中考数学模拟题汇总《整式与因式分解》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《整式与因式分解》专项练习(附答案解析) 一、单选题1、下列运算正确的是（?）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据合并同
类项、同底数幂的除法法则，完全平方公式以及二次根式的计算法则进行计算即可．【详解】A.不能合并，故A错误；B.，故B错误；C.，故
C错误；D.，故D正确；故答案为：D．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则等知识．
掌握合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则是解答本题的关键．2、计算的结果是（?）A．1B．C．D．【
答案】B【解析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解： ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项
式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．3、若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（?）A．B．C．D．16【答案】
C【解析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是4，可得 ，代入即可求解．【详解】∵a，b互为相反数，∴，∵c的倒数是4，∴，∴，
故选：C【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键．4、多项式因式分解的结果是(?)A．x（x﹣4）+4B．（
x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【答案】D【解析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：．故选：D．【点
睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．5、把多项式a2+2a分解因式得（　　）A．a（a+2）B．a（a﹣
2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【解析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】故选A【点睛】本题主要考查了
因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．6、下列各式计算正确的是（?）A．33＝9B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2＋3＝5D
．（2a2b）3＝8a8b3【答案】C【解析】分别根据有理数的乘方、二次根式的计算法则和整式的乘法计算法则进行计算判断即可得到答案
.【详解】解：A、，此选项错误；B、，此选项错误；C、，此选项正确；D、，此选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了二次根式的加法
运算和整式的乘法运算，解题的关键在于熟练的掌握相关知识进行求解.7、下列运算正确的是（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据合
并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D．【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，
此选项运算错误，不符合题意；B.，此选项运算错误，不符合题意；C.，此选项运算正确，符合题意；D.，此选项运算错误，不符合题意；故
选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、计算的结果是（?）A．
aB．C．D．【答案】D【解析】根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．【详解】∵ =，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练
掌握运算法则是解题的关键．9、下列各式中，计算结果等于的是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用整式加减运算和幂的运算对每个
选项计算即可．【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；B．，符合题意；C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项
C不合题意；D．，不符合题意，故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．10、下列计算正确的是（?）
A．B．C．D．【答案】D【解析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解
】解：A.，故该选项错误，不符合题意；B.，故该选项错误，不符合题意；C.，故该选项错误，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意
；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决
本题的关键．11、下列计算正确的是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积
的乘法法则逐项判断即可．【详解】A.，故本选项错误；B.，故本选项符合题意；C.，故本选项错误；D.，故本选项错误；故选：B．【点
睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的
关键．12、下列计算中正确的是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法
法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可．【详解】A. ，故本选项错误；B. ，故本选项符合题意；C. ，故本选项错误；D.
，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公
式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．13、已知m为方程的根，那么的值为（?）A．B．0C．2022D．4044【答案】B【解析】
根据题意有，即有，据此即可作答．【详解】∵m为的根据，∴，且m≠0，∴，则有原式=，故选：B．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二
次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．14、把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案
中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（?）A．15B．13C．11D．9【答案】
C【解析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个
图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形
的个数：，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图
案个数的变化规律．15、按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x，9x，……，第n个单项式是（?）A．(2n-1)B．(2
n+1)C．(n-1)D．(n+1)【答案】A【解析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．【
详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．16、对多项
式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结
果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个
数为（?）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵∴①说法正确∵又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为
负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、、、；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、、；当括号中有四个字母
，共有1种情况，∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键
．17、下列计算结果，正确的是（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函
数值逐一进行计算即可．【详解】解：A、，该选项错误；B、，该选项错误；C、，该选项正确；D、，该选项错误；故选：C．【点睛】本题考
