专题28 新定义与阅读理解创新型问题 一、单选题1．（2021·湖南永州）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则
：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（?）A．5B．2C．1D．0【答案】C【解析】【分析】根据新运
算的定义和法则进行计算即可得．【详解】解：原式，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则
是解题关键．2．（2021·湖南张家界）对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（?）A．没有实数根B．只有一个实数
根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式
，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程得：整理得：根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数
根．故选D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根
；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．3．（2021·湖南怀化）定义，则方程的解为（?）A．B．C．D．【答案】B【解
析】【分析】根据新定义,变形方程求解即可【详解】∵,∴变形为,解得 ，经检验 是原方程的根，故选B【点睛】本题考查了新定义问题，根
据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键4．（2020·湖北恩施）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是
（?）．A．B．1C．0D．2【答案】C【解析】【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【详解】解：由题意知：，又
，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
5．（2020·山东潍坊）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据，可得
当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．【详解】解：当时，，∴当时，，即：，当时，，即：，∴，∴当时
，，函数图像向上，随的增大而增大，综上所述，A选项符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系
式是解题的关键6．（2020·河南）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（?）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无
实数根D．只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定
义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根，故选【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别
式，掌握以上知识是解题的关键．7．（2021·河北）如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：①以为圆心，为半径画圆；②在上任
取一点（不与点，重合），连接；③作的垂直平分线与交于，；④作的垂直平分线与交于，．结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；结论Ⅱ：
上只有唯一的点，使得．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（?）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【
解析】【分析】Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可
．【详解】解：Ⅰ、如图所示．∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径
．∴OM=ON，OE=OF．∴四边形MENF是平行四边形．∵线段MN是⊙O的直径，∴∠MEN=90°．∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，∵AP=AB，∴．∵MN⊥AB，EF⊥AP，∴∴∴∴．∴．∵扇形OF
M与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，∴．如图，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，同理可证：．∴结论Ⅱ错误．故选：D【点睛
】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．二、填空题8．
（2022·湖北荆州）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函
数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．【答案】或【解析】【
分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交
点，函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，当时
，此函数是二次函数，它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，，得，故k+1=0，解得k=-1，故原函数的解析式为，
故它的“Y函数”解析式为，故答案为：或．【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数
及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．9．（2021·广西贵港）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，
则的最大值是________．【答案】8【解析】【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解
答即可．【详解】解：根据题意知：．因为，所以当时，．即的最大值是8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配
方法求得二次函数的最值．10．（2021·山东菏泽）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函
数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是_____
_．【答案】①②③．【解析】【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详
解】解：当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数
解析式为，当时，，函数图象过原点，故②正确；函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；当时，函数图像开口向下，对称轴为：∴
时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛
】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．11．（2022·四川内江）对于非
零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．【答案】【解析】【分析】根据题意列出方程，解方程即可求
解．【详解】解：由题意得：＝1，等式两边同时乘以得，，解得：，经检验，x＝是原方程的根，∴x＝，故答案为：．【点睛】本题考查了解分
式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．12．（2021·内蒙古呼和浩特）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放
置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个
数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．【答案】0，1，0，1【解析】【分析】根据定义先确定x
0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1， y2， y3
， y4；依次为0， 1， 0， 1即可．【详解】解：∵，，，依次为3，1，2，1，∴x0=x4=1，x5=x1=3，∴x0，，，
，， x5依次为1，3，1，2，1，3，∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1；∴其“伴
生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1．故答案为：0， 1， 0， 1．【点睛】本题考查新定义数列与
伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键．三、解答题13．（2022·甘肃兰州）在平面直角
坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．(1)求点的“倾斜系数”k的值；(2)①若点
的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直
线AC：运动，是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围．【答案】(1)3(2)①a-2b或b=2a
，②OP=(3)+1 可；②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；（3）当点P与点D重合时，且k=时
