矩形的判定
基础与巩固
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3个，能使四边形ABCD是矩形．
3．已知：如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．
求证：ABCD是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N 分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
5．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
拓展与延伸
6．已知：如图，在ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED为直角．
求证：四边形ABCD是矩形．
后花园
智力操 如图，以△ABC的三边为边，在BC 的同侧分别作3 个等边三角形， 即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
参考答案
1．C
2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．
3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．
又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．
又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A= ∠B=90°，∴ABCD是矩形．
4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．
5．∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形．
6．证明：连接OE．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．
以AC为斜边的Rt△ACE中，OE 为斜边AC上的中线，∴OE=AC，即AC=2OE．
以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，
∴OE=BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
智力操 （1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：△ABD、△BCE 是等边三角形， ∠ABD=∠EBC=60°．
∠ABD-∠EBA=∠EBC-∠ABE，即∠DBE=∠ABC．
又∵DB=AB，EB=CB， ∴△EDB≌△CAB．∴DE=AC=AF．
同理△CEF≌△CBA，∴EF=AB=DA，∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
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