查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．18、下列计算结果正确的是（?）A
．B．C．D．【答案】D【解析】根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．【详解】解：A、5a-3a=
2a，选项错误；B、6a÷2a=3，选项错误；C、，选项错误；D、，选项正确；故选：D．【点睛】题目主要考查单项式的减法、除法及同
底数幂的除法、积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．19、下列运算正确的是（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据整式
的加减乘除运算法则逐个判断即可．【详解】解：选项A：，故选项A错误；选项B：，故选项B错误；选项C：，故选项C正确；选项D：，故选
项D错误；故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解．20、计算的正确结果是（?）A
．B．aC．D．【答案】C【解析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘
法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．21、下列计算结果为5的是（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据去
括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．【详解】解：A、-（+5）=-5，不符合题意；B、+（-5）=-5，不符合题意；C、-(-5
)=5，符合题意；D、，不符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键．22、下列
运算正确的是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】A.，故A错误；B.，故B正确；C.，故C错误；D.，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟
练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．23、用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5
个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的
个数为（?）A．32B．34C．37D．41【答案】C【解析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正
方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图
中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当
n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出
数字之间的规律是解决问题的关键．24、如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，
无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（?）A．12B．13C．24D．
25【答案】D【解析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得，进而根据面积差
以及三角形面积公式求得，最后根据完全平方公式即可求得．【详解】菱形的对角线互相垂直平分，个直角三角形全等；，，，四边形是正方形，又
正方形的面积为13，正方形的边长为，根据勾股定理，则，中间空白处的四边形的面积为1，个直角三角形的面积为，，，，．故选D．【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得是解题的关键．25、下列运算正确的是（?）A．B．C．D．【
答案】D【解析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，
故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全
平方公式展开有三项是解题的易错点．26、下列运算中，正确的是（　　　）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据同类项的定义、单项式乘
单项式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可．【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故错误；B． ，故错误；C．，故错误；D．，故
正确．故选D．【点睛】此题考查的是整式的运算和二次根式的运算，掌握同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式是解题关键．
27、若，则的值为（?）A．－5B．5C．1D．－1【答案】A【解析】根据绝对值和平方的非负性可求出x，y的值，代入计算即可；【详
解】∵，∴，，∴，，∴．故答案选A．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．28、如图，用若干根相同的小
木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个
图形需要2022根小木棒，则的值为（?）A．252B．253C．336D．337【答案】B【解析】根据图形的变化及数值的变化找出变
化规律,即可得出结论．【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8
n-2．∴8n-2=2022，得：n=253，故选：B．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的
数据找出变化规律是关键．29、以下命题：①面包店某种面包售价元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九
折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形
全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增
大而增大．其中真命题的个数有（?）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知
识逐项判断即可，【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a元，现在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，则会员购买
一个面包比涨价前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①项正确；②项，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠BAD=∠ADE+
∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；③项，如图，△ABC和△DEF，AB=
DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：延
长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，∵AM是中线，∴BM=MC，∵AM=MG，∠AM
B=∠GMC，∴△AMB≌△GMC，∴AB=GC，同理可证DE=HF，∵AM=DN，∴AG=2AM=2DN=DH，∵AB=DE，∴
GC=HF，∴结合AC=DF可得△ACG≌△DFH，∴∠GAC=∠HDF，同理可证∠GAB=∠HDE，∴∠BAC=∠GAB+∠GA
C=∠HDF+∠HDE=∠EDF，∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF，故③正确；④设原数为x，则新数为，设原数与新数之
差为y，即，变形为：，将x等于0、1、2、3、55分别代入可知，y随着x的增大而增大，故④正确；即正确的有三个，故选：C，【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．30、如图的
电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆
时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(?)A．4B．C．2D．0【答案】B【解析】
由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵2
022÷3=674，2022÷1=2022，∴，∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，连接AE，过点F作FG⊥A
E于点G，如图所示：在正六边形中，，∴，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及
正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．31、若，则代数式的值为（?