，a有最小临界值，此时，=，则，求得a=+1；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，此时，，则，求得：a=3+；即可求得时，
a的取值范围．(1)解：由题意，得，，∵3>，∴点的“倾斜系数”k=3；(2)解：①a=2b或b=2a，∵点的“倾斜系数”，当=2
时，则a=2b；当=2时，则b=2a，∴a=2b或b=2a；②∵的“倾斜系数”，当=2时，则a=2b∵，∴2b+b=3，∴b=1，
∴a=2，∴P(2，1)，∴OP=；当=2时，则b=2a，∵，∴a+2a=3，∴a=1，∴b=2，∴P(1，2)∴OP=；综上，O
P=；(3)解：由题意知，当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，此时，=，则，解得：a
=+1；经检验符合题意；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，此时，，则，解得：a=3+
，经检验符合题意，综上，若P的“倾斜系数”，则+1 （1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值．14．（2022·内蒙古赤峰）阅读下列材料定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下
列任务(1)① _________；②_________(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数
的解析式．【答案】(1)①1；②(2)，【解析】【分析】（1）根据材料中的定义进行计算，即可求出答案；（2）由函数图像可知当时，，
则，结合已知可得，即可求出b，得到一次函数解析式，求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．(1)解：根据题意，∵，当
时，；当时，，∴①；∵，∴②；故答案为：①1；②；(2)解：由函数图像可知当时，，∴，又∵，∴，∴，∴一次函数，当x＝－2时，，∴
A（－2，1），将A（－2，1）代入得，∴反比例函数．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，零次幂，反比例函数与一次函数的综合问题，
解题的关键是掌握题意，正确的运用数形结合的思想求解．15．（2021·湖南张家界）阅读下面的材料：如果函数满足：对于自变量取值范围
内的任意，，（1）若，都有，则称是增函数；（2）若，都有，则称是减函数．例题：证明函数是增函数．证明：任取，且，则∵且，∴，∴，即
，∴函数是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数，，，_______，_______；（2）猜想是函数_________（填
“增”或“减”），并证明你的猜想．【答案】（1），；（2）减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（
2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．【详解】解：（1），?（2）猜想：是减函数；证明：任取，，，则 ∵且，∴
，∴，即 ∴函数是减函数．【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用反比例函数的性质解答．16．（2021·四川凉山）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617
年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数
之间的联系．对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我
们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下：设，则．．由对数的定义得又．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）
填空：①___________；②_______，③________；（2）求证：；（3）拓展运用：计算．【答案】（1）5，3，0
；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；（3）
根据公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．【
详解】解：（1）①∵，∴5，②∵，∴3，③∵，∴0；（2）设logaM=m，logaN=n，∴，，∴，∴，∴；（3）===2．【点
睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
17．（2021·重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位
数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；（1）判断5313，6437是否为“共
生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求
满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或【解析】【分析】（1）根据“共生数”
的定义逐一判断两个数即可得到答案；（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜
且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．【详解】解：（1） 是“共生数”，
不是“共生数”．（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 ＜ 且为整数，所以：
由“共生数”的定义可得： 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，或或 当 则 则 不合题意，舍去，当时，则 当时，
此时： ，而不为偶数，舍去，当时，此时： ，而为偶数，当时， 此时： ，而为偶数，当时，则 而则不合题意，舍去，综上：满足各数位上
的数字之和是偶数的或【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列
出准确的代数式与方程是解题的关键．18．（2021·重庆）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字
相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，是“合和数”
．又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，不是“合和数”．（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”
进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当
能被整除时，求出所有满足条件的．【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．【解析】【分析】（1）首先根
据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则
称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也
可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．【详解】解：（1）不是“合和数”，是“合和数”．，
，不是“合和数”，，十位数字相同，且个位数字，是“合和数”．（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），则．∴．∴（是整
数）．，，是整数，或，①当时，或，或．②当时，或，或．综上，满足条件的有，，，．【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要
理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．19．（2020
·四川内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝
对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．（1）填空：；；（2）一个
两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的
最大值；（3）填空：①；②；③；④．【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）【解析】【分析】（1）6＝1×
6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a?10
a?b＝9（b?a）＝54，得到b?a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；（3）根据的定义即可依次求解．【详解】（1）6＝1×6＝
2×3，∵6?1＞3?2，∴＝；9=1×9=3×3，∵9?1＞3?3，∴=1，故答案为：；1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换
前的数的差为：10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，∴b?a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7
，a＝1，∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴＝；17＝1×17，∴；∴
的最大值．（3）①∵=20×21∴；②=28×30∴；③∵=40×42∴；④∵=56×60∴，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解
的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．20．（2020·重庆）在整数的除法运算中，只
有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数
