四色猜想定义的微分概念（1）

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四色猜想定义的微分概念作 者 李 传 学微 分 概 念 是 在 解 决 线 状 态 的 直 与 曲 的 对 立 统 一 关 系 中 产 生 的 。 四 色 猜 想 的“ 任 意 地 细 分 ” 则 是 利 用 封 闭 曲 线 事 物 形 态 （ △ □ 线 面 同 一 ） 连 续 变 换 （ 拓 变 ）且 由 数 论 跨 学 科 证 明 的 微 分 （ 任 意 极 限 、 无 穷 ） 概 念 问 题 。 数 字 “ 相 异 相 邻 、 相同 （ 异 ） 对 顶 ” 是 证 明 规 则 。利 用 数 学 分 析 证 明 四 色 猜 想 通 俗 、 实 用 ， 不 存 在 "飞 地 "之 困 ， 优 于 计 算 机 "有 限 "证 明 。

一 、 四 色 猜 想 数 学 语 言 定 义 的 数 学 分 析 。1、 定 义 。 "将 平 面 任 意 地 细 分 为 不 相 重 叠 的 区 域 ， 每 一 区 域 总 可 以 用 1、 2、3、 4这 四 个 数 字 之 一 来 进 行 标 记 ， 且 不 会 使 相 邻 的 两 个 区 域 得 到 相 同 的 数 字 "。“ 任 意 地 细 分 ” 趋 向 极 限 “ 点 ” 、 “ 且 不 会 使 相 邻 的 两 个 区 域 得 到 相 同 的数 字 ” 是 证 明 关 键 ， 且 “ 任 意 地 细 分 ” 区 域 具 有 连 续 、 无 限 趋 点 概 念 。2、 定 义 的 数 学 方 法 特 征 。 二 阶 方 阵 的 1、 2、 3、 4(24种 排 列 组 合 之 一 )数 字单 元 间 固 然 存 在 相 异 相 邻 而 "不 会 "相 同 的 结 构 （ 图 左 ） ， 且 "四 方 八 位 "链 锁 图 板结 构 不 变 。 在 "四 方 八 位 "链 锁 图 板 的 二 阶 方 阵 单 元 或 数 字 单 元 上 叠 加 由 二 阶 方 阵组 成 的 2

n(n=2、 3、 4… … )阶 方 阵 单 元 可 以 实 现 “ 任 意 地 细 分 ” （ 图 中 、 右 ） 。3、 链 锁 与 "任 意 地 细 分 "。 链 锁 "无 限 "， 是 个 当 三 角 △ 形 单 元 或 组 合 单 元 拼图 个 数 k=1、 k=n、 k=n+1(n任 意 自 然 数 )时 均 成 立 的 直 接 证 明 过 程 。 链 锁 是 “ 任意 地 细 分 ” 的 图 板 来 历 ， 但 相 对 单 元 范 围 来 看 ， 链 锁 蕴 含 细 分 。 因 此 ， 细 分 途 经

分 为 链 锁 细 分 、 叠 加 细 分 、 以 及 区 域 元 素 的 添 加 细 分 。4、 定 义 的 数 学 归 纳 证 明 。 封 闭 三 角 形 △ 是 多 边 形 构 成 元 素 ， 与 平 面 封 闭 曲线 形 拓 扑 等 价 。 在 利 用 四 色 猜 想 数 学 语 言 定 义 ， 推 理 “ 三 角 形 △ “ 1 面 、 3 线 "

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链 锁 重 组 对 顶 三 角 形 图 板 证 明 和 二 阶 方 阵 图 版 表 达 式 证 明 的 基 础 上 ， 推 导 出 定 义的 直 接 证 明 — — 数 学 归 纳 法 。△ “ １ 面 ３ 线 ” 拼 图 表 达 式 S( ） =∑ n\n+1 k趋 向 区 域 整 体 。这 里 每 一 细 分 (单 元 )区 域 "用 1、 2、 3、 4这 四 个 数 字 之 一 来 进 行 标 记 ” 色 序为 1① 黄 、 2② 绿 、 3③ 蓝 、 4④ 红 ， 且 "线 面 "统 一 。三 角 形 △ "1面 、 3线 "的 链 锁 拼 图 无 限 (参 阅 《 利 用 数 学 模 型 证 明 四 色 猜 想 》原 载 《 内 蒙 古 科 技 》 2020 年 第 8 期 /39 卷 /总 第 458 期 )。 根 据 定 义 ， 使 直 接 证 明