）A．7B．4C．3D．【答案】C【解析】先将代数式变形为，再代入即可求解．【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，
熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．32、已知两个不等于0的实数、满足，则等于（?）A．B．C．1D．2【答
案】A【解析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∵两个不等于0的实数、满足，∴，故选：A．【点睛】本题
考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．33、实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后
来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大
约是（?）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年【答案】C【解析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详
解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620×2=3
240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此
时mg，故选C．【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．34、已知，则的值为（?）A．B．C．D．【
答案】A【解析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．【详解】∵∴即，∴求得：，∴把和代入得：故选：A【点睛】本题主要
考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．35、下列运算正确的是（?）A．B．C．D．
【答案】C【解析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.【详解】解：A、，故选项错误
；B、，故选项错误；C、===，故选项正确；D、，故选项错误；故选C.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的
混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.36、下面是某同学在一次测试中的计算：①；②；③；④，其中运算正确的
个数为（?）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D【解析】【分析】根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可．【详解】
与不是同类项，不可合并，则①错误，则②错误，则③错误，则④正确综上，运算正确的个数为1个故选：D．【点睛】本题考查了整式的减法、整
式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．37、下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）A．a2﹣b2B．﹣
a2﹣b2C．a2+b2D．a2+2ab+b2【答案】A【解析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判
断后利用排除法求解．【详解】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，
不能用平方差公式进行因式分解；C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2+2ab+b2是三项，不能用平
方差公式进行因式分解．故选：A．【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．3
8、下列命题：①；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式在实数范围内有意义，则．其中假命
题的个数是（?）A．1B．3C．2D．4【答案】C【解析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义
的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：①，故原命题是假命题；②数据1，3，3，5的平均数为 ，所以方差为，是真命题；③，是真命题；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；⑤使代数式在实数范围内有意义，则，即，是真命题；∴假命题的个数是2．故选：C
【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
39、多项式因式分解为（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解
】解：故答案选：A．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．40、化简的结果是（?）A
．B．C．D．【答案】B【解析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简．【详解】解：原式故答案是：B．【点睛】本题
考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．41下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
　A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平方差公式的定义判断即可；【详解】、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式
不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，
不符合题意，故选：．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．42、下列因式分解正确的是（ ）A．B．C．D．
【答案】C【解析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．【详解】A、，故此选项错误；B、，故此选
项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公
因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．43、从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　)（1）
无理数都是无限小数；（2）因式分解；（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．A．B．C
．D．1【答案】C【解析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解
，是真命题，（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，（4）设扇形半径为r，圆心角为n，∵弧长是，则=，则，∵面积是
，则=，则360×240，则，则n=3600÷24=150°，故扇形的圆心角是，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是，故选C.
【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知
识判断各个命题的真假.二、填空题44、计算：_______．【答案】【解析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：．故答
案为：．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．45、篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要
__________元．（用含的代数式表示）【答案】【解析】根据“总费用购买篮球的数量每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得
：一共需要的费用为元，故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．46、计算的结果等于__________
_．【答案】18【解析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公
式的展开式是解题的关键．47、已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．【答案】10【解析】根据平方差
公式，把原式化为，可得，即可求解．【详解】解：a2﹣b2 +2b+9 故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用
整体代入思想解答是解题的关键．48、如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美
矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．【答案】5【解析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分
别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分
别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=
c，∴d=2b+c=c，则c=d，∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应
用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．49、已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_______
_____．【答案】或【解析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，∴，∴，解得或，故答案为：或【点睛】
本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．50、阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式
的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．【答案】【解析】先根据
是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，∴，∴．故
答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．51、
已知2a﹣5b＝3，则2+4a﹣10b＝________．【答案】8【解析】先变形得出2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b），再代
入求出答案即可．【详解】解：∵2a﹣5b＝3，∴2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b）＝2+2×3＝8，故答案为：8．【点睛】本题
