并写出点的坐标；（2）与重合部分的面积为 （直接写出答案）.【答案】（1）①图详见解析，点；②图详见解析，点；（2）【解析】【
分析】（1）①分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．②分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（2）依据三角形面
积计算公式进行计算即可.【详解】（1）①如图所示，点；②如图所示，点（2）与重合部分的面积=.【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移
变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．25. 已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.（1）求证：；（2）连
接，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CB
D，进而得出BE=DE．（2）先用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而得出∠ADB=∠CBD，再由折叠得出∠C''BD=
∠CBD，进而得出∠C''BD=∠ADB，得出BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC''=∠EC''A
=∠EBD=∠EDB，进而得出AC''∥BD；【详解】证明：（1）由折叠可知：∵四边形是平行四边形，∴∴∴∴（2）如图，由（1）知B
E=DE，∴AE=C''E，∴∠DAC''=（180°-∠AEC''）=90°-∠AEC''，同理：∠ADB=90°-∠BED，∵∠AEC
''=∠BED，∴∠DAC''=∠ADB，∴AC''∥BD.【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属
于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．26. 某书店在图书批发中心选购两种科普书，种科普书每本进价
比种科普书每本进价多20元，若用2400元购进种科普书的数量是用950元购进种科普书数量的2倍.（1）求两种科普书每本进价各是多少
元；（2）该书店计划种科普书每本售价为126元，种科普书每本售价为85元，购进种科普书的数量比购进种科普书的数量的一倍还多4本，若
两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进种科普书多少本？【答案】（1）种科普书每本的进价为96元， 种科普书每本的进
价为76元；（2）至少购进种科普书78本.【解析】【分析】（1）设B种科普书每本的进价为x元，则A种科普书每本的进价为（x+20）
元，根据数量=总价÷单价结合用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验即可得出结论；（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书本，根据总利润=每本利润×购进数量结合总获利超过1240元，即可得出
关于m的一元一次不等式，解之结合m，均为正整数，即可得出m的最小值，此题得解．【详解】（1）设种科普书的进价为元/本.则种的进价为
元/本，根据题意得：解得：经检验：是所列分式方程的解∴答: 种科普书每本的进价为96元， 种科普书每本的进价为76元.（2）设购进
种科普书本，则购进种科普书本根据题意得：解得：∵为正整数，且为正整数，∴为3的倍数，∴的最小值为78.答：至少购进种科普书78本.
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间
的关系，正确列出一元一次不等式．27. 已知是等边三角形.（1）将绕点逆时针旋转角（）；得到，和所在直线相交于点.①如图，当时，与
是否全等？ （填“是”或“否”）， 度；②当旋转到如图所在位置时，求的度数；（2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时
针旋转角（），得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，直接写出结果，不必说明理由.【答案】（1）①是， 120；②120°；
（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE
，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求
出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠
ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得
到∠DAE=60°，从而得解；（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BA
D=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的内角和定
理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．【详解】（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ
得到，△ABC是等边三角形，∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（
SAS）；∵θ=20°，∴∠ABD=∠AEC=（180°-20°）=80°，又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，∴
在四边形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°；②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE，∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ，∴△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠AEC，∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABD+∠BAD=180°，∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠DAE+∠BOE=180°，又∵∠DAE=60°，∴∠BOE=120°；（2）如图，∵AB=AB′，AC=AC′，∴，∴B′C′∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形，根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE），=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD），=180°-（∠ACB+∠ABC），=180°-（60°+60°），=60°，当时，∠BOE=∠BOC=60°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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