2021-2022学年第一学期期末学业水平考试初三数学试题温馨提示：1．考试时间120分钟，满分120分．2．考试过程中允许考生进行剪、拼、
折叠等实验．一 、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个
是正确的．1. 当时，下列分式没有意义的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判
断即可.【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.2. 下列几
何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形
和中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：图1不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；图2不是轴对称图形，也不是中心对称图
形，不符合题意；图3既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；图4是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；符合题意的只有图3
故选：D．【点睛】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图
形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，熟练地掌握概念是解决本题的关键．3. 下
列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式的定义判断即可；【详解】
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式，能利用平方差公式进行因
式分解，符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是
解题的关键．4. 有4张扑克牌，不让别人看见，只将其中一张牌旋转180°，旋转后的四张牌与旋转前四张牌看起来未发生变化，你能确定哪
张牌一定被旋转过吗？（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后与原图形重合进行
判断即可得．【详解】解：选项中A、B、D旋转180°后与原图形不能完全重合，选项C中图形旋转180°后与原图形重合，故选：C．【点
睛】题目主要考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形的定义是解题关键．5. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B
. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C【解析】【分析】根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定进行判断即可.【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，不
符合题意；B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形，不符合题意；C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；D. 一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定，熟练地掌握并熟练运用
以上判定是解决问题的关键.6. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）A. B. C
. D. 【答案】B【解析】【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到
，故A选项不符合题意；B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、
是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度
数．7. 某班评选一名优秀学生干部，下表是班长和团支部书记的得分情况：班长团支部书记思想表现2426学习成绩2624工作能力282
6假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3：3：4，通过计算比较，下列结论正确的是（ ）A. 班长应
当选B. 团支部书记应当选C. 班长和团支部书记的最后得分相同D. 班长的最后得分比团支部书记多2分【答案】A【解析】【分析】根据
加权成绩进行求解，比较大小即可．【详解】解：班长的成绩：24×0.3+26×0.3+28×0.4=26.2分团支部书记成绩：26×
0.3+24×0.3+26×0.4=25.4分∵26.2>25.4∴班长应当选故选：A．【点睛】本题考查加权成绩的计算，加权成绩等
于各项成绩乘不同的权重之和，正确地计算能力是解决问题的关键．8. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，下列结论不正确的
是（ ）A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8D. 极差是4【答案】C【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数以及极差的
算法进行计算，即可得到不正确的选项．【详解】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确，不合题意；10次成
绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是：（8+8）=8，故B选项正确，不合题意；平均数为（6+7×2
+8×3+9×2+10×2）=2，故C选项错误，符合题意；极差为10﹣6=4，故D选项正确，不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考
查了众数、中位数、平均数以及极差，正确把握相关定义是解题关键．9. 如果，那么代数式的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D.
3【答案】D【解析】分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=∴原式=3，故选D.【点睛
】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公
司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投
递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设原来平均每人
每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，
即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递
公司的快递员人数不变列出方程，得：，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．11. 如图，在□ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，
连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）A. 四边形DEBF为平行四边形B. 若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形C. 若AE=
5，则四边形DEBF为菱形D. 若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的
判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．【详解】解：∵O为BD的中点，∴OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴D
C//AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，
故A选项不符合题意，若AE＝3.6，AD＝6， ∴，又∵，∴，∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD， ∴∠AED＝∠ADB
＝90°．∴四边形DEBF为矩形．故B选项不符合题意，∵AB＝10，AE＝5，∴BE＝5，又∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB＝5，
∴DE＝BE，∴四边形DEBF为菱形．故C选项不符合题意，∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形
，∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形
的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是
解题的关键．12. 如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）A.
平行四边形菱形平行四边形矩形B. 平行四边形正方形平行四边形矩形C. 平行四边形正方形菱形矩形D. 平行四边形菱形正方形矩形【答案
】A【解析】【分析】连接AC，可证得四边形AECF是平行四边形，然后根据AE与CE的数量关系，即可求解．【详解】解：如图，连接AC
，∵点为矩形的对称中心，∴OA=OC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∠OFC=∠OEA，∴△AOE≌△COF
，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴当AE＜CE时，四边形AECF是平行四边形，当AE=CE时，四边形AECF是菱形，
当AE＞CE时，四边形AECF是平行四边形，当点E到达点B时，四边形AECF是矩形；∴四边形形状的变化依次为故选：平行四边形菱形平
行四边形矩形．故选：A【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质和判定，菱形的判定定理是解题的关键．二
、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）13. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是_______________．【
答案】540°【解析】【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°即可求出结果.【详解】黑色正五边形的内角和为:(5- 2)×
180° = 540°，故答案为：540°.【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式.14. 已知关
于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为_______个．【答案】4【解析】【分析】求出分式方程的解，根据题意建立不等式
，求得解集，后确定正整数解得个数，注意方程的增根时对应的m值，要删除．【详解】∵，∴m+2（x-1）=3，解得x=，∵分式方程的解
为非负数，∴≥0，解得m≤5，∴正整数m的值为1,2,3,4,5，∵x=1是分式方程的增根，∴m=3，要扣除，∴正整数m的所有个数
为4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解不等式，求不等式的正整数解，分式方程的增根，熟练解分式方程，根据解的非负
数性质构造不等式并求其特殊解是解题的关键，注意增根．15. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，
2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________． 【答案】（1，
-1）【解析】【分析】由旋转的性质可得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F，同时旋转中心在AD和BE的垂直平分线上，进而
求出旋转中心坐标．【详解】解：由旋转的性质，得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F作BE和AD的垂直平分线，交点为P∴点
P的坐标为（1，-1）故答案为：（1，-1）【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转
角有30°，45°，60°，90°，180°．16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖
面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________
_． 【答案】11【解析】【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，即可解决问题．【详解】解：如图
，连接DK，DN，∵∠KDN=∠MDT=90°，∴∠KDM=∠NDT，∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，∴△DKM≌△DN
T（ASA），∴S△DKM=S△DNT，∴S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，∴正方形ABCD的面积=4××9+2=11
．故答案为：11．【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决
问题．17. 如图，菱形的边长为2，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，直线交于点E，连接，则的
长为______．【答案】【解析】【分析】如图，连接EB．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可．【详
解】如图，连接EB．由作图可知，MN垂直平分线段AB，∴EA=EB，∴∠A=∠EBA=45°，∴∠AEB=90°，∵AB=2，∴E
A=EB=，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=90°，∴EC=故答案为：【点睛】本题主要考查菱形的性质，
垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握上述三个性质，是解题的关键．18. 如图，矩形纸片，cm，cm，为边上一点．将沿所在的直线折
叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则_____________ cm．【答案】8【解析】【分析】如图，连
接，，由折叠的性质可得垂直平分，由可知点在线段上，则，可知为的中点，又由点时的中点可知为的中位线，根据，求出的值，在中，由勾股定理
得，求解的值即可．【详解】解：如图，连接，由折叠的性质可得垂直平分又∵∴点在线段上∴∴为的中点又∵点时的中点∴为的中位线∴cm在中
，由勾股定理得故答案为：8．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．熟练掌握相关基本性质是解题的
关键．三、解答题（本大题共6个题，满分66分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）19. （1）已知，且，求的值．（2
）先化简，再从，0，1中选择合适的值代入求值．【答案】（1），1；（2），-1【解析】【分析】（1）将式子化简为，已知条件化简然后
代入求解即可；（2）将分式化简，然后由分式有意义的条件代入求值即可．【详解】（1）解：原式，∵，∴原式；（2）原式，∵，∴取，原式
．【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3）
，B（4，4），C（2，1）．（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；（2）把绕原点O旋转1
80°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）
中心对称．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．【解析】【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A
1B1C1；（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后△A2B2C2；（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中
心的坐标．【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，得到A1B1C1即为所求；（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，得
到A2B2C2即所求；（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．故答案为：﹣2，0．【点睛】本题考查的是平移，旋
转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．21. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，
某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合
格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，
7，6，7，9，7，10，6．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级平均数
众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.5a745%八年级7.58bc八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：根据以上信息，
解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？
请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多
少？【答案】（1），，；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8
分及以上人数所占百分比比七年级的高；（3）估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人【解析】【分析】（1）七年级20名学生的测
试成绩的众数找出现次数最多的即可得出a的值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数
20人即可得出c的值；（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论；（3）用七八年级的
合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以1200即可得出答案．【详解】解：（1）七年级20名学生
的测试成绩的众数是：7，∴，由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：，∴，八年级8分及以上人数有10人，所占百分比
为：50%∴，（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人
数所占百分比比七年级的高；（3）七年级合格人数：18人，八年级合格人数：18人，人，答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有108
0人．【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数的概念是解决本题的关键．22.
为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间
相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．【答案】A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．【解析】【分析】设A型
号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求
解即可．【详解】设A型号机器人每小时搬运原料，则B型号机器人每小时搬运原料由题意得：解得经检验，是所列分式方程的解则答：A型号机器
人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．需注意的
是，求出分式方程的解后，一定要进行检验．23. 如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：（1
）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，，即可得到； (
2)依据平行四边形的性质，即可得出，，由折叠可得，，，即可得到，，进而得出．【详解】(1)四边形是平行四边形，，由折叠可得， ，，
，；(2)四边形是平行四边形，，，由折叠可得，，，，，又，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练
掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.24. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时
针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝6
0°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【答案】（1）∠ADE＝15°；（2）见解析．【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等边对等角即可求出∠CAD＝∠CD
A＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝AC，然后根据30
°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB＝AC，从而得出 BF＝AB，然后证出△ACD和△BCE为等边三角形，再利用HL证出△CFD
≌△ABC，证出DF＝BE，即可证出结论．【详解】（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝C
D，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°
﹣∠CAD＝15°；（2）证明：如图2，连接AD∵点F是边AC中点，∴BF＝AF=CF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴
BF=CF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC∴D
E＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，在Rt△CFD和Rt△ABC
中∴Rt△CFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】此题考查的是旋转的
性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三
角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．25. 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将Rt△ABE绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；【解决问题】（2）若请求出正方形的面积；【猜想证明】（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．【答案】（1）四边形是正方形，理由见详解 （2）225 （3），理由见详解【解析】【分析】（1）根据旋转的性质及矩形的判定得出四边形是矩形，再由邻边相等的矩形是正方形即可证明；（2）根据题意可得，结合图形利用勾股定理即可得出结果；（3）过点D作于H，根据正方形的性质及全等三角形的判定得出，结合全等三角形的性质及旋转的性质及可证明．【小问1详解】解：四边形是正方形，证明：将绕点B按顺时针方向旋转90°，∴，，，又∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形；【小问2详解】解：∵，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴正方形ABCD的面积为225；【小问3详解】，理由如下：如图，过点D作于H，∵，，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，又∵，，∴（AAS），∴，∵将绕点B按顺时针方向旋转90°，∴，∵四边形是正方形，∴，∴．【点睛】题目主要考查正方形的判定及性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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