考查了求代数式的值，掌握整体代入法是解此题的关键．52、如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______
________；【答案】11【解析】把x=1代入运算程序的y=6＜9，无法输出，再把x=2代入运算程序得y=11＞9，输出答案，
问题得解．【详解】解：把x=1代入得y=1+2+3=6＜9，无法输出，∴把x=1+1=2代入得y=4+4+3=11＞9，输出答案．
故答案为：11【点睛】本题考查了根据运算程序进行计算，理解运算程序是解题关键．53、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标
取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积
是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最
大的正方形的面积为____．【答案】27【解析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）
2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正
方形的面积为：（a+b）2，∵（b-a）2=3a2-2ab+b2=3，∴15-2ab=32ab=12，∴（a+b）2=a2+2ab
+b2=15+12=27，故答案为：27．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．54、
分解因式：____________．【答案】【解析】先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a
2±2ab+b2．【详解】解：；故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解
因式．55、分解因式：_______．【答案】【解析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=；故答案
为．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．56、化简：＝_____．【答案】【解析】先将分母因式分解，再根据
分式的基本性质约分即可．【详解】＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分
式的基本性质以及因式分解的方法．57、若实数满足，则__．【答案】2020【解析】由等式性质可得，，再整体代入计算可求解．【详解】
解：，，，．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为，是解题的关键．58、因式分解：______．【答
案】【解析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是
解决问题的关键．59、分解因式：______．【答案】a(x+1)(x-1)【解析】先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．【详解
】解：ax2-a=a(x2-1)=a(x+1)(x-1)故答案为：a(x+1)(x-1)．【点睛】本题考查提公因式法与公式法综合运
用，熟练掌握分解因式的提公因式法与公式法两种方法是解题的关键．60、若，，则的值为_______．【答案】90【解析】将变形得到，
再把，代入进行计算求解．【详解】解：∵，，∴ ．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运
用完全平方公式是解答关键．61、若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．【答案】1【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到
进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数
式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．62、若且，则_____．【答案】【解析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范
围可得的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】∵，∴，∵，∴，∴=，∴==，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，
准确运用公式是解题的关键．63、已知，则_________．【答案】36【解析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵，
∴原式=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．64、阅读理解：对于x3
﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（
x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣
n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n
2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【解析】将原方
程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【详解
】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三、解答题
65、先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a的值代入化简后的式
子，即可解答本题．【详解】 当时，原式=．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型
．66、先化简，再求值：，其中．【答案】，7．【解析】【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即
可得．【详解】解：原式，，将代入得：原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．67、某书店新
进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．（1）用含，的代数式表示；（2）若
共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价
，用单价乘以数量即可；（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．【详解】（1） （2） 所以．【点睛】本题考查
了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键．68、计算：（1
）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）【答案】（1）12mn+10n2；（2）【解析】【分析】（1）根据完全平方公式
，平方差公式进行计算即可；（2）括号内先通分计算，并因式分解，然后变除为乘，进行约分即可．【详解】解：（1）原式＝4m2+12mn
+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；（2）原式＝＝＝＝．【点睛】本题考查了整式
和分式的混合运算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，约分，因式分解计算是解题的关键．69、有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就
会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，，两区分别显
示：（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明
理由．【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就
会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求
A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．【详解】解：（1）A区显示结果为： ，B区显示结果为：；（2）初始状态按4次后A显
示为： B显示为：∴A+B== =∵恒成立，∴和不能为负数．【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在
于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．70、（1）有三个不等式，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组
，并求出它的解集：（2）小红在计算时，解答过程如下： 第一步第二步第三步小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解
答过程．【答案】（1）x＜-3；（2）第一步，正确过程见详解【解析】【分析】（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不
等式的解，再取公共部分，即可；（2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可．【详解】解：（1）挑选第一和第
二个不等式，得，由①得：x＜-2，由②得：x＜-3，∴不等式组的解为：x＜-3；（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如
下： ．故答案是：第一步【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及整式的混合运算，掌握解不等式组的基本步骤以及完全平方公式，是解题
的关键．71、已知T=(1)化简T；(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．【答案】(1)；(2)T=【解析】【分析】(1
)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a2-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求
解．(1)解：T==；(2)解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，则T=．【点睛】本题考察了整式的四则运算法则、一元二次方程的
实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．54．（2022·吉林）下面是一道例题
及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．例先去括号，再合并同类项：（）．解：（） ．
【答案】，解答过程补充完整为【解析】【分析】利用除以可得，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，，解得
，将该例题的解答过程补充完整如下：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．7
