2022-2023学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：__________
_考号：___________题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择
题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案
写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，
选出符合题目的一项）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(????)A. B. C. D. 2. 等腰三角形一
腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为(????)A. B. C. 或D. 或3. 抛物线的顶点坐标是(????)A. B.
C. D. 4. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(????)A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦，相交于点
，，，则的度数为(????)A. B. C. D. 6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”随机取出一
个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为(????)A. B. C. D. 7. 如图，
正方形的边长为，分别以，，，为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为(????)A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系
中，抛物线与轴交于，两点，其中将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是(????)A. 当时，，B. 当时，，C
. 当时，，D. 当时，，二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____
__．10. 方程的根是______．11. 写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式：______．12. 如图，矩形
绿地的长和宽分别为和若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则与之间的函数关系是______填“正比例函数关系”、“一次函
数关系”或“二次函数关系”13. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则______14. 如图是一个可以自由转动
的质地均匀的转盘，被分成个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有__
____个．15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：种子个数发芽种子个数发芽种子频率根据试验数据，估计
该种作物种子能发芽的有______．16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有，，三种型号的盒子，盒子容量和
单价如表所示：盒子型号盒子容量升盒子单价元其中型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金元，现有升材料需要存放且每个盒子
要装满材料．若购买，，三种型号的盒子的个数分别为，，，则购买费用为______元；若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过元，则购买
，，三种型号的盒子的个数分别为______写出一种即可三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 解方程：．四、解答题（本大
题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. 本小题分已知二次函数几组与的对应值如表：求此二次函数
的表达式；直接写出当取何值时，．19. 本小题分已知是关于的方程的一个根，求代数式的值．20. 本小题分下面是小立设计的“过圆
上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：及圆上一点．求作：直线，使得为的切线，为切点．作法：如图，连接并延长到点；分别以点，为
圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点点在直线上方；以点为圆心，长为半径作；连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的直线．根据小立
设计的尺规作图过程，完成下面的证明．说明：括号里填推理的依据证明：连接．______点在上，是的直径．______________
____．是的半径，是的切线．______21. 本小题分如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应
点为，求线段，的长．22. 本小题分圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放
置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．23. 本小题分已知关于的一元二次方程有两个不相
等的实数根．求的取值范围；若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．24. 本小题分如图，的半径与弦互相垂直，垂足为，连接，．求
证：；延长交于点，过点作的切线交的延长线于点若，，求的度数及的长．25. 本小题分一位运动员在距篮圈中心点水平距离处竖直跳起投篮
为出手点，球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点点，此时高度为，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心点到地面的
距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？26. 本小题分在平面直角坐标系中，点
，在抛物线上．当时，求，的值；点在此抛物线上，若存在，使得，求的取值范围．27. 本小题分如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线
段．判断与的数量关系并证明；将边绕点顺时针旋转得到线段，连接与边交于点不与点，重合．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；若，，
直接写出的长．用含，的式子表示28. 本小题分在平面直角坐标系中，已知点对于点的变换线段给出如下定义：点关于原点的对称点为，将点
向上、向右各平移一个单位长度得到点，称线段为点的变换线段．已知线段是点的变换线段．若点，则点的坐标为______，点的坐标为___
___；若点到点的距离为．的最大值为______；当点到直线的距离最大时，点的坐标为______．答案和解析1.【答案】?【解析】
解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形
是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：．根据中心对
称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图
形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常
见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2.【答案】
?【解析】解：当为锐角三角形时可以画图，如图，高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；当为钝角三角形时可画图为如图，此时垂
足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为，所以该等腰三角形的顶角为或，故选：
．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数．本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两
底角相等是解题的关键．3.【答案】?【解析】解：的顶点坐标为．故选：．根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数
的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．4.【答案】?【解析】解：方程有两个相等的实数根，，解得，故选：．
方程有两个相等的实数根，可知，然后即可计算出的值．本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时．5.【
答案】?【解析】解：和都对，，．故选：．先根据圆周角定理得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等
圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.【答案】?【解析】解：列表如下： 问天梦天问天问天，问天梦天
，问天梦天问天，梦天梦天，梦天由表知，共有种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有种结果，所以两次都取到写有“问天”的小
球的概率为，故选：．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率
．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实
验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．7.【答案】?【解析】解：四边形是正方形，边长为，，四个圆的半径为