k=1、 k=n与 k=n+1递 推 成 立 的 归 纳 法 阐 述 为 :"在 任 意 由 1、 2、 3、 4相 应 色 序 数 字 不 重 复 二 阶 方 阵 的 链 锁 细 分 区 域 得 到 的数 字 图 版 上 拼 图 ， 遵 照 拼 图 色 序 与 图 版 数 字 相 异 相 邻 、 相 同 对 顶 规 则 ， 不 会 使 图色 序 单 元 与 相 邻 边 缘 图 版 单 元 得 到 相 同 的 数 字 "。二 、 四 阶 方 阵 单 元 细 化 重 组 与 合 并 重 组 的 “ 事 前 ” 控 制 、 “ 事 后 ” 把 关 。细 化 重 组 与 合 并 重 组 ， 是 个 同 存 、 互 逆 概 念 。 拼 图 主 要 采 用 “ 事 后 ” 把 关 （ 以曲 代 直 ） ， 以 相 邻 区 域 （ 重 组 ） 曲 线 段 代 表 （ 图 板 标 定 把 关 ） 直 方 （ 线 ） 通 道 ；“ 事 前 ” 控 制 （ 以 直 代 曲 ） ， 以 直 方 （ 线 ） 通 道 （ 标 配 控 制 ） 代 表 相 邻 曲 线 段 ，以 适 用 相 邻 区 域 （ 国 家 ） 多 少 。 这 里 试 图 用 1、 2、 3、 4 数 字 标 识 的 二 阶 方 阵 图板 为 例 ， 以 “ 事 后 ” 图 板 标 定 调 整 为 主 ， 辅 以 “ 事 前 ” 通 道 标 配 控 制 任 意 地 拼 大

圈 。 “ 事 前 ” “ 事 后 ” 结 合 ， 优 化 “ 曲 线 任 意 圈 定 区 域 大 小 、 图 板 标 定 相 邻 区 域线 段 拼 图 ” 的 直 接 法 过 程 。二 阶 方 阵 单 元 □ （ 数 字 、 色 面 ） 元 素 的 行 、 列 结 构 组 合 ， □ 元 素 可 以 是 单 通（ 单 串 ） 、 双 通 （ 双 串 ） 、 三 通 … … （ 行 、 列 同 用 ） ,依 照 能 满 足 相 邻 国 多 少 进行 选 择 。 这 里 用 1（ 黄 ） 、 2（ 绿 ） 、 3（ 蓝 ） 、 4（ 红 ） 数 字 标 识 的 二 阶 方 阵 图板 为 例 阐 述 。按 照 “ （ 数 字 ） 相 异 相 邻 、相 同 （ 异 ） 对 顶 ” 规 则 ， 采 用添 加 式 “ 细 化 ” 重 组 、 圈 定 式“ 合 并 ” 重 组 ， 这 在 二 阶 图 板

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中 很 容 易 实 现 。 特 别 是 ， “ 对 顶 点 ” 数 字 区 域 的 一 分 为 二 细 化 ， 即 保 留 色 与 合 并色 （ 对 顶 ） 同 在 ， 而 使 对 顶 点 区 域 色 与 相 邻 区 域 色 相 同 ， 这 为 合 并 相 邻 区 域 数 量提 供 了 方 便 。 “ 事 前 ” 控 制 运 作 如 下 （ 右 图 ） ：3蓝 ：1相 邻 国 ： 4红 、 1黄 、 4红 、 1黄 合并 为 4 红 ； 2 相 邻 国 ： 2 个 4 红 、 1 黄 合并 为 4红 或 1黄 （ 与 2绿 相 邻 ） ； 3相 邻国 ： 1个 4红 、 1黄 合 并 为 4红 或 1黄 （ 与2绿 相 邻 ） ； 4国 相 邻 ： 4红 、 1黄 、 4红 、1黄 ； … … 。

合 并 为 2绿 ： 有 6相 邻 国 。若 将 上 3 蓝 合 并 为 4 红 ， 则 有 5 国 相邻 ， … … 。 如 合 并 为 4红 ： 有 9个 相 邻 国 ， … … 。如 合 并 为 4绿 ： 有 7 相 邻 国 ， … … 。如 合 并 为 4红 ： 有 9个 相 邻 国 ， … … 。

