湖南省衡阳市2020年中考数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.－3相反数是（ ）
3 B. －3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义可得答案．
【详解】解：的相反数是
故选A．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可
【详解】A．和不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．和不是同类项，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键．
3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】1.2亿=120000000=1.2×108． 故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故A 选项错误；
B. ，故B 选项错误；
C ，故B 选项错误；
D. ，故D 选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键．
5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6.要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件即可解答．
【详解】根据题意可知，，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．
7.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. AB∥DC,AB=DC B. AB=DC,AD=BC
C. AB∥DC,AD=BC D. OA=OC,OB=OD
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.
【详解】A. ∵ AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；
B. ∵ AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD平行四边形；
C.等腰梯形ABCD满足 AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；
D. OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
故选C.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
8.下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【详解】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
9.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断．
【详解】解：，
解①得：x≤1，
解②得：x＞-2，
则不等式组的解集是：?2＜x≤1．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10.反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】
将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
12.如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD的长是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13.因式分解：__________．
【答案】a(a+1)
【解析】
【分析】
提取a即可因式分解.
【详解】 a(a+1)
故填：a(a+1).
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解.
14.计算：_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键．
15.已知一个边形的每一个外角都为30°，则等于_________．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．
【详解】解：360°÷30°=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形外角和为360°是解答本题的关键．
16.一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．
【答案】23
【解析】
【分析】
关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
【详解】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组
．
解得，
所以，男生有29人，女生有23人， 故答案为：23．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．
18.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
【答案】（0，-22019）
【解析】
【分析】
根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】解：∵点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19.化简：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．
20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式列方程求解即可；
（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1；
（2）根据题意画出树状图如下：
所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．
21.如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）=80°
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，
∴，
∴．
（2）∵
∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，
∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，
故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：，，，，，．）
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
【答案】（1）补图见解析；（2）；（3）1.2万人．
【解析】
【分析】
（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“”组得频数，进而补全频数分布直方图；
（2）由频数直方图可得“”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；
（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人．
【详解】解：（1）“”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，
补全频数分布直方图如图．
（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“”之间的有3个，
所占百分比为：，
故其所占圆心角度数=．
（3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有（万人），
故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．
23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，．
（1）求的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；
（2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
即OC的长度为12cm．
（2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，
∵OM∥AC，B′E⊥AC，
∴B′E⊥OD，
∵MN∥AC，
∴∠NOA=∠OAC=30°，
∵∠AOB=120°，
∴∠NOB=90°，
∵∠NOB′=120°，
∴∠BOB′=120°-90°=30°，
∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE，
∴BC∥B′E，四边形OCED矩形，
∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm，
在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm，
∴
B′D= ，
B′E=B′D+DE= ，
答：点到的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求长．
【答案】（1）与相切．证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义证明结合等腰三角形的性质证明从而证明结合可得答案；
（2）连接，先利用勾股定理求解的长，再证明 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：（1）与相切．
理由如下：
如图，连接，
平分，
在上，
是的切线．
（2）连接
为的直径，
，，
解得：
所以：的长为：
【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25.在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
【详解】解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
26.如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．
（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：
，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，
∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，
,
所以重叠面积S==4--=，
由=得：，﹥5(舍去)，
∴；
（3）可能，≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
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