2、整式的值为P．(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（
1）将m＝2代入代数式求解即可，（2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解．(1)解：∵当时，；(2)，由数轴可知，即，，
解得，的负整数值为．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．73、如图1，将长为，宽为的
矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(
2)当时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)(2)36【解析】【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用
较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入
即可．(1)解：∵直角三角形较短的直角边，较长的直角边，∴小正方形的边长；(2)解：，当时，．【点睛】本题考查割补思想，属性结合思
想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．74、设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4
时，表示的两位数是45．(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×10
0＋25；③当a＝3时，352＝1225＝ ；……(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：
若与100a的差为2525，求a的值．【答案】(1)③；(2)相等，证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）③仔细观察①②的提示，
再用含有相同规律的代数式表示即可；（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；（3）由与100a的差为2525，列方程，
整理可得再利用平方根的含义解方程即可．(1)解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝
2×3×100＋25；③当a＝3时，352＝1225＝；(2)解：相等，理由如下： 100a(a＋1)＋25= (3) 与100a
的差为2525， 整理得： 即 解得： 1≤a≤9，【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利
用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．75、数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数
之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由；；；；；猜想：如果，，那么
存在（当且仅当时等号成立）．猜想证明：∵∴①当且仅当，即时，，∴；②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立
）．猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是
多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用
63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的
面积最大？最大面积是多少？【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【解析】【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设
每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究
最大值即可．【详解】猜想运用：∵，∴，∴，∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2．变式探究：∵，∴，，∴，∴当时，，此时，∴
，（舍去），即时，函数的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：，即，∵，，∴，即，整理得
：，即，∴当时，此时，，即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数
之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．76、阅读以下材料，苏格
兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（
Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如
指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下：设，则．．由对数的定义得又．根
据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①___________；②_______，③________；（2）求证
：；（3）拓展运用：计算．【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）结合题
干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；（3）根据公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM-lo
gaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．【详解】解：（1）①∵，∴5，②∵，∴3，③∵，∴0；（2）设logaM=m，lo
gaN=n，∴，，∴，∴，∴；（3）===2．【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明
确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．77、（1）计算：．（2）因式分解：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1
）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】
（1）解：原式（2）解：原式【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是
解题的关键．78、先化简,再求值,其中【答案】【解析】【分析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式
分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．【详解】＝ ＝ = =-a+1；当a=3时，原式=-3
+1=-2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．79、先化简，再求值：，其中．【答案】【解
析】【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可．【详解】解：原式当时，原式．【点睛
】本题考察分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解．80、已知（1）化简A；（2）若，求A的值
．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行
二次根式乘法运算即可．【详解】解：（1）；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算
，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．81、如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的
面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验
证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法
”（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______；（2）如图（3），
中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用
上述“面积法”，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）大长方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面
积之和即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可；（2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可．（3）由和三角形面积
公式即可得证．【详解】（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，
故答案为：；（2）如图（3）中，，，，∴,∵,∴；（3）如图（4），∵，，，垂足分别为点，，，∴，∴，∵AB=AC，∴CH=OM+
ON即．【点睛】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后
的面积相等通过分析、推理和计算．82、比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+1
　2x；②当x＝0时，x2+1　2x；③当x＝﹣2时，x2+1　2x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？
试说明理由．【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析【解析】【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，
根据有理数的大小比较，可得答案；（2）根据完全平方公式，可得答案．【详解】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x
2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．故答案为：＝；＞；＞．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0
，∴x2+1≥2x．【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关
键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．83、如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽
为．（1）当时，求的值；（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．【答案】（1）b=15；（2）【解析】【分析】（1）根