，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以14是“差一数”；，但，所以19不是“差一数”
．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．【答案】（1）49不是“差一数
”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389【解析】【分析】（1）直接根据“差一数”的
定义计算判断即可；（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此
可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400
的能被15整除的数，进一步即得结果．【详解】解：（1）∵；，∴49不是“差一数”，∵；，∴74是“差一数”；（2）解法一：∵“差一
数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、3
19、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、39
9，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314
、329、344、359、374、389．解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，∴这个数加1能被15整除，∵
大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，∴大于300且小于400的所有“差一数”
为314、329、344、359、374、389．【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法
依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．21．（2022·山东潍坊）为落实“双减”，老师
布置了一项这样的课后作业：二次函数的图像经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直
角坐标系中画出大致图像．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图像的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图像一定在x轴
的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的
图像与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现] ，图像见解析；
[思考交流] 不认同他们的说法，举例见解析；[概括表达] 探究过程见解析【解析】【分析】根据题意举例分析的图像即可求解，根据经过点
，且不经过第一象限，得出，，进而求得的范围,即可求解．【详解】解：[观察发现]根据题意，得：抛物线经过点，且不经过第一象限，画出图
像，如下： [思考交流]不认同他们的说法，举例如下：抛物线的对称轴为y轴，故小亮的说法不正确，抛物线图像经过x轴，故小莹的说法不正
确；[概括表达]设过点的抛物线解析式为，，，，经过，，根据题意，抛物线不经过第一象限，，，，，综上所述：且．【点睛】本题考查了二次
函数的图像与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．22．（2022·山西）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完
成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．
抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两
个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判
别式，分别分和两种情况进行分析：（1）时，抛物线开口向上．①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点
（如图1）．②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．∴一元二次方程有两个相等的实数根．③当
时，……（2）时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A．
数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程
，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次
方程的解．请你再举出一例为【答案】(1)AC（或AD或CD）(2)分析见解析；作图见解析(3)答案见解析【解析】【分析】（1）解一
元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；（3）结合所学知
识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．(1)解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分
类讨论思想，故答案为：AC（或AD或CD）；(2)解：a>0时，抛物线开口向上．当△=b2?4ac<0时，有4ac?b2>0﹒∵a
>0，∴顶点纵坐标﹒∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．(3)解
：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）【点睛】本题考查的二次函数与一
元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交
点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．23．（2022·湖北武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减
速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运
动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函
数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)
当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．【答
案】(1)，(2)(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球【解析】【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一
次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即
可；（2）当黑球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；（3）设
黑白两球的距离为，得到，化简即可求出最小值，于是得到结论．(1)根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt
+b，代入（0，10），（1，9.5）得，，解得，∴，根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，
9.75），（2，19）得，解得，∴;(2)依题意，得，∴，解得，，；当时，；当时，（舍）；答：黑球减速后运动时的速度为．(3)设
黑白两球的距离为，，∵，∴当时，的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函
数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．24．（2022·湖北随州）2022年的冬奥会在北京举行
，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被
抢购一空．该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15
天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关
系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天12…6…11…15供应量（个）150………需求量
（个）220229…245…220…164(1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）(2)已知从第10天开始
，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前
9天的总需求量为2136个）(3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．【答
案】(1)，(2)m的值为20或21(3)第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元【解析】【分析】（1）根据题
意“从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量”得到与x的函数
关系式；与x满足某二次函数关系，设，利用表格，用待定系数法求得与x的函数关系式；（2）用含m的式子表示前9天的总供应量和前10天的
总供应量，根据“前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量”列出不等式，求解即可；（3）在（2）的条件下，m的
最小值为20，代入（1）中与x和与x的函数关系式求得第4天的销售量和第12天的销售量，即可求得销售额．(1)解：由题意可知，，即，
与x满足某二次函数关系，设，由表格可知，，解得：，即．(2)前9天的总供应量为：，前10天的总供应量为：，第10天的需求量与第2天
需求量相同，为229个， 故前10天的总需求量为；（个），依题意可得，解得，因为m为正整数，故m的值为20或21．(3)在（2）的
条件下，m的最小值为20，第4天的销售量即为供应量：（个），故第4天的销售额为：（元），第12天的销售量即需求量．（个），故第12