，阴影部分的面积，故选：．根据正方形的性质得出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可．本题考查了扇形的面积计算和正方形的性质
，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．8.【答案】?【解析】解：当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线，，
且；当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线，，且．故选：．分和两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即
可．本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．9.【答案】?【解析】解：点关于原点
对称的点的坐标是．故答案为：．根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于
坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．10.【答案】，?【解析】解：，，，，，故答案为：，．利用直接开平方法求
解即可．本题考查了一元二次方程的解法直接开平方法，利用直接开平方法求解一元二次方程的一般步骤：把方程化为左平方，右常数；把系数化为
；开平方取正负；分开求得方程解．11.【答案】答案不唯一?【解析】解：一个抛物线与抛物线开口方向相同，，这个抛物线的解析式可以为，
故答案为：答案不唯一．抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握
待定系数法和函数的性质是关键．12.【答案】二次函数关系?【解析】解：由题意得， ，所以与是二次函数关系．故答案为：二次函数关系．
根据题意列出与的关系式可得答案．此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意列出函数解析式．13.【答案】?【解析】解：
，是的两条切线，，，，，，．故答案为：．根据切线的性质得，，则，可得，从而得到的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点
的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．14.【答案】?【解析】解：个．故涂上红色的小扇形有
个．故答案为：．先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有个等分区，结合概率公式即可求出答案．此题考查了概率公式，掌握概率公式的
求法即概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．15.【答案】?【解析】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐
稳定在附近，故“发芽种子”的概率估计值为，所以该种作物种子能发芽的有．故答案为：．大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种
子”的概率，据此求解．本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．16.【答案】
，，?【解析】解：购买，，三种型号的盒子的个数分别为，，，则购买费用为：元，故答案为：；设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购
买种盒子型号个，根据题意得：，当时，，，，都为正整数，时，，不符合题意舍去，当时，，，，都为正整数，时，，，综合所述，购买，，三种
型号的盒子的个数分别为，，．故答案为：，，．根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买
种盒子型号个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．本题考查了三元一次方程组的应用，分别和两种情况列出方程求出整数解是解题的
关键．17.【答案】解：，分解因式得：，可得或，解得：，．?【解析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为
，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解
方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．18.【答案
】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，设二次函数的表达式为，将代入得，解得，该二次函数的表达式为；由表格中数据知，
当和时，，抛物线与轴的交点为和，抛物线开口向上，当时，．?【解析】根据待定系数法即可求得；由表中数据可得抛物线与轴的个交点，根据函
数的图象和性质得出结论．本题主要考查抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是
解题的关键．19.【答案】解：，是关于的方程的一个根，．．原式．?【解析】根据一元二次方程解的定义，把代入得到关于的一元二次方程，
然后解此一元二次方程即可．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．20.【答案】
直径所对的圆周角是 过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线?【解析】证明：如图：连接， 点在上，是的直径．直径所对的圆周角
是，，是的半径，是的切线，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线，故答案为：，，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的
直线是圆的切线．根据题中的过程，结合图形进行合情推理．本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键．21.【答案】解：根据
题意，得≌，，，，，，，在中，根据勾股定理，得．．?【解析】由题意推出≌，所以，，，，再运用勾股定理，求得，即推出．本题考查了旋转
的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．22.【答案】解：如图，作于点，连接， ，，，，在中，根据勾股定理，得，，水的最大深度为．?
【解析】过点作，为垂足，连，根据垂径定理得到，再在中，利用勾股定理可求出，即可得到的值，即水的深度．本题考查了垂径定理的应用，掌握
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用．23.【答案】解：依题意，得．，即的取值范围是
；为正整数，或，当时，方程为的根不是整数；当时，方程为的根，，都是整数．综上所述，．?【解析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程
，能根据题意求出的值和的范围是解此题的关键．根据题意得出，代入求出即可；求出或，代入后求出方程的解，即可得出答案．24.【答案】证
明：，， ，；解：如图： ，．，．． 是的切线，．，，在中，由勾股定理，得．，，．?【解析】由圆周角定理得到，即可得到结论；解直角
三角形即可得到结论．本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答．25.【答案】
解：以地面为轴，过点垂直于地面的直线为轴，与地面的交点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意得，，，设抛物线解析式为，把点
坐标代入解析式得：，解得，抛物线解析式为，设球出手时，他跳离地面的高度为，根据题意可知， 解得．答：球出手时，他跳离地面的高度是．
?【解析】建立如图所示坐标系，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值；设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，
解出即可．本题考查二次函数的应用，建立适当坐标系求出抛物线解析式是解题关键．26.【答案】解：当时，函数表达式为，点，在抛物线上．
，；点，在抛物线上，，，，，，抛物线的对称轴为直线，，．当时，当时，；当时，．，随的增大而减小，．，且．．当时，总有，不符合题意．
综上，的取值范围是．?【解析】把点，分别代入解析式即可求得、的值；由题意求得，由对称轴为直线，求得，当时，当时，；当时，，即可得出
且，解得；当时，总有，不符合题意，从而求得的取值范围是．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求
解．27.【答案】解：，理由如下：由旋转可知， ，，，；，理由如下：在上取点使得，，，≌，，，，，，≌，，；由可知，，，，?【解析
】由旋转可知，再由，可得，即可证明；在上取点使得，先证明≌，再证明≌，即可求解；由可知，，则，即可求出本题考查图形旋转的性质，熟练
掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．28.【答案】 ? 或?【解析】解：点关于原点的对称点为，，将点向上、向右各平移一个单位长度得到点，，故答案为：，；设点，则点，点，，当点，点，点三点共线时，的最大值为的长，点，点，，故答案为：；设点坐标为，点到点的距离为．点在以点为圆心，为半径的圆上运动，设直线的解析式为，点，点，，直线的解析式为，如图，当直线与相切于点时，点到直线的距离最大，直线于轴交于点，过点作轴于，交于，过点作于， 直线的解析式为，，，与相切于点，，，，，，点，如图，当直线与相切于点时，同理可求点，故答案为：或由中心对称和平移的性质可求解；由三角形的三边关系可得，则当点，点，点三点共线时，的最大值为的长，由两点距离公式可求解；先求出直线的解析式，当直线与相切于点时，点到直线的距离最大，由等腰直角三角形的性质可求解．本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平移的性质，圆的切线的应用，一次函数的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．第1页，共1页 |
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