依 据 相 邻 区 域 （ 国 家 ） 多 少 ， 通 道 可 组 合 适 用 。 “ 事 后 ” （ 以 曲 代 直 ） 图 板标 定 拓 变 、 “ 事 前 ” （ 以 直 代 曲 ） 通 道 标 配 控 制 拼 大 圈 ， 减 少 不 必 要 的 “ 事 后 ”调 整 ， 优 化 图 板 拼 图 过 程 。 其 中 ， 因 为 “ 细 化 ” 属 于 添 加 型 拼 图 ， 可 以 直 接 独 立使 用 （ “ 通 道 标 配 与 添 加 细 化 图 ” 中 图 板 “ 2” 与 标 配 同 色 ， 则 对 顶 S× 标 定 ） 。综 之 。 通 道 是 “ 事 前 ” 对 拼 图 标 配 、 图 板 是 “ 事 后 ” 对 拼 图 标 定 ， 标 定 、 标配 等 价 。 通 道 标 配 ， 由 所 要 拼 图 或 与 已 拼 图 区 域 （ 国 ） 的 相 邻 线 段 ， 共 同 组 成 的拼 图 路 径 的 封 闭 “ 线 ” 部 分 ， 避 免 拼 大 圈 ， 以 减 少 相 邻 数 字 单 元 为 目 的 。 通 道 可以 单 用 、 联 用 ， 共 同 组 成 通 道 封 闭 相 邻 线 。 封 闭 线 内 数 字 单 元 区 域 多 少 与 四 色 拼图 无 关 。 因 此 通 道 标 配 ， 是 拼 图 路 径 趋 近 数 字 单 元 区 域 封 闭 多 “ 线 ” 段 概 念 ， 线段 数 量 与 相 邻 区 域 数 量 相 等 。 图 板 标 定 ， 是 实 现 封 闭 线 拓 变 ， 使 单 元 区 域 “ 面 ”

范 围 与 实 际 相 同 。 标 配 、 标 定 都 是 链 锁 重 组 △ “ 1面 、 3 线 ” 四 色 组 合 的 “ （ 数

②① ①③

②④② ① ②②

③

④③①

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字 ） 相 异 相 邻 、 相 同 （ 异 ） 对 顶 ” 的 拼 图 过 程 。 “ 事 后 ” （ 以 曲 代 直 ） 图 板 标 定拓 变 ， 与 “ 事 前 ” （ 以 直 代 曲 ） 通 道 标 配 控 制 相 结 合 ， 是 精 准 图 板 拼 图 的 保 证 。三 、 图 版 拼 图 “ 会 ” 与 “ 不 会 ” 的 对 立 统 一 。在 图 板 上 用 ① ② ③ ④ 色 序 拼 图 ， 边 缘 曲 线 上 的 图 板 数 字 与 拼 图 色 序 “ 会 ” 相同 ， 这 与 定 义 的 “ 不 会 "相 同 而 对 立 。 如 何 实 现 曲 线 边 缘 图 板 数 字 与 拼 图 色 序 “ 会 ”相 同 ， 与 定 义 的 "不 会 "相 同 的 统 一 呢 ？色 序 "相 异 相 邻 、 相 同 对 顶 "互 逆 、 对 立 统 一 ， 关 键 链 锁 过 程 。 显 然 能 实 现 图板 拼 图 边 缘 图 板 数 字 与 拼 图 色 序 “ 会 ” 相 同 ， 与 定 义 的 "不 会 "相 同 的 对 立 统 一 。同 样 ， 在 定 义 的 直 接 证 明 中 ， 拼 图 迭 代 （ 连 续 ） 的 相 异 相 邻 、 相 同 对 顶 规 则依 然 适 用 于 数 字 图 板 拼 图 证 明 过 程 。

这 是 因 为 ， 图 板 上 拼 图 是 相异 相 邻 规 则 下 的 迭 代 过 程 ， 实 用性 强 。 拼 图 曲 线 形 状 、 周 长 大 小任 意 。 拼 图 色 序 与 图 版 数 字 “ 相异 相 邻 (改 )、 相 同 对 顶 (对 )”（ 包括 "相 邻 合 并 ” ） ， 排 除 了 “ 飞地 ” 之 困 。 对 立 统 一 ， "改 、 对 、合 "二 阶 方 阵 图 板 特 征 不 变 。四 、 图 板 拼 图 归 纳 实 例 。例 图 中 ， 已 经 在 二 阶 方 阵 单