天的销售额为：（元），答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．【点睛】本题考查关于销售的实际问题，是一次
函数和二次函数的综合问题．解题的关键在于正确理解题中的相等和不等关系．25．（2022·四川遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的
横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．(1)求双曲线上的“黎点”；(2)若抛物线（a、c为常数）上有且
只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．【答案】(1)上的“黎点”为，(2)【解析】【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程
求解即可；（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．(1)设双曲线上的“黎点”为，则
有，解得，∴上的“黎点”为，．(2)∵抛物线上有且只有一个“黎点”，∴方程有且只有一个解，即，，，∴．∵，∴．【点睛】本题考查反比
例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．26．（2021·湖北随州）如今我国的
大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的
墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的
水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出，的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3
）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少
根竹竿？【答案】（1），；（2）米；（3）352【解析】【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入，求出b、c即可；（2
）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；（3根据，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米
需要4根竹竿计算即可．【详解】解：（1）由题意知点A坐标为，点B坐标为，将A、B坐标代入得：解得：，故，；（2）由，可得当时，有最
大值，即大棚最高处到地面的距离为米；（3）由，解得，，又因为，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），又大棚的长为16米，故需要
搭建支架部分的土地面积为（平方米）共需要（根）竹竿．【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及
根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．27．（2021·湖南郴州）某商店从厂家以每件2元的价格
购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系：…4.05.05.56.
57.5……8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；（2）根据画出
的函数图象，求出关于的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）．①写出关于的函数表达式；②该商店计划从这批商品获
得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？【答案】
（1）图象见详解；（2）；（3）①；②销售单价应定为3元．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y与x满足一
次函数的关系，所以设其关系式为，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得，然后由（2）可进行求解；②由①及题意
可得，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．【详解】解：（1）y关于x的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y与
x的函数关系式为，则由表格可把代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为；（3）①由（2）及题意可得：；∴关于的函数表达式为；②由题
意得：，即，∴，解得：，∴；答：此时的销售单价应定为3元．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数
的应用是解题的关键．28．（2022·湖南永州）已知关于的函数．(1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；(2)若
，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．(3)阅读下面材料：设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数
，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；②因为，两点在原点左侧，所以对应图象
上的点在轴上方，即；③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．综上
所述，系数，，应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范
围．【答案】(1)或，0(2)(3)或【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；（2）利
用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论；（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴
画出草图，结合图象分析即可．（1）根据题意，得 解之，得，所以函数的表达式或，当时，的最小值是-8．（2）根据题意，得而函数的图象
与轴有交点，所以所以．（3）函数的图象图1： 即，所以，的值不存在．图2： 即的值.图3： 即所以的值不存在图4：即 所以的值不
存在．图5： 即 所以的值为图6：函数与轴的交点为所以的值为0成立．综上所述，的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数的应用．（
1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直
观．29．（2022·浙江温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形
桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长
的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼
，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立
的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，
并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两
种方案，见解析【解析】【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据
题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴
，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案
即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点．设该抛物线函数表达式为，则，∴，∴该抛物线
的函数表达式是．任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，∴悬挂点的纵坐标，∴悬挂点的纵坐标的最小值是．当时，，
解得或，∴悬挂点的横坐标的取值范围是．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵，相邻
两灯笼悬挂点的水平间距均为，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，若顶点一侧挂3盏灯笼，则，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称
分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，若顶点一侧挂4盏灯笼，则，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最
左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．30．（202
2·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x
轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对
应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且
相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐
标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计
方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．【答案】(1)y＝x2＋8(2)
（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1横坐标≤；方案二：＋≤P1横坐标≤【解析】【分析】（1）通过
