本科生必修课：概率论与数理统计

本科生必修课：概率论与数理统计第八章 假设检验 2/101第八章 假设检验§8.1 假设检验§8.2 正态总体均值的假设检验§8.3 正态总
体方差的假设检验§8.6 分布拟合检验3/101§8.1 假设检验参数估计：其目的对未知参量给出估计值及置信区间，一般情况下，参数
估计是在总体形式已知的情况下，对未知参量的定量的估计问题假设检验：其目的是对总体的某未知性质根据样本给出一个定性判断，这时总体的分
布的函数形式未知，或只知其形式，但参数未知的情况假设检验中，为推断总体的某些性质，首先提出某些关于总体的假设，然后根据样本对所提出
的假设作出判断，是接受，还是拒绝 例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断 提出
正态总体期望为μ0的假设，然后进行判断4/101§8.1 假设检验假设检验的基本思想和做法通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法
基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓小概率原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”假设检验的过程是要构造一个小
概率事件，如果根据实际样本数据的计算，该小概率事件发生了，则拒绝原假设，否则接受原假设下面结合实例来说明假设检验的基本思想.5/1
01§8.1 假设检验实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时,
其均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤
):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问
机器是否正常? 分析:6/101由长期实践可知, 标准差较稳定, 问题: 根据样本值判断1? 提出两个对立假设2? 结合合理法则
，再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1), 还是拒绝假设H0(接受假设H1). 如果作出的判断是接受H0, 即认为机
器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.§8.1 假设检验7/101由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本均值来判断.于
是可以选定一个适当的正数k,§8.1 假设检验这里的检验统计量和分布均不含任何未知参数检验方法(即合理的法则)：对于未知参数，仍然
从其点估计量开始讨论，将未知参数与其点估计量进行比较若过分大，则有理由怀疑H0的正确性8/101§8.1 假设检验如何选取k呢，先
看以下事实： 由于作出决策的依据是一个样本，当实际上H0为真时，仍可能作出拒绝H0的决策，这种可能性是无法消除的，这
是一种错误。 此即假定H0正确时的小概率事件9/101§8.1 假设检验因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限度之内，即给出一
个较小的数α(0<α<1),使犯这类错误的概率不超过α，即使得： P{拒绝H0|H0为真}
?α10/101由标准正态分布分位点的定义得§8.1 假设检验11/101于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.§8.1 假
设检验12/101检验的合理性以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.§8.1 假设检验13/101§8.1 假设检验总结以上实例
：在上例中，当样本容量n固定时，选定α后，数k可以确定，然后按照统计量Z= 的观察值的绝对值|z|是大于等于
k，还是小于k来作出决策， k是检验上述假设的一个门槛值 若|z|＝
?k，则称 与μ0的差异是显著的，以至于小概率事件发生了，这时拒绝H0， 否则则称 与μ0的差
异是不显著的，这时接受H0， 选定的数α称为显著性水平，在α下对显著性判断 统计量Z=
称为检验统计量14/101§8.1 假设检验假设检验的相关定义：像上例中的假设检验问题可叙述成： “在显著性水平α
下，检验假设H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0” 或“在显著性水平α下，针对H1检验H0”H0称为原假设，或零假设，H1称为备
择假设，(在原假设被拒绝后可供选择的假设)要进行的工作是根据样本，按上述检验方法做出决定在H0和H1之间接受其一15/101§8.