据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值；（2）由（1）可得a,b之间的关系式，用含有b
的式子表示a,再结合，列出关于b的不等式组，接着不等式组即可求出b的取值范围.【详解】解：（1）由题意，得，当时，．解得．（2）∵
，，∴解这个不等式组，得．答：矩形花园宽的取值范围为．【点睛】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了解
不等式组，难度不大.84、在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—
—“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例
如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除
．（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．【答案】（
1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．【
解析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，
根据“好数”定义逐一判断即可．【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．∵6，7，5都不
为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，
y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：
611，617当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729当x=3时，2x+5=11，此时y=
1，“好数”有：831当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7
．【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．85、先化简
，再求值：，其中．【答案】；2【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．【详解】当时，原式 ．【
点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．86、计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（
1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．(1)解：原式(2)解：原式【点睛】本题主要考查了整
式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．87、先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】利用多项式
乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式==；当x=时，原式==3+1-=-．【点睛】题目
主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．88、（1）若单项式与单项式是一多项式中的同类项，
求、的值；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）m=2，n=-1；（2），【解析】【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方
程组，然后解方程组求得和的值；（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【详解】解：（1）由题意可得，②①，可得
：，解得：，把代入①，可得：，解得：，的值为2，的值为；（2）原式，当时，原式．【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化
简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式的结构是解题关键．89、计算：(1)
；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；（2）先将括号里
通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．(1)解：==(2)解： ===【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式
、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．90、阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n
，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝m
n（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根
为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3
)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【解析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数
的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，
．故答案为：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2
t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．【点睛
】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．91、若一个四位数
的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数
”；又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”的
千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．【答案】(1)2022不是“勾股和数”，
5055是“勾股和数”；理由见解析(2)8109或8190或4536或4563．【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验
证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．(1)解：
2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵，，∴1022不是“勾股和数”；∵，∴5055是“勾股和数”；(2)∵为
“勾股和数”，∴，∴，∵为整数，∴，∵为整数，∴为3的倍数，∴①，或，，此时或8190；②，或，，此时或4563，综上，M的值为8
109或8190或4536或4563．【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新
定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．92、观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规
律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)
(2)，证明见解析【解析】【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得
出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知
第5个等式为：，故答案为：；(2)解：第n个等式为，证明如下：等式左边：，等式右边：，故等式成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发
现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．93、阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2
n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋
n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，
x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓
展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．94、若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析(2)8109或8190或4536或4563．【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．(1)解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵，，∴1022不是“勾股和数”；∵，∴5055是“勾股和数”；(2)∵为“勾股和数”，∴，∴，∵为整数，∴，∵为整数，∴为3的倍数，∴①，或，，此时或8190；②，或，，此时或4563，综上，M的值为8109或8190或4536或4563．【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．95、对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵，∴247是13的“和倍数”．又如：∵，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析(2)数A可能为732或372或516或156【解析】【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．(1)解：∵，∴357不是15“和倍数”；∵，∴441是9的“和倍数”．(2)∵三位数A是12的“和倍数”，∴，∵，∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，∴，∵为整数，设（k为整数），则，整理得：，根据得：，∵，∴，解得，∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，∴，∴，∴，把代入得：，整理得：，∵，k为整数，∴或，当时，，∵，∴，，，，，或，，，要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，当，，时，组成的三位数为或，∵，∴是12的“和倍数”，∵，∴是12的“和倍数”；当，，时，组成的三位数为或，∵，∴不是12的“和倍数”，∵，∴不是12的“和倍数”；当时，，∵，∴，，，，组成的三位数为516或156，∵，∴是12的“和倍数”，∵，∴是12的“和倍数”；综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．第 1 页 共 55 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司