分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用
二次函数的性质分析最值；（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想
确定取值范围．(1)由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2
＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；(2)（ⅰ）∵点P1的横坐标
为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，m2＋8），∴P1P2＝P3
P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，∵＜0，∴当m＝2时，l有
最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝
18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形
面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令x2＋8＝3，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，∵－1＜0，∴
当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤
．【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．31．（20
21·江苏南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”
．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数的图象的“等值点
”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成
的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(
2，2)；（2）或；（3）或．．【解析】【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三
角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W
1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）∵函数，令y=
x，则，解得：(负值已舍)，∴函数的“等值点”为A(，)；∵函数，令y=x，则，解得：，∴函数的“等值点”为B(，)；的面积为，即
，解得：或；（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，∴函数W的解析式为，令
y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则，即，当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点
”的情况；当时，观察图象，恰有2个“等值点”；当时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W2没有“等
值点”，∴，整理得：，解得：．综上，m的取值范围为或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质
以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．32．（2021·辽宁大连）已知函数，记该函数图像为G．（1）
当时，①已知在该函数图像上，求n的值；②当时，求函数G的最大值；（2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值
；（3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交与点B，过B做交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值．【答案
】（1）①，②函数G的最大值为；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由题意易得，①把点代入求解即可；②根据二次函数的性质可进行求
解；（2）由题意可得如图所示，然后可得，是等腰直角三角形，则有，进而代入求解即可；（3）由题意可得如图所示，则有，然后可得，设直线
与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，进而易证，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵，∴，①∵在该函数图像上
，∴；②由题意得：当时，函数G的解析式为，当时，函数G的解析式为，∵，当时，则，∴当时，函数G有最大值，即为；当时，则有函数G的最
大值为，∵，∴当时，函数G的最大值为；（2）由当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，可得点Q必定落在的函数图象上，如图所示
：∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，化简得：，解得：，∵，∴；（3）①当时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E，
过点C作CD⊥y轴于点D，∴，令y=0，则有，解得：，∵，∴，由题意得：，四边形DOEC是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，
∴，∴，∴，即，化简得：，解得：（不符合题意，舍去），∴；②当时，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：∴令
y=0，则有，解得：，∴，同理可得，∴，化简得：，解得：（舍去）；综上所述：或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函
数的图象与性质是解题的关键．33．（2021·陕西）问题提出（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果
保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求
，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功
能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这
时点到点的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．【解
析】【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可；（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．设
，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可．【详解】解：（1）在中，设边上的高为h．∵，，∴∵
，∴点到的距离为．∴．（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．设，则， ， ，．由题意，易知，∴．∴当时，．，．∴
符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次
函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键．34．（2021·湖北随州）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它
是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解
决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别
为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的
中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）②如图2，是边长为的正五边形内任
意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）（3）①如图3，已知的半径为2
，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛
进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．【答案】（1
），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．【解析】【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可
；（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，
继而得到，据此解题；（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个
三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据
此解题．【详解】解：（1）直角三角形的面积为：，直角三角形斜边为：，设直角三角形斜边上的高为，则设直角三角形内切圆的半径为，则，故
答案为：，1；（2）①边长为的正底边的高为，面积为：，故答案为：；②类比①中方法可知，设点为正五边形的中心，连接，，由①得，过作于
，，故，，故，从而得到：． （3）①是的切线，过点作，是的高，故答案为：；②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，连接，
∵，∵，∴，∴．【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识
，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．35．（2021·江苏连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边
