2022-2023学年人教版数学九年级上册正多边形和圆同步练习题学校:___________姓名：___________班级：_______
_________一、填空题1．已知正方形ABCD外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_
______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当
点A落在四边形BCED内部点的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当
点A落在四边形BCED外部点的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，
当点A、D分别落在四边形BCFE内部点、的位置时，你能求出∠、∠、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列
材料，并完成相应的任务：克罗狄斯?托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四
边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形A
BCD内接于⊙O，则有 ．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，
求对角线BD的长．5．如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4．(1
)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角
线AC和BE相交于点M．（1）求证：AC∥ED；（2）求证：ME＝AE．7．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列
问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由
．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，是等边三角形，点、、G分别
在边、、BC上，且，、、AG分别相交于点、P、Q．求证：△PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形中,若∠DOE保持120°
角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的．10．
已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点． (1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，
如图2，求：的值为多少；(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．三、单选题11．如图，已知⊙O的半
径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（?）A．B．C．D．
12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（?）A．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B．等边三角形的边都等于60，
角都等于60°；C．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；13．正多边形的内
切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（?）A．B．C．D．14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙
O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个
顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（?）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．
整个图形不是中心对称图形D．是等边三角形参考答案：1． 【分析】设正八边形的边长为，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方
形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形
外接圆的直径就是它的对角线，正方形边长为，如图所示，设正八边形的边长为，在中，,，，解得：，即正八边形的边长为．．故答案是：，．【
点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30【分析】
根据正多边形的中心角公式：计算即可【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多
边形中心角的计算公式3．（1）2∠A＝∠1+∠2；见解析；（2）2∠A＝∠1﹣∠2；见解析；（3）2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+3
60°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平
角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定
理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3==（180-∠1），∠4==（180-∠2），∵∠A+∠3+∠4
=180°，∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，整理得，2∠A=∠1+∠2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，∠
3=（180-∠1），∠4=（180+∠2），∵∠A+∠3+∠4=180°，∴∠A+（180-∠1）+（180+∠2）=180°，
整理得，2∠A=∠1-∠2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，∠3=（180-∠1），∠4=（180-∠2），∵∠A+∠D+∠3+
∠4=360°，∴∠A+∠D+（180-∠1）+（180-∠2）=360°，整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°．【点睛
】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）；（2）【分析】（1）由
托勒密定理可直接求解；（2）连接，根据圆周角与弦的关系可得，设，在四边形中，根据托勒密定理有，，建立方程即可求得的长【详解】（1）
由托勒密定理可得：故答案为：（2）如图，连接，五边形是正五边形，则,设，即解得（舍去）【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关
系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)【分析】（1）过点P作x
轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，）；（2）易求D（6，0），E（8，），待定系数法求出DE的解析式
为y＝x﹣，联立反比例函数与一次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵
P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，∴BP＝4，G是CD的中点，∴，∴P（4，），∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）
的图象上，∴k＝，∴反比例函数解析式为y＝，由正六边形的性质可知，A（2，），∴点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D（6
，0），E（8，），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，由方程，解得x＝（负数舍去），∴Q点横坐标为．．【点睛】本题
考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见
解析【分析】（1）作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，由∠EAC的度数等于的度数的一半，得到∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×
3＝108°，则 ∠EAC+∠AED＝180°，即可证明ED∥AC；（2）由∠AEB的度数等于的度数的一半，得到∠AEB=36°，
则∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，可推出∠EAM＝∠EMA＝72°，即可证明 EA＝EM．【详解】解：∵正多边形必
有外接圆，∴作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，∵ ∠EAC的度数等于的度数的一半，∴ ∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝
108°，∴ ∠EAC+∠AED＝180°，∴ ED∥AC；（2）∵∠AEB的度数等于的度数的一半，∴∠AEB=36°，∴∠EMA
＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°，∴ EA＝EM．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线
的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)(2)是正三角形，理由见解析(3)【分析】（1）根据正
五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．（1）解：∵正五边形．∴，∴，∵，∴(优弧所对圆心角)，∴；（2）
解：是正三角形，理由如下：连接，由作图知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，
∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8
．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD≌△CBE，得到∠ACD=∠CBE，结合三角形外角的性质可证∠BFD=∠60°，进而可
证△PQF是等边三角形．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB，又∵AD=CE，∴△ACD≌△
CBE（SAS）；∴∠ACD=∠CBE，∵∠ACB=∠ACD+∠BCF=60°，∴∠BFD=∠CBE+∠BCF=∠ACD+∠BCF
=60°，同理可得，∠APE=60°，∴△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：△OAB
≌△OBC≌△OCA．则∠1＝∠2，再证明△OAG≌△OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可
得△OAB≌△OBC≌△OCA．∴?∠1＝∠2．设OD交BC于F，OE交AC于G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5
+∠4＝120°，∴?∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，∴?△OAG≌△OCF．∴?．【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三
角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(2)(3)或【分析】（1）根据题意可得，根据平
行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情
况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，
在上，四边形是正方形（2）解：如图，连接，正方形绕点逆时针方向旋转，，（3）解：①如图， ，，,,，三点共线，中，，，由（2）可知
，?，．②如图：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，AC=，∵AG=AD，
∴AG=AD=8，∵四边形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三点共线．∴∠AGC=90°∴CG=，
∴CE=CG+EG=8+8，∴DG=CE=．综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相
似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC、BC，如图，先判
断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△
ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC，如图，由作法可知AC＝BC＝
AB＝2，∴△ACB为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴S阴＝4S弓形BC+2S△ABC﹣
S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4222﹣π×12π﹣2．故选
：A．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此
类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【
分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合
题意； B． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C． 等边三角形中线、高、角
平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B
．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角
△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求
出多边形的内角和.【详解】如图：∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，∴半径之比为，设AB是正多边形的一边，OC⊥AB， ，在直
角△AOC中，，∴∠AOC=30°，∴∠AOB=60°，则正多边形边数是：，∴多边形的内角和为：，故选：A．【点睛】本题考查学生对
正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【
分析】连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据
正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，点在上，且是和的角平分线，，，，，恰好是圆
O的一个内接正边形的一边，，故选：D．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键
．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A．∵ 根据正八边形的性质， 四边形ABCH与四边形EFGH能够
完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵ 正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴ HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴ B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝ ∵OE＝OH∴∠OEH＝∠OHE＝∠DOE＝22.5°∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝（180°－∠CHE）＝67.5°∴不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页 |
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