5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明教学目标1.了解命题的概念以及命题的构成.2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真
假.3.理解什么是定理和证明.4.初步体会命题在数学中的应用，感受数学语言的严谨性，培养学生的语言表达能力和归纳能力.教学重难点重
点：区分命题的题设和结论.难点：找出题设和结论不明显的命题的题设和结论；举反例判断一个简单命题是假命题.课前准备多媒体课件 教学过
程导入新课导入模式教师：在我们日常讲话中，经常会遇到这样的语句(多媒体展示)，如：(1)中华人民共和国的首都是北京；(2)我们班的
同学多么聪明；(3)浪费是可耻的；(4)春天万物更新.在几何里，我们同样会有这样的语句，如：(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)对顶角相等.观察一下，它们有什么共同点，在语文学习当中，我们把这样的句子叫做什么语句呢？师生活动先让学生交流，然后学生代表回
答.设计意图在教学过程中，将创设的问题情境和语文联系起来，不仅容易激发学生的好奇心，引起学生的学习兴趣，而且渗透了“学科间的整合”
，提升了学生的核心素养.教师：像这样的判断句，在数学当中经常遇到，如(多媒体展示)：板书(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线也互相平行；(2)等式两边都加上同一个数，结果仍是等式；(3)对顶角相等；(4)如果两条直线不平行，那么同位角不相等.教
师提问：你们能说一说这4个语句有什么共同点吗？学生在教师的引导下分析每个语句的特点，并能总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或
“不是”的判断.初步感受到有些数学语言是对某一件事作出判断的.探究新知探究点一：命题的概念教师：像这些语句一样，判断一件事情的语句
，叫做命题.现在同学们判断下列语句是不是命题.(1)两点之间，线段最短.(2)画出两条互相平行的直线.(3)过直线外一点，作已知直
线的垂线.(4)a，b两条直线平行吗？(5)玫瑰花是动物.(6)若＝，则a＝b.一名学生判断回答，不对的题目，其他同学补充纠正.请
同学们再举出“命题”的例子.师生共同判断，给予评价.教师归纳：判断语句是否为命题要紧扣两条：(1)命题必须是一个完整的句子，通常是
陈述句，疑问句和命令性语句都不是命题；(2)必须对某一件事件作出肯定或否定的判断.这两条缺一不可.设计意图通过具体的实例，让学生了
解命题.探究点二：命题的组成教师：观察黑板上的命题，思考：命题由哪几个部分组成？师生活动学生在明确命题概念的基础上分小组讨论命题的
结构，让学生总结出命题的结构.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.教师：你们是怎样寻找题设和结
论的.学生代表回答，教师引导得出结论：任何一个命题，都可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结
论.请大家指出“对顶角相等”这一命题的题设，结论，并写成“如果……，那么……”的形式.师生活动结合我们学习的这一章内容，找出命题(
本章中学到的结论)，并指出命题的题设、结论.设计意图充分发挥小组讨论的优势，让学生积极参与到学习过程中，让学生总结出命题的结构.探
究点三：真命题与假命题教师：判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断此命题是否正确.(1)如果两条直线相交，那
么它们只有一个交点；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；(3)相等的角是对顶角；(4)任意两个直
角都相等.学生独立思考，学生代表回答，其他同学纠正补充，最后总结结果：四个语句都是命题.命题(1)的题设是“两直线相交”，结论是“
只有一个交点”；命题(2)的题设是“两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补”，结论是“这两条直线平行”；命题(3)的题设是“两
个角相等”，结论是“它们是对顶角”；命题(4)的题设是“两个角是直角”，结论是“它们相等”.其中(1)(2)(4)是正确命题，(3
)是错误命题.教师总结：如果命题的题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题称为真命题；如果命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，
像这样的命题称为假命题.判断一个命题是真命题，必须经过推理证实；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.设计意图通过分析语句，
练习了找命题的题设和结论，更容易回答出命题的正确与否.探究点四：定理教师：请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？(1)在
同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(3)如果｜a｜＝|
b|，那么a＝b；(4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5)两点确定一条直线.师生活动学生代表回答，如果出现错误或
不完整，请其他学生修正或补充，教师点评.教师归纳：上述问题中(1)(4)(5)的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
定理也可以作为继续推理的依据.前面学过的一些图形的性质，都是真命题，例如“两条直线平行，同旁内角互补”等.教师追问：经过推理证明得
到的真命题叫做定理.同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？学生独立思考，然后回答，师生共同补充学过的定理.设计意图学生积极思考教师所
提出的问题，练习怎样判断真、假命题.以上面问题中的真命题为切入点引出定理的概念.让学生回顾学过的定理，进一步加深对定理概念的理解.