长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，
小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个
动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E是边上的一个
动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B
重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；【解析】【
分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点
运动的路径的长；（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；（4）
连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设
OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．【详解】解:（1）∵、是等边三角形，∴，，．∴，
∴，∴，∴；（2）连接，∵、是等边三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，又点在处时，，点在A处时，点与重合．∴点运动的路径
的长；（3）取中点，连接，∴，∴，∵，∴，∴，∵、是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，又点在处时，，点在处时，点与重合，∴点
所经过的路径的长；（4）连接CG ,AC ，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，∵四边形ABC
D为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，由勾股定理即，∴，点G所经过的路径长为长=，点H在以BC中点为圆心，BC长
为直径的弧上运动，点H所经过的路径长为的长度，∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动圆周的四分一，点H所经过的路径长为的长=，故答
案为；．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性
质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．36．（2021·四川遂宁）已知平面直角坐标
系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．例如：求点P（1
，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线
y＝2x＋1的距离为：．根据以上材料，解答下列问题： （1）求点M（0，3）到直线的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝
4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，【解析】
【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长．【详解】解：（1）
∵y＝x＋9可变形为x－y＋9＝0，则其中A＝，B＝－1，C＝9，由公式可得 ∴点M到直线y＝x＋9的距离为3， （2）由（1
）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4，∵d＜r ∴直线与圆相交，则弦长，【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，
垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运用圆的相关性质进行推理和计算．37．（2013·贵州六盘水）（1）观察发现如图（1）：
若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交
点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，
在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点
P，故BP+PE的最小值为 ．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P
，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别
在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【答案】解：（1）．（2） ．（3）见解析【解析】【
详解】分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值：∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥A
B，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1．∴CE=BE=．（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、O
E、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值：∵BE⊥CD，∴CD平分
BE，即点E与点B关于CD对称．∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°．∴∠EOC=30°．∴∠AO
E=60°+30°=90°．∵OA=OE=1，∴AEOA=．∵AE的长就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是．（3）拓展延
伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N．则点M，点N，使PM+PN的值最小．解：（
1）观察发现：．（2）实践运用：如图，过B点作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，则点P 即为使BP+
AP的值最小的点．?BP+AP的最小值是．（3）拓展延伸：作图如下：?38．（2020·内蒙古呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆
之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为O，与交于点H，、与分别交于点M
、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出的形状
；（2）求证：，且其比值；（3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值．【答案】（1）见解析，△ABN为等腰
三角形；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE=∠BAC=36°，即AM
=BM，再求出∠BNA=72°=∠BAD，得出结论；（2）证明△BAM∽△BEA，得到，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，A
B=AE=BN=x，证明，得到，设=t，求出t值即可；（3）根据题意求出∠MAH=∠NAH=∠MAN=18°，再根据sin∠MAH
=，将代入，即可求值.【详解】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，在正五边形中，∠AOE=360°÷5=72°，∴∠ABE=∠A
OE=36°，同理∠BAC=×72°=36°，∴AM=BM，∴△ABM是是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD=∠BOC+∠CO
D=72°+72°=144°，∴∠BAD=∠BOD=72°，∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°，∴AB=NB，即△A
BN为等腰三角形；（2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB=∠AOB=36°=∠BAM，∴△BAM∽△BEA，∴，而AB=BN，∴，设
BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，∴，即，则，两边同时除以x2，得：，设=t，则，解得：t=或（舍），∴；（3）∵∠MAN=36°，根据对称性
可知：∠MAH=∠NAH=∠MAN=18°，而AO⊥BE，∴sin 18°=sin∠MAH===.【点睛】本题考查了正多边形与圆，
圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是算出相应角度，找到合适的相似三角形.39．（2020·
江苏盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为厘米，长为厘米，阴影部分是边长为厘米的正方形雕刻模具，
刻刀的位置在模具的中心点处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图，对于中的木门，
当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但
当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如
此雕刻一周，请在图中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．【答案】（1）；（2）雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为【解析】【分析
】（1）过点作求出PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；（2）如图，过P作PQ⊥CD于Q，连接PG,先利用等
边三角形的性质求出PQ、PG及∠PGE，当移动到点时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结