1 假设检验当检验统计量取某个区域C中的值时，我们拒绝原假设H0，则区域C称为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点
上例中|z|?zα/2为拒绝域，zα/2为临界点检验法则是根据样本作出的，总有可能作出错误的决策，在H0实际上为真时，可
能犯拒绝H0的错误，称这类“弃真”的错误为第I类错误当H0实际上不为真时，可能犯接受H0的错误，称这类“取伪”的错误为第II类错误
，犯第II类错误的概率记为 P{当H0不真时接受H0}或 {接受H0}16/101假设检验的两类
错误§8.1 假设检验17/101§8.1 假设检验在确定检测法则时应尽可能使犯两类错误的概率都小，但样本容量固定时减少犯弃真错误
，往往会增加取伪，二者矛盾，除非增加样本容量。一般情况下，我们总是控制犯第一类错误的概率，使他小于或等于α，α通常取0.1，0.0
5，0.01，0.005，等值，视情况而定这种只对犯第I类错误的概率加以控制，而不考虑犯第II类错误的概率的检验，称为显著性检验即
原假设为真却拒绝原假设，说明总体性质发生了显著的改变18/101§8.1 假设检验在显著性水平α下，如果给出的两个对立的假设如下形
式： H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0， 则称为双边备择假设，称该类假设检验问题为双边假设检验
其原因是：对于备择假设，μ可以小于μ0，也可以大于μ0，有时我们只关心总体均值是否增大，例如试验新工艺以提高材料强度，总体均
值越大越好。需要检验假设 H0：μ?μ0，H1：μ>μ0，则称为右边检验问题类似的有时需要检验假设，
H0：μ?μ0，H1：μ<μ0，则称为左边检验问题左边检验和右边检验统称为单边检验，检验的分类是依据备择假
设的形式给出的19/101§8.1 假设检验单边检验的拒绝域这时原假设为真时被检参数是一个范围，而不是一个值设总体X～N(μ, σ
2)，σ为已知，X1,X2,…,Xn是来自X的样本，给定显著性水平α，来求如下检验问题的拒绝域 右边检验：H
0：μ?μ0，H1：μ>μ0，因H0中的μ都比H1中的要小，当H1为真时观察值往往偏大，因此拒绝域的形式为
?k，k是某一正常数20/101§8.1 假设检验确定k，与例1中的做法类似P{H0为真时拒绝H
0}={拒绝H0}不等号成立是因为μ?μ0 注意：这里 的均值为?而不是?0，所以放缩成?后才能用正态分布。 要控制P{H
0为真时拒绝H0}?α 只需令 21/101§8.1 假设检验类似的有左边检验问题的拒绝域 22/101§8.1 假设检验处理参数
的假设检验问题的步骤如下： 1. 根据实际问题的要求提出原假设H0和备择假设H1； 2. 给定显著性水平α，以及样本容
量n 3. 确定检验统计量以及拒绝域的形式其分布应与任何未知数无关，且统计量里不含其它未知参数 统计量的构造一般的从点估计量
开始考虑 4. 按P{H0为真时拒绝H0}?α求出拒绝域 5. 取样，根据样本观察值作出决策，是接受H0还是拒绝H
023/101例2：某工厂生产固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(μ, σ2)，μ＝40cm/s，σ＝2cm/s,现在用新方法生
产了一批推进器，从中随机取n＝25只，测得燃烧率的样本均值为 ＝41.25cm/s，设新方法下总体均方差没变，问这批推进器的
燃烧率较以往是否有显著的提高，取显著性水平α＝0.05解：1°提出原假设H0和备择假设H1； H0：μ?
μ0＝40，即假设新方法没有提高燃烧率 H1：μ>μ0，即假设新方法提高了燃烧率 2°给定
显著性水平α＝0.05 以及样本容量n＝25§8.1 假设检验24/101§8.1 假设检验3°确定检验
统计量以及拒绝域的形式由例1，统计量为 ～N(0，1)，拒绝域的形式为4°按P{H0为真时拒绝H0}?α求出拒
绝域5°取样，根据样本观察值作出决策，是接受H0还是拒绝H0 z落在拒绝域中，在显著性水平α下拒绝H0，因此新方法有显著提高 25
/101§8.2 正态总体均值的假设检验假设检验是针对弃真这一可能犯的错误人为设定一个界限，如果在这个界限内，认为原假设成立，否则
的话，由于显著性水平取得很小，表明小概率事件发生，根据实际推断原理，原假设不成立。尽管也可能犯第II类取伪的错误，这时尽管总体的性
质发生了改变但没有发现，往往影响较小。正态总体均值的检验分为三种情况单个正态总体两个正态总体成对数据26/101§8.2 正态总体
均值的假设检验(一)单个总体N(μ, σ2)均值μ 的检验1°σ2已知，关于μ 的检验(Z检验)提出的假设，
双边：H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0， 单边：H0：μ?μ0， H1：μ>μ0，
H0：μ?μ0， H1：μ<μ0， 都是利用检验统计量 Z=
确定拒绝域的，当H0为真时服从N(0,1) 这种检验法常称为Z检验法27/101例1 某切割机在
正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如
下:假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常?解§8.2 正态总体均值的假设检验28/101查表得
§8.2 正态总体均值的假设检验29/101§8.2 正态总体均值的假设检验30/101根据第六章§3定理三知,由t分布上?分位点
的定义知在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.上述利用 t 统计量得出的
检验法称为t 检验法.§8.2 正态总体均值的假设检验31/101 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的
