18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形（第1课时）人教版 数学 八年级 下册 在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉
的、更特殊的图形？ 我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别
与联系. 2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.素养目标3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
”这个定理.一个角是直角两组对边分别平行矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有
它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形—— 矩形.矩形的定义【
思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们之间有何关系呢?有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的定义：矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质.对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形的一般性质：矩形的性质 矩形是一个特殊的平行四边
形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ABCD做一做准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学
们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.ABCD
O物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 求
证：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴
∠A=90°.又 矩形ABCD是平行四边形,∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D, ∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,即矩形的四个角都是直角.已知：如图,四边形ABCD是矩形. 求证：AC = BD.证
明：在矩形ABCD中,∵∠ABC = ∠DCB = 90°,又∵AB = DC ， BC = CB,∴△ABC≌△DCB (SAS
).∴AC = BD, 即矩形的对角线相等.求证:矩形的对角线相等矩形特殊的性质:矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等
．从角上看：从对角线上看：矩形的两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线
相等边对角线角数学语言：∵四边形ABCD是矩形,∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB.∴AD =BC ，CD =AB.∴AC= B
D. ∴AO= CO ，OD = OB.矩形的性质∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC
,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴A
C = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°, ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8.ABCDO利用矩形的性质求线段的
长矩形的对角线相等且互相平分∴△OAB是等边三角形.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部
分的面积是矩形ABCD面积的_________. 例2 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD
与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, A
B=CD， .又∵△ADG沿
DG折叠得到△A′DG,∴△ADG≌ △ A′DG.∴x2+42=(8-x)2 解得x=3. ∴ AG=3.设AG=x，则BG
=AB-AG=8-x，在Rt△GA′B中，由勾股定理得,A′B2+A′G2=BG2∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A
′D=10-6=4，利用矩形的性质解答折叠问题如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8
，AB＝4，求△BED的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，又由折叠知,∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴BE
＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即D
E＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.∴∠2＝∠3.【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？它的对称轴有几条
？矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？ABCDEFGH.O矩形的对称性及相关性质矩形的性质：对称性： .对称轴：
.轴对称图形2条矩形的性质：中心对称： .对称中心： .中心对称图形对角线的交点对边平行且相等对角相等邻角互补对角线
互相平分中心对称图形对边平行且相等四个角为直角对角线互相平分且相等中心对称图形 轴对称图形O 两对全等的等腰三角形.你在矩形中还
发现了哪些基本图形？ 四个全等的直角三角形. 如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？ Rt△ABC中，BO
是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？ 直角三角形的性质猜想：直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半.OD证明:延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD,DC.∵AO=OC, BO=OD，∴四边形A
BCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例 如图
，在△ABC中，AD是高，E,F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；解：∵AD是△ABC
的高，E,F分别是AB,AC的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4
.∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；利用直角三角形的性质解答题目(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E,F在线段AD的垂直平分线上. ∴EF垂直平分AD.提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角
形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在
斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.1. 如图，矩形ABCD的
对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_____．连接中考2.52. 如图，点E,F
分别是矩形ABCD的边AB,CD上的点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．连接中考 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， ∴△ADF≌△CBE（SAS）. ∴AF＝CE．AD＝CB
，∠D＝∠B，DF＝BE，在△ADF和△CBE中， 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （
）A．AB∥DC B．AC=BDC．AC⊥BD D．
OA=OB ABCDOC2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13
B.6 C.6.5 D.不能确定C3
.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;(2)若∠C
= 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. 6105 4.如图,在矩形ABCD中,E
是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.∵AD =AE,∴∠AED =∠A
DE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴
∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,.∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠
BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，A
C＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－
22.5°＝67.5°.如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE.矩形的相关概念及性质具有平行四边形的一切性质四个内角都是直角，对角线相等既是轴对称图形也是中心对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形定义性质 |
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