合图形可求得所得图案的周长．【详解】如图，过点作垂足为是边长为的正方形模具的中心，同理：与之间的距离为与之间的距离为与之间的距离为
．答：图案的周长为．如图，连接过点作，垂足为是边长为的等边三角形模具的中心，．当三角形向上平移至点与点重合时，由题意可得：绕点顺时
针旋转使得与边重合绕点顺时针旋转至．同理可得其余三个角均为弧长为的圆弧，图中的虚线即为所画的草图，∴．答：雕刻所得图案的草图的周长
为．【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30o角的直角三角形、图形的周长等知识，解答的关键是熟练掌握图形平移
和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和计算．40．（2020·陕西）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线
段CE相等的线段是_____．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线
交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心
”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，B
D．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其
余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发
现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．【答案】（1）CF、DE、D
F；（2）CF＝6﹣2；（3）① y＝﹣x2+35x+1225；② 576m2．【解析】【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，
即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形
PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝4 ，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF
+BF，即可得出结果；（3）① 同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝
90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB
＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝ PA′?PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35 ，S△AC
B＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；② 当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB
中，由勾股定理得A′B＝ ＝＝50，由S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P，求PF，即可得出结果．【详解】解：（1）∵∠ACB
＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CED
F是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，，∴∠APB＝
90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB
＝AB?cos∠ABP＝8×cos30°＝8× ＝4 ，在Rt△CFB中BF＝＝ ＝ ＝CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+B
F，即：4＝CF+CF，解得：CF＝6﹣2；（3）①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠
BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点
P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF
＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC
＝AB＝×70＝35，∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x
2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B
＝ ＝＝50，∵S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P，∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF
2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．【点睛】本题是关于圆的综合题，主要
考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算
等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．41．（2020·江苏连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐
代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距
离水面的高度长为，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．?（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点
？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多
长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒【解析】【分析】（1）先根据筒车筒车
每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定，最后再计算出所求时间即可；（2）先根据时间和速度计算出，进而得出，最
后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒距离水面的高度；（3）先确定当在直线上时，此时是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再
计算出时间即可．【详解】（1）如图1，由题意得，筒车每秒旋转．连接，在中，，所以．所以（秒）．答：盛水筒首次到达最高点所需时间为2
7.4秒． ??（2）如图2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时．所以．过点作，垂足为，在中，．．答：此时盛水筒距离水面的高度． （3
）如图3，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点．连接，所以．在中，，所以．在中，，所以．所以．所以需要的时间为（秒）
．答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒恰好在直线上．【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量
关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．42．（2020·山东德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．
连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据
以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________．（2）
在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标……P的坐标……猜想：（3）请根据上述表格中
P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．验证：（4）设点P的坐标是
，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的
取值范围．【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）【
解析】【分析】（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；（2）根据第（1）的作图方法，得到相
应点P的位置，即可求解；（3）用平滑的曲线作出图象，即可；（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得
到答案；（5）连接，由题意得当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°，的外接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解．【
详解】解：（1）?线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（2）M的坐标……P的坐标……（3）草图见图2：形状：抛物线（4
）如图1，过点P作轴于点E，，，在中，即化简，得∴y关于x的函数解析式为．?（5）连接，易得，又∴为等边三角形，∴当时，在的外接圆
上，弧所对的圆心角为60°其圆心在的垂直平分线y轴上，∴的外接圆圆心为坐标原点O，设，则，即?①又点D在该抛物线上∴?②由①②联立
解得：（舍去）数形结合可得，当时，点D的纵坐标的取值范围为【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解
题关键是：熟练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆．43．（2021·江苏常州）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面