元 与 数 字 单 元 上 实 现 4 阶 方 阵叠 加 细 分 ， 色 序 为 ① 黄 、 ② 绿 、③ 蓝 、 ④ 红 。(一 )图 板 上 图 (k=1)。 拼 图 色 序 为 ④ 红 ， 与 边 缘 线 上 数 字 “ 4” 相 同 的 图 中 标有 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)五 个 。 (1)为 “ 2” 、 或 “ 4” ④ 红 对 顶 。 ⑵ “ 4” 改为 “ 2” 、 或 合 并 为 相 邻 “ 1” 。 ⑶ 保 持 “ 4” ④ 红 对 顶 。 ⑷ “ 4” 改 为 “ 2” 、 或合 并 为 相 邻 “ 3” 。 ⑸ “ 4” 改 为 “ 2” 、 或 “ 4” ④ 红 对 顶 。（ 二 ） 图 版 下 图 (k=n)。 由 八 个 单 元 区 域 链 锁 构 成 。 在 边 缘 封 闭 曲 线 上 由 ①黄 、 ② 绿 、 ④ 红 、 ② 绿 四 个 单 元 区 域 ， 相 邻 同 色 图 中 标 有 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、(5)、 (6)六 个 。 ⑴ “ 1” 改 为 “ 3” 、 或 相 邻 合 并 为 “ 2” 。 ⑵ “ 1” 改 为 “ 3” 。

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⑶ “ 1” 改 为 “ 3” 、 或 “ 1” 与 ① 黄 对 顶 。 ⑷ “ 4” 改 为 “ 3” 。 ⑸ “ 4” 改 为 “ 3” 、或 相 邻 合 并 为 “ 1” 。 (6)“ 2“ 改 为 ” 4“ 、 或 “ 2” 与 ② 绿 对 顶 。图 版 上 拼 图 ， 拼 图 色 序 一 定 ， 只 需 在 边 缘 线 上 对 图 版 数 字 进 行 “ 改 、 对 、 合 ”标 定 (下 一 拼 图 k=n+1仍 成 立 )， 即 可 实 现 四 色 猜 想 定 义 的 地 图 ， 且 无 飞 地 之 忧 。五 、 地 图 修 正 与 四 色 猜 想 叠 加 、 迭 代 算 法 。微 分 表 示 微 小 量 。 在 这 里 可 以 使 用 叠 加 、 迭 代 方 法 ， 实 现 无 限 、 无 穷 的 “ 任意 地 细 分 ” 极 限 。（ 一 ） 问 题 的 提 出 。 世 界 范 围 内 ， 由 于 主 观 原 因 或 客 观 条 件 影 响 ， 时 有 引 发区 划 ″ 细 分 "或 "合 并 "。 这 样 以 来 ， 制 作 地 图 就 需 在 原 有 地 图 基 础 上 进 行 时 常 变动 与 更 新 。 图 版 拼 图 、 拼 图 图 版 互 换 ， 与 封 闭 曲 线 边 缘 直 、 曲 拓 扑 变 换 同 一 。

（ 二 ） 地 图 的 动 态 特 征 。1、 图 板 拼 图 ， 是 在 定 义 的 1、 2、 3、 4构 成 的 数 字 图 板 上 拼 图 。 多 单 元 区 域拼 图 地 图 完 成 后 ， 图 板 拼 图 会 返 回 到 ″ 三 角 形 △ 1面 3线 链 锁 重 组 对 顶 三 角 形 △"图 板 (封 闭 曲 线 拓 扑 等 价 )拼 图 初 始 状 态 。2、 拼 图 图 板 ， 是 在 初 始 拼 图 图 板 上 进 行 再 拼 图 ， 迭 代 标 定 得 到 新 图 板 。 拼图 图 板 具 有 动 态 性 ， 决 定 了 迭 代 次 数 无 限 。 因 此 ， 三 角 △ 1面 3线 图 板 才 是 经 常实 用 的 一 种 图 板 模 型 。拼 图 色 要 选 择 同 色 相 邻 单 元 最 少 的 。 拼 图 图 版 上 拼 图 ， 是 根 据 时 有 发 生 的 单区 域 “ 分 、 合 ” ， 进 行 地 图 修 正 。 拼 图 图 版 上 单 元 “ 细 分 ” 色 “ 改 ” ， 单 元 “ 对顶 ” 仍 “ 对 ” ， 单 元 “ 合 并 ” 色 “ 合 ” ， 拼 图 “ 相 异 相 邻 ” 规 则 不 变 。