金属棒的平均长度有无显著变化?解查表得例2§8.2 正态总体均值的假设检验32/101§8.2 正态总体均值的假设检验1.已知方差
时两正态总体均值的检验需要检验假设:上述假设可等价的变为 利用z检验法检验. (二) 两个正态总体均值差的检验(t检验)33/10
1§8.2 正态总体均值的假设检验34/101故拒绝域为由标准正态分布分位数的定义知§8.2 正态总体均值的假设检验35/101§
8.2 正态总体均值的假设检验36/101§8.2 正态总体均值的假设检验37/1012.未知方差时两正态总体均值的检验
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.§8.2 正态总体均值的假设检验38/101根据第六章§3定理四的推论
2知,§8.2 正态总体均值的假设检验39/101对给定的故拒绝域为§8.2 正态总体均值的假设检验40/101解§8.2 正态总
体均值的假设检验41/101即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异. §8.2 正态总体均值的假设检验42/101(三)基于配
对数据的检验（t检验）有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对
）的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。 例3 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲，乙两种轮
胎中各随机地抽取8个，其中各取一个组成一对。再随机选择8架飞机，将8对轮胎随机地搭配给8架飞机，做耐磨性实验飞行一段时间的起落后，
测得轮胎磨损量（单位：mg）数据如下：§8.2 正态总体均值的假设检验43/101解：用X及Y分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量假定
，其中
，欲检验假设下面分两种情况讨论：轮胎甲：4900，5220，5500，6020，6340，7660，8650，4870轮胎乙
；4930，4900，5140，5700，6110，6880，7930，5010§8.2 正态总体均值的假设检验44/101（1）
实验数据配对分析：记 ，则
，由正态分布的 可加性知，Z服从正态分布 。 于是，对
与 是否相等的检验§8.2 正态总体均值的假设检验就变对d=0的检验，这时我们可采用关于一个正态总体均值的t 检
验法。将甲，乙两种轮胎的数据对应相减得Z的样本值为：-30，320，360，320，230, 780，720，-14045/101
计算得样本均值§8.2 正态总体均值的假设检验对给定 ?=0.05，查自由度为8-1=7的t分布表得临界值 t0.025(7)=2
.365由于t=2.83>2.365，因而否定H0，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。46/101（2）实验数据不配对分析：
将两种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假设§8.2 正态总体均值的假设检验我们选
择统计量47/101由样本数据及n1=n2=8可得§8.2 正态总体均值的假设检验对给定的 ?=0.05查自由度为16-2=14的
t分布表得临界值t?/2(16-2)=t0.025(14)=2.145 由于|t|=0.516<2.145=t0.025(14)
，因而接受H0，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异48/101§8.2 正态总体均值的假设检验以上是在同一检验水平?=0.05下采
用不同方法的分析结果方法不同所得结果也不一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将8对轮胎随机地搭配给8架飞机作轮胎耐
磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突
出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起，两组样本不独立。用两个独立正态
总体的t检验法是不合适的49/101要检验假设:§8.3 正态总体方差的假设检验50/101§8.3 正态总体方差的假设检验51/
101指它们的和集拒绝域为:§8.3 正态总体方差的假设检验52/101对于单边检验问题： H0：σ2?σ02，H1：σ2>σ0
2，H0中的全部σ2都比H1中的要小，因此，拒绝域的形式为 s2?k§8.3 正态总体方差的假设检验53/10
1即对任意的σ2?σ02，上式都成立，临界点是最差的情况 即拒绝域为
类似的，左边检验问题：H0：σ2?σ02，H1：σ2<σ02，相应的拒绝域为以上检验法称为?2检验法
§8.3 正态总体方差的假设检验54/101解例3 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差?2=5000 (小时2
) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差 s
2=9200(小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?§8.3 正态总体方差的假设检验55/
101拒绝域为: 可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.§8.3 正态总体方差的假设检验56/101需
要检验假设:（二）两个正态总体的情况§8.3 正态总体方差的假设检验57/101§8.3 正态总体方差的假设检验58/101§8.