积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中
点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用
含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记
．①当时，__________；当时，________；②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的
图形，并说明你的猜想成立．【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解【解析】【分析】（1）①先证明
，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；（2）①把m，n的值直
接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形
的面积表示，进而即可得到结论．【详解】解：（1）①∵，∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，又∵∠AD
C=∠CDB=90°，∴，∴，即：，∴，即：（负值舍去），∵E是的中点，∴==；②∵，，∴＞，即：＞．故答案是：＞；（2）①当时，
==，当时，==，故答案是：，1；②l的最小值是：1，理由如下：由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N
作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，===[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面
积+②的面积+③的面积 +④的面积）]= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④
的面积）+③的面积]=(1+1+1+1+③的面积)≥1，∴l的最小值是1．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和
性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．44．（2021·四川
达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形中，点，分别是
，上的两点，连接，，，则的值为__________；（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为________
__；【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；【拓展延伸】（
4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且．①求的值；②连接，若，直接写出的长度．【答案】（1）
1；（2）；（3）证明见解析；（4）①；②．【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角
形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出答案；（2）先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性
质即可得；（3）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得，再根据直角三角形的性质、对顶角相等可得，然后根据相似三角形的判定可得，
由此即可得证；（4）①如图（见解析），先证出，从而可得，再分别在和中，解直角三角形可得，，然后根据翻折的性质可得，最后利用的面积公
式求出的长，由此即可得出答案；②先根据（4）①中，相似三角形的性质可得，可求出，再根据翻折的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，
从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：（1）四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，；（2）四边形是矩形，，，，，，
在和中，，，；（3）如图，过点作交的延长线于点，∵，，∴，∴四边形为矩形，∴，，，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴；（4）①过作于点
，连接交于点，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在中，，，∴，在中，，设，则，∴，即，∴或（舍去），∴，，由翻折的性质得：，，∴，解
得，∴；②由（4）①已证：，，，，，解得，由翻折的性质得：，在中，，，在中，．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性
质、翻折的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（4）①，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．45．（2021·江
西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与相等的角是______；类比迁
移（2）如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间
的数量关系是_________；方法运用（3）如图3，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．①求证：；②连接，如图
4，已知，，，求的长（用含，的式子表示）．【答案】（1）∠DC；（2）AD2+DE2=AE2；（3）①见解析；②BD=．【解析】【
分析】（1）根据拼图可求得∠A=∠DC；（2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠ABC=90°，利用勾股定理即可
求解；（3）①由点O是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，得到∠O
AC+∠ADC =90，即可求解；②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，求得AC：AB：BC= 1：2：，
同理可得CE：DE：DC= 1：2：，证明△ACE△BCD，利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】（1）根据拼图可得：
∠A=∠DC；故答案为：∠DC；（2）作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，如图，∵∠ABC与∠ADC互余，
即∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90°，∴AD2+DE2=AE2；故答案为：AD
2+DE2=AE2；（3）①证明：连接OD、OC，∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点，∴OA=OD=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∠ODC=∠OCD，∠OAD=∠ODA，∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，即2∠OAC+2∠ADC =180，∴∠OA
C+∠ADC =90，∵∠OAC=∠ABC，∴∠ABC +∠ADC =90；②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连
接AE，∵∠ABC +∠ADC=90，∴∠ABC +∠CDF=90，∴AD2+DE2=AE2，即m2+DE2=AE2，∵∠BAC=
90，∴AC：AB：BC= 1：2：，同理可得CE：DE：DC= 1：2：，∴，∵∠CDF=∠ABC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠B
CD=∠ACE，∴△ACE△BCD，∴，∴AE=，在Rt△CDE中，，∴DE=，∴m2+()2=()2，即m2+2=，∴BD2=，
∴BD=．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．46．（2020·山东德州）问题探究：小红遇到这样一
个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；（2）AD的取值范围是________________________；方法运用：（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；（2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案；（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案；（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，AD是中线， 在与中， 故答案为：（2） 故答案为：（3）证明：延长至点，使，∵是的中线∴在和中∴，∴，又∵，∵，∴，又∵，∴∴，又∵∴（4）证明：延长至点使，连接、、∵G为的中点∴在和中∴∴在中，∵，∴又矩形中，∴，∴，∴，又，∴，∴，又为的外角，∴，即，∵，∴，∴，即，在和中，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵G为的中点，∴，即．【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．47．（2020·浙江宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【答案】（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE?FM＝．【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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