8.4 用因式分解法解一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
(二)能力训练要求
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．
教学重点
应用分解因式法解一元二次方程．
教学难点
形如“x2＝ax”的解法．
教学方法
启发引导式归纳教学法．
教具准备
投影片五张．
第一张：复习练习(记作投影片§8．4A)
第二张：引例(记作投影片§8．4B)
第三张：议一议(记作投影片§8．4C)
第四张：例题(记作投影片§8．4D)
第五张：想一想(记作投影片§8．4E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入新课
[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§8．4A)
解下列方程：
(1)x2－4＝0；
(2)x2－3x＋1＝0；
(3)(x＋1)2－25＝0；
(4)20x2＋23x－7＝0． [生]老师，解以上方程可不可以用不同的方法？
[师]可以呀．
[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方法，即
解：x2－4＝0，
移项，得x2＝4
两边同时开平方，得
x＝±2．
∴x1＝2，x2＝－2．
[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即
解：这里a＝1，b＝－3，c＝1．
b2－4ac＝(－3)2－4×1×1
＝5＞0，
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
[师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢？
[生乙]我觉得配方法不如公式法简便．
[师]同学们的意见呢？
[生齐声]同意乙同学的意见．
[师]很好，继续．
[生丙]解方程(3)时，可以把(x＋1)当作整体，这时用开平方法简便，即
解：移项，得(x＋1)2＝25．
两边同时开平方，得
x＋1＝±5，
即x＋1＝5，x＋1＝－5．
∴x1＝4，x2＝－6
[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即
解：这里a＝20，b＝23，c＝－7，
b2－4ac＝232－4×20×(－7)
＝1089＞0，
∴x＝．
∴x1＝，x2＝－．
[师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．
公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．
用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，通常应先计算b2－4ac的值，然后求解．
一元二次方程是不是只有这三种解法呢？有没有其他的方法？今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．
Ⅱ．讲授新课
[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§8．4B)
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ [师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．
[生甲]解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程
x2＝3x．
然后我用公式法来求解的．
解：由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0．
这里a＝1，b＝－3，c＝0，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×0
＝9＞0．
所以x＝，
即x1＝3，x2＝0．
因此这个数是0或3．
[生乙]我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．
解：把方程两边同时约去x，得
x＝3．
所以这个数应该是3．
[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．
[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．
这个方程还有没有其他的解法呢？
[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．
解：x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
于是x＝0，x－3＝0．
∴x1＝0，x2＝3．
因此这个数是0或3．
[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗？
[生齐声]行．
[师]丁同学应用的是：如果a×b＝0，那么a＝0，b＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§8．4C)
a×b＝0时，a＝0和b＝0可同时成立，那么x(x－3)＝0时，x＝0和x－3＝0也能同时成文吗？
[生齐声]不行．
[师]那该如何表示呢？
……
[师]好，这时我们可这样表示：
如果a×b＝0，
那么a＝0或b＝0
这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．
所以由x(x－3)＝0得到x＝0和x－3＝0时，中间应写上“或”字．
我们再来看丁同学解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则a＝0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．
因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如；若(x＋2)(x－3)＝0，那么x＋2＝0或x－3＝0；反之，若x＋2＝0或x－3＝0，则一定有(x＋2)(x－3)＝0．这就是说，解方程(x＋2)(x－3)＝0就相当于解方程x＋2＝0或x－3＝0．
接下来我们看一例题．(出示投影片§8．4D)
[例题]解下列方程：
(1)5x2＝4x；(2)x－2＝x(x－2)． [师]同学们能独自做出来吗？
[生]能．
[师]好，开始．
[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．
解：原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0，
x＝0或5x－4＝0．
∴x1＝0，x2＝．
[生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x－2)，所以可把(x－2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．
解：原方程可变形为
x－2－x(x－2)＝0，
(x－2)(1－x)＝0，
x－2＝0或1－x＝0．
∴x1＝2，x2＝1．
[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢？
[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x－2)当作整体简便．
下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§8．4E)
你能用分解因式法解方程x2－4＝0，(x＋1)2－25＝0吗？ [生丁]方程x2－4＝0的右边是0，左边x2－4可分解因式，即x2－4＝(x－2)(x＋2)．这样，方程x2－4＝0就可以用分解因式法来解，即
解：x2－4＝0，
(x＋2)(x－2)＝0，
∴x＋2＝0或x－2＝0．
∴x1＝－2，x2＝2．
[生戊]方程(x＋1)2－25＝0的右边是0，左边(x＋1)2－25，可以把(x＋1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即
解：(x＋1)2－25＝0，
[(x＋1)＋5][(x＋1)－5]＝0．
∴(x＋1)＋5＝0，
或(x＋1)－5＝0．
∴x1＝－6，x2＝－4．
[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．
好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P69随堂练习 1、2
1．解下列方程：
(1)(x＋2)(x－4)＝0；
(2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)．
解：(1)由(x＋2)(x－4)＝0得
x＋2＝0或x－4＝0．
∴x1＝－2，x2＝4．
(2)原方程可变形为
4x(2x＋1)－3(2x＋1)＝0，
(2x＋1)(4x－3)＝0，
∴2x＋1＝0或4x－3＝0．
∴x1＝－，x2＝．
2．一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．
解：设这个数为x，根据题意，得
2x2＝7x，
2x2－7x＝0，
x(2x－7)＝0．
∴x＝0或2x－7＝0．
∴x1＝0，x2＝．
因此这个数等于0或．
Ⅳ．课时小结
我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P70习题8.9 1
(二)1．预习内容：P70～P72
2．预习提纲
如何列方程解应用题．
Ⅵ．活动与探究
1．用分解因式法解：(x－1)(x＋3)＝12．
[过程]通过学生对这个题的探讨、研究来提高学生的解题能力，养成良好的思考问题的习惯．
[结果]
1．解：(x－1)(x＋3)＝12，
x2＋2x－3＝12，
x2＋2x－15＝0，
(x＋5)(x－3)＝0．
∴x＋5＝0或x－3＝0．
∴x1＝－5，x2＝3．
板书设计
§8．4 因式分解法
一、解方程x2＝3x
解：由方程x2＝3x得
x2－3x＝0，
即x(x－3)＝0．
于是x＝0或x－3＝0．
因此，x1＝0，x2＝3．
所以这个数是0或3．
二、例题
例：解下列方程：
(1)5x2＝4x；
(2)x－2＝x(x－2)．
三、想一想
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
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