（ 三 ） 数 字 图 板 拼 图 返 回 生 成 三 角 形 △ 1面 3线 初 始 图 板 ， 叠 加 、 迭 代 标 定地 图 动 态 过 程 是 定 义 算 法 特 性 。1、 叠 加 、 迭 代 具 有 细 分 (缩 小 )、 合 并 (扩 大 )单 元 区 域 的 特 征 。拼 图 图 板 是 个 以 初 始 地 图 (相 对 原 有 )为 基 础 ， 不 断 更 新 的 过 程 。 拼 图 图 板 上再 拼 图 ， 拼 图 形 状 、 大 小 任 意 是 相 对 图 版 "任 意 地 细 分 "叠 加 。 迭 代 标 定 封 闭 曲 线边 缘 上 的 色 序 ① ② ③ ④ 与 拼 图 色 相 异 相 邻 。 叠 加 与 迭 代 相 辅 相 成 。2、 相 异 相 邻 规 则 的 "任 意 地 细 分 "(相 对 合 并 )， 实 现 拼 图 过 程 的 对 立 统 一 。图 板 拼 图 中 的 对 立 统 一 ， 在 拼 图 图 板 上 再 拼 图 时 ， 同 样 免 不 了 拼 图 色 与 拼 图 图 板单 元 色 "会 "相 同 ， 与 定 义 的 相 邻 单 元 “ 不 会 "相 同 对 立 。 相 异 相 邻 (改 对 合 )实 现对 立 统 一 ， 范 围 涵 盖 叠 加 、 迭 代 的 "细 分 "、 相 对 于 合 并 。

3、 叠 加 、 迭 代 是 四 色 猜 想 数 学 语 言 定 义 固 有 算 法 。

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相 异 相 邻 规 则 ， 同 步 叠 加 、 迭 代 的 "细 分 、 合 并 "生 成 四 色 地 图 ， 证 明 数 学 语言 定 义 表 达 了 算 法 。拼 图 图 版 是 三 角 形 1面 3线 链 锁 重 组 对 顶 三 角 形 图 板 ， 直 观 、 实 用 。 世 界 国家 单 元 分 、 合 的 叠 加 、 迭 代 拼 图 图 版 更 新 地 图 ， 这 同 步 于 四 色 猜 想 数 学 语 言 定 义的 证 明 与 叠 加 、 迭 代 算 法 的 适 用 。 四 色 猜 想 数 学 语 言 定 义 本 身 就 是 利 用 叠 加 、 迭代 算 法 ， 不 断 在 原 有 基 础 上 更 新 使 四 色 猜 想 成 立 的 数 学 模 型 。作 者 介 绍 :李 传 学 济 南 市 工 业 和 信 息 化 局 退 休 人 员 。 1975 年 山 东 大 学 计 算数 学 专 业 毕 业 ， 从 事 工 业 经 济 运 行 行 政 管 理 工 作 。 1989 年 泰 安 市 第 一 批 专 业 技术 拔 尖 人 才 ， 2019 年 10 月 国 际 考 古 暨 历 史 语 言 学 学 会 (美 )聘 为 研 究 员 。 在 研 究

史 前 文 明 中 ， 发 现 四 个 文 明 符 号 相 融 ， 可 用 于 1、 2、 3、 4 数 字 标 记 △ 1 面 、 3线 (1+3)， 链 锁 (四 方 八 位 )重 组 对 顶 三 角 形 "证 明 四 色 猜 想 数 学 语 言 定 义 。参 考 资 料 ： ① 《 人 亦 大 的 史 前 史 作 品 集 》 李 传 学 著 ， 中 国 文 化 教 育 出 版 社 (香港 )。 ② 《 四 维 宇 宙 的 四 色 猜 想 模 型 》 、 《 理 性 史 前 文 明 》 李 传 学 著 ， 华 侨 出 版社 (美 )。