探究点五：证明教师：请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假.命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线
中的一条，那么它也垂直于另一条.教师：命题1是真命题还是假命题？学生抢答：真命题.教师：你能将命题1所叙述的内容用图形语言表达出来
吗？学生画出图1：图1教师：这个命题的题设和结论分别是什么呢？学生回答：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；结论
：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.教师：你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？学生回答：在同一平面内，若b∥c，a⊥
b，则a⊥c.教师：请同学们思考如何利用已经学过的定义、定理来证明这个结论呢？已知：在同一平面内，b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.证
明：如图1，∵ a⊥b(已知)，∴ ∠1＝90°(垂直的定义).又∵ b∥c(已知)， ∴ ∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
∴ ∠2＝∠1＝90°(等量代换).∴ a⊥c(垂直的定义).教师：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过一系列推理，才能做出判断
，这个推理的过程叫做证明.刚才我们对命题1作出了判断，经过一系列的过程对命题1进行了证明，回顾一下，证明一个命题的正确性要分为几个
步骤.学生思考交流，学生代表回答，其他同学补充，教师引导得出结论.要证明一个命题的正确性要分为三步：第一步，分析命题的题设和结论；
第二步，根据命题画出图形，结合图形，根据题设写出已知，根据结论写出求证；第三步，书写证明过程.教师：对于命题1这个真命题，经过了三
步，我们证明了它的正确性，大家接着看.命题2：相等的角是对顶角.教师：判断这个命题的真假.学生回答：假命题.教师：这个命题的题设和
结论分别是什么？学生回答：题设：两个角相等；结论：这两个角互为对顶角.教师：我们知道假命题是在题设成立的前提下，结论不一定成立，你
能否利用图形举例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系？学生画图回答：如图2所示，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不
是对顶角.图2教师总结：要证明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.设计意图通过分析两个命题，让学生学会如何判断命题的真假，怎样来
证明命题的真假.通过对命题1正确性的推理，来说明什么是证明.证明一个命题为真命题的步骤又有哪些？渗透了“推理”与“证明”的联系、区
别.判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了.新知应用例1 把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指
出命题的题设和结论.学生代表回答，其他同学补充纠正，教师引导，得出结论.解：可以写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”.题设
是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”.设计意图练习命题的改写以及分清命题的题设和结论.例2 下列命题哪些是正确的，哪些是
错误的？(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；(2)等式两边都加上同一个数，结果仍是等式；(3)互为相反数的两个数相加得0
；(4)同旁内角互补；(5)对顶角相等.师生活动学生独立完成，并回答.解：(1)(4)错误，(2)(3)(5)正确.设计意图练习判
断命题的正确与错误.例3 完成下面的证明过程：已知：如图3所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.图3证明：∵ ∠1＝∠
2(已知)，∠2＝∠3( )，∴ ∠1＝ (等量代换)，∴ ∥ ( )，∴ ∠C＝∠4( ).又∵ ∠C＝∠D
(已知)，∴ ∠D＝∠4( )，∴ DF∥AC( )，∴ ∠A＝∠F( ).学生独立完成，并回答.如果错误，其他
同学补充.答案：对顶角相等 ∠3 BD CE 同位角相等 两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平
行 两直线平行，内错角相等教师：除以上证明方法以外，还有其他的方法吗？请同学们独立思考，再交流相法.设计意图让学生熟悉证明的过程，
会填写出一些证明的关键步骤和理由.通过不同方法的引导，拓展学生思维，逐步提高推理能力.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.
A 2.C 3.若∠α＝50°，∠β＝60°，则∠α+∠β＞90°(答案不唯一)4.①②④5.①② ④ 平行于同一条直线的两条
直线平行(答案不唯一)6.对顶角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等式的性质 内错角相等，两直线平行
7.解：(1)如果两条直线平行，那么同位角相等.题设：两条直线平行；结论：同位角相等.(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个
角相等.题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.(3)如果过已知两点画直线，那么能够画而且只能画一条.题设：过已知两点画
直线；结论：能画且只能画一条.(4)如果一个角小于直角，那么这个角叫做锐角.题设：一个角小于直角；结论：这个角叫做锐角.8.解：(
1)已知∠B＝∠D，∠A＝∠C，证明∠1＝∠2.证明：∵ ∠A＝∠C，∴ AB∥CD.∴ ∠B＝∠BFC.∵ ∠B＝∠D，∴ ∠B
FC＝∠D，∴ DE∥BF，∴ ∠DMN＝∠2.∵ ∠1＝∠DMN，∴ ∠1＝∠2.(2)已知∠B＝∠D，∠1＝∠2，证明∠A＝∠
C.证明：∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠DMN，∴ ∠DMN＝∠2.∴ DE∥BF，∴ ∠BFC＝∠D.∵ ∠B＝∠D，∴ ∠B＝∠BF
C.∴ AB∥CD.∴ ∠A＝∠C.(3)已知∠1＝∠2，∠A＝∠C，证明∠B＝∠D.证明：∵ ∠A＝∠C，∴ AB∥CD.∴ ∠
B＝∠BFC.∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠DMN，∴ ∠DMN＝∠2，∴ DE∥BF.∴ ∠BFC＝∠D.∴ ∠B＝∠D.(见导学案“
课后提升”)参考答案解：(1)命题一：如果①②成立，那么③成立；命题二：如果①③成立，那么②成立；命题三：如果②③成立，那么①成立
.(2)命题一：∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠CDF.∵ ∠B＝∠C，∴ ∠C＝∠CDF.∴ CE∥BF，∴ ∠E＝∠F，∴ 命题一
是真命题.命题二：∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠CDF.∵ ∠E＝∠F，∴ CE∥BF，∴ ∠C＝∠CDF，∴ ∠B＝∠C，∴ 命题
二为真命题.命题三：∵ ∠E＝∠F，∴ CE∥BF，∴ ∠C＝∠CDF.又∵ ∠B＝∠C，∴ ∠B＝∠CDF，∴ AB∥CD.∴
命题三为真命题.课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么叫做命题？你能举出一些例子吗？2.命题是由哪两部分组成的？3.举例说明什么是真命题，什么是假命题.4.什么是定理？你学过哪些定理？5.谈谈你对证明的理解.布置作业教材第23，24页习题5.3第6，12，13题板书设计5.3.2 命题、定理、证明1.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 2.命题的组成：如果……(题设)，那么……(结论). 3.真命题与假命题. 4.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据. 5.证明：很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明.教学反思人教版中学数学七年级下参考教案 |
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