3 正态总体方差的假设检验检验问题的拒绝域上述检验法称为F检验法.59/101解例3 某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖的抗
折强度(公斤), 得到结果如下:已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)两批
红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异?(1) 检验假设:§8.3 正态总体方差的假设检验60/101查表知拒绝域为§8.3 正态
总体方差的假设检验61/101(2) 检验假设:§8.3 正态总体方差的假设检验62/101拒绝域为§8.3 正态总体方差的假设检
验63/101小结本节学习的正态总体均值的假设检验有:正态总体均值、方差的检验法见下表§8.3 正态总体方差的假设检验64/101
65/101§8.3 正态总体方差的假设检验66/101321§8.3 正态总体方差的假设检验67/101567§8.3 正态总体
方差的假设检验68/101t分布表a2.144869/101小结70/101§8.6 分布拟合检验实际问题中，有时不能知道总体服从
什么类型的分布，这时就需要根据样本来检验关于分布的假设。本节介绍?2拟合检验法。它可以用来检验总体是否具有某一个指定的分布或属于某
一个分布族还有专用于检验分布是否为正态的“偏度、峰度检验法”，留作自学 71/101§8.6 分布拟合检验（一）单个分布的?2拟合
检验法设总体X的分布未知，x1, x2, … , xn是来自X的样本值。我们来检验假设H0:总体X的分布函数为F(x)H1:总体X
的分布函数不是F(x) 其中设F(x)不含未知函数也常以分布律或概率密度代替F(x) ， H1可不必写出下面来定义检验统计量7
2/101§8.6 分布拟合检验将H0下X可能取值的全体?分成互不相交的子集A1, A2, … , Ak以fi (i=1,2,…k
)记样本观察值x1, x2, … , xn中落在Ai的个数，即事件Ai ={X的值落在子集Ai 内}在n次独立试验中发生fi次，于
是在这n次试验中事件Ai发生的频率为fi/n。另一方面，当H0为真时，我们可以根据H0中所假设的X的分布函数来计算事件Ai的概率，
得到pi=P(Ai)，i=1,2,…k。73/101§8.6 分布拟合检验频率fi/n与概率pi会有差异，但一般来说，当H0为真，
且试验的次数又甚多时，这种差异不应太大，因此(fi/n-pi)2不应太大。我们采用形如 的统计量来度量样本与H0中所
假设的分布的吻合程度，其中Ci(i=1,2,…k)为给定的常数。 74/101皮尔逊定理定理注意：在单个分布的检验中，要检验的总体
是已知的，不含未知参数，如总体是参数为1的泊松分布?(1)，这时定理中的r=0§8.6 分布拟合检验75/101注意此即单个分布的
?2分布拟合检验法§8.6 分布拟合检验76/101解试检验这颗骰子的六个面是否匀称?根据题意需要检验假设例1 把一颗骰子重复抛掷
300 次, 结果如下:H0: 这颗骰子的六个面是匀称的. 其中 X 表示抛掷这骰子一次所出现的点数 (可能值只有 6 个
), §8.6 分布拟合检验77/101在H0为真的前提下, §8.6 分布拟合检验78/101所以拒绝 H0,
认为这颗骰子的六个面不是匀称的.§8.6 分布拟合检验79/101 例1 下表列出了某一地区在夏季的一个月中由100个气
象站报告的雷暴雨的次数. 其中fi是报告雷暴雨次数为i的气象站数．试用?2拟合检验法检验任一个气象站报告雷暴雨的次数
X是否服从均值λ=1的泊松分布（取显著性水平α=0.05）．解 按题意需检验假设§8.6 分布拟合检验80/101在H0下X所有可
能取的值为?={0, 1, 2, …}，将?分成如表所示的两两不相交的子集A0, A1, A2, … , A6，则有P{X=i}为
例如 p0=P{X=0}=e-1=0.36788, p3=P{X=3}= =
0.06131, p6=P{X?6}= =0.059. n=100§
8.6 分布拟合检验81/101表8-2 例1的?2拟合检验计算表:?=127.048.03e-1e-1e-1/2e-1/6e-1
/24e-1/120计算结果如表8-2所示，其中有些行npi <5的组予以适当合并，使得每组均有npi ?5,如表中第4列花括号所
示．并组后k=4 ,?2的自由度为k-1=4-1=3.
．现在?2=127.04-100=27.04> 7.815，故在显著性水平0.05下拒绝H0，认为样本不是来自
均值?=1的泊松分布.§8.6 分布拟合检验82/101在(一)中要检验的原假设是H0：总体X的分布函数是F(x)，其中F(x)是
已知的，这种情况是不多的．我们经常遇到的所需检验的原假设是 H0：总体X的分布函数是F(x;?1, ?2,…, ?r)，
其中F的形式已知，而θ=(?1, ?2,…, ?r)是未知参数，它们在某一个范围取值．在F(x;?1, ?2,…, ?r)中当
参数(?1, ?2,…, ?r)取不同的值时，就得到不同的分布，因而F(x;?1, ?2,…, ?r)代表一族分布． （二）分布族
的?2拟合检验§8.6 分布拟合检验83/101在假设中，H0表示总体X的分布属于分布族F(x;?1, ?2,…, ?r)采用类似
（一）中的方法来定义检验统计量，将在H0下x可能取值的全体Ω分成k,（k>r+l）个互不相交的子集A1, A2, … , Ak，以
fi （i=1，2，…，k）记样本观察值x1,x2,…,xn落在Ai 的个数，则事件Ai={X的值落在Ai内}的频率为fi /n．
另一方面，当H0为真时，由H0所假设的分布函数来计算P{Ai}，得到P{Ai}=pi(?1, ?2,…, ?r) = pi(?)=
pi．此时，需先利用样本求出未知参数的最大似然估计（在H0下），以估计值作为参数值,求出pi的估计值
§8.6 分布拟合检验84/101在(6.3)式中以 代替pi, 取作为检验假设H0的统计量．可以证明，在某
些条件下，在H0为真时近似地有与在（一）中一样可得假设检验问题的拒绝域为α为显著性水平．以上就是用来检验分布族的?2拟合检验法 §
8.6 分布拟合检验85/101 在一试验中, 每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的?粒子数, 共观
察了100次, 得结果如下表:例3§8.6 分布拟合检验86/101解所求问题为: 在水平 0.05 下检验假设由最大似然估计法得
在H0假设下,即在X服从泊松分布假设下，X所有可能取的值为Ω ={0,1,2,…},将Ω分成如表8-4所示的两两不相交的子集A0,
A1,…A12． §8.6 分布拟合检验87/101具体计算结果见下页表 8.5,§8.6 分布拟合检验88/101表8.5　　
例3的拟合检验计算表664.6155.538=106.2810.0780.0657.8 6.5§8.6 分布拟合检验89/101故
接受 H0, 认为样本来自泊松分布总体.现在?2=106.281-100=6.281<12. 592 注意 本题答案是“接受H0
，认为总体X的分布属于泊松分布族，即认为X??(?)”，亦即“认为必有某一个参数?0，X??(?0)”，而不能将答案误写成“X服从
以? =4.2为参数的泊松分布”.§8.6 分布拟合检验90/101 自1965年1月1日至1971年2月9日共
2231天中,全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, 统计如下:(X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)
试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.解所求问题为: 在水平0.05下检验假设例3§8.6 分布拟合检验91/101由最大
似然估计法得X 为连续型随机变量, (见下页表)§8.6 分布拟合检验92/101=163.563313.2192表8.6　　例3
的拟合检验计算表14.8269§8.6 分布拟合检验93/101在 H0 为真的前提下, X 的分布函数的估计为§8.
6 分布拟合检验94/101故在水平 0.05 下接受 H0 , 认为样本服从指数分布.§8.6 分布拟合检验95/101
下面列出了84个依特拉斯坎人男子的头颅的最大宽度(mm), 试验证这些数据是否来自正态总体?例4§8.6 分布拟合检验96/101解所求问题为检验假设由最大似然估计法得(见下页表)§8.6 分布拟合检验97/101在 H0 为真的前提下, X 的概率密度的估计为5.0914.374.91表8.5　　例4的拟合检验计算表?=87.6710.02§8.6 分布拟合检验98/101故在水平 0.1 下接受 H0, 认为样本服从正态分布.§8.6 分布拟合检验99/101 一农场10年前在一鱼塘里按如下比例 20 : 15 : 40 : 25 投放了四种鱼: 鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗. 现在在鱼塘里获得一样本如下:检验各鱼类数量的比例较 10 年前是否有显著改变?例5§8.6 分布拟合检验100/101解根据题意需检验假设:所需计算列表如下§8.6 分布拟合检验101/101表 8.6　　例5 的拟合检验计算表认为各鱼类数量之比较 10 年前有显著改 变 .故拒绝 H0,§8.6 分布拟合检验102/101考试题型：填空、选择、计算；关于考试答题注重过程和步骤：不要只有答案，即使答案错了还有步骤分答题要尽量严谨，比如概率密度函数和分布函数是分段的时候，要写全(-∞, ∞)如果不会做，但知道些相关概念和思想，也尽量写出来，可能会得到些步骤分期末90%，平时10%(交够80%作业)103/101复习要点：关于考试1. 古典概型、全概率公式和贝叶斯公式；2. 随机变量104/101数理统计部分关于考试105/101本章作业第一次：P218：2，3，5 第二次：P219：7，9，12，16，19 第三次： P221：23，24，27，28 106/101谢谢！