专题12 三角形 一、单选题1．（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用三
角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．【点睛】本题考查三角形的特
性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．2．（2022·广西玉林）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是(?)A．B．C．D
．【答案】D【解析】【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示，过点A作AO⊥BC，用刻度尺直接量得AO
更接近2cm，故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．3．（2022·江苏宿迁）若等
腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（?）A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13c
m【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边
关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（c
m），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm
或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，
还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．（2022·湖南邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成
三角形的是（?）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞
5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形
，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．（20
22·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（?）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．5，5，10【答案】C【
解析】【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】解：A、，不能组成三角形，此项不符题意；B
、，不能组成三角形，此项不符题意；C、，能组成三角形，此项符合题意；D、，不能组成三角形，此项不符题意；故选：C．【点睛】本题考查
了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．6．（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠
B=56°，则∠A的度数为（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．【详解
】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故选：A．【点睛】本题考查了直角
三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．7．（2021·四川宜宾）若长
度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（?）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三
边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符
合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．8．（2021·山东泰安）如图，直
线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（?）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】
根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和
∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m平分，∴∠6=∠7=45°；A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠
1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=
∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的
定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
9．（2020·山东淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（?）A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝
AED．∠ABC＝∠AED【答案】B【解析】【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝A
E，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，
D选项错误，B选项正确，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（2020·广东
深圳）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（?）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】根据尺规作图
的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，
故选B【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.11．（2020·福建）如图
，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（?）A．1B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意可以判断四个小三角
形是全等三角形,即可判断一个的面积是．【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE
,∴△DEF的面积是．故选D．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．12．（2020·四川
巴中）如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（ ）A．9B．8C．6D．7【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质可得到
，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．【详解】解：∵，AD平分，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴故
选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于
基础综合题．13．（2020·广西贺州）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A''C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C
''在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（ ）A．2B．4C．2D．4【
答案】A【解析】【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：∵，∴
，∴，，则在中，，故选：A．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质
是解题关键．14．（2020·四川广安）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2
的度数为（ ）A．210°B．110°C．150°D．100°【答案】A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠
ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°
－（∠AMN＋∠ANM）=210°故选A．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．15．（2
020·山东济南）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中
点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）A．B．3C．4D．5【答案】D【解析】【分
析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断M
A+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平
分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+
MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵∴∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是
线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．16．（2020·
山东烟台）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6
，则EF的长度为（?）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【答案】A【解析】【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据
三角形中位线定理求得EF的长度．【详解】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故选：A．【点睛】
本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．17．（2020·山东淄博）如图，在△
ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
?）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【解析】【详解】设EF＝x，
DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4
y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的
中线，∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AF
E＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4
y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2
+b2＝5c2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
18．（2020·湖南益阳）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根
据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD
=CD，∠ACD=∠A=50°∵平分∴∠ACB=2∠ACD=100°∴∠B=180°-100°-50°=30°故选：B．【点睛】本
题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．19．（2021·
广西河池）如图，，是的外角，，则的大小是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可．【详解】
是的外角，，，．．故选B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键．20．（2021·黑龙江哈尔滨）如图
，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意易得
，，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质
，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．21．（2021·广西贵港）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8
，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（
?）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．【详解】解：如图，
取的中点，连接，．，，，，，，，，，，的最小值为4，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键
是求出，的长，属于中考常考题型．22．（2021·辽宁本溪）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，
连接，若，则的周长为（ ）A．B．C．D．4【答案】C【解析】【分析】根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．【详解】平分,
,,点F为的中点的周长为:故选C．【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
23．（2022·青海）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（?
）A．5B．4C．6D．8【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题
意知线段是的中位线，则．【详解】解：在中，，，，．又为中线，．为中点，即点是的中点，是的中位线，则．故选：A．【点睛】本题主要考查
了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．24．（2022·辽宁大
连）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（
?）A．6B．3C．1.5D．1【答案】C【解析】【分析】由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，证明 再证明 可
得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，∴ ∵， ∴ ∴ 故选C【点睛】本题考查
的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明是解本题的关键．25．（2022·湖南）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与
的面积之和为（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可
得，从而求解．【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，，，，是等边三角形， ，∵，，，，与的面积之和为．故选：C．【点睛】本题主要考
查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．26．（2022·黑龙
江）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是
（?）A．2.5B．2C．3.5D．3【答案】A【解析】【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质
，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=
CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G
，连接EG，∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中点，∴S△AED
==6，∵G是AD的中点，∴S△EGD==3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP
=90°，∵F是CD的中点，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5
，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故选：A．【点睛】本题考查等腰三
角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．27．（2022·
四川乐山）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（?）A．B．3C．D．2【答案】C【解析】【分析】先根据
锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可
求出CD．【详解】解：在中，，，∴∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，∵，，∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,在中, ∴∵ ∴
故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．28．（2022·内蒙古包头
）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（?）A．
B．C．3D．2【答案】C【解析】【分析】如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案．
【详解】解：如图，过作于由， 结合旋转： 为等边三角形， ∴A到的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角
形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．29．（202
1·内蒙古鄂尔多斯）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于
点N、M，则线段的长为（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN
＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．【详解】解：∵∴AB=，∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC∴CN＝，
∵AN＝，∵折叠∴AM＝A''M，∠BCN＝∠B''CN，∠ACM＝∠A''CM，∵∠BCN+∠B''CN+∠ACM+∠A''CM=90°，
∴∠B''CN +∠A''CM＝45°，∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，∴∠NMC＝∠NCM＝45°，∴MN＝CN＝，∴A''M＝AM
＝AN?MN＝-=．故选B．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．二、填空题
30．（2022·云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；当∠A为三
角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性
质，此类题目，难点在于要分情况讨论．31．（2022·青海西宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△AB
C绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=________．【答案】【解析】【分析】根据已知可
以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠C′AE=45°，可以求出AC=AC′=EC′=3，据此即
可求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6，则∠BAC=60°，AC=3，BC=3，将△ABC
绕点A按逆时针方向旋转15°后，则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3，∴∠C′AE=45°，而∠AC′E=
90°，故△AC′E是等腰直角三角形，∴AC=AC′=EC′=3∴B′E= B′C′- EC′=33．故答案为：33．【点睛】本题
考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．32．（2021
·吉林长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为_______度．【答案】【解析】【分析】根据两直线平行
，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解．【详解】设交于点G故答案为．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外
角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．33．（2020·湖北）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13
，则的周长为______．【答案】【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．【详解】解： 是的垂直平分线．，
的周长 故答案为：【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．34．（2020·山东日照
）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．【答案】25°##25
度【解析】【分析】延长EF交BC于点G，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：如图，延长EF交BC于点G，∵直尺，
∴AD∥BC，∴∠2＝∠3＝65°，又∵30°角的直角三角板，∴∠1＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考
查平行线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．35．（2020·江苏常州）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、
F．若是等边三角形，则_________°．【答案】30【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的
性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴
∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题
的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.36．（2020·辽宁辽宁）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并
延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．【答案】2【解析】【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MN
BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位
线，∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（A
AS），∴CD=MN=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全
等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．37．（2021·新疆）如图，在中，，，分
别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．【答案】【
解析】【分析】由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．【详解】解：,,垂直平分
．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系
是解题的关键．38．（2021·山东聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连
接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．【答案】【解析】【分析】
由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别
为点D和点E，AD与CE交于点O，∴BF⊥AC，∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴，∴，∴CE：AD：BF=，故答案是：．【点睛】
本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．56．（2022·北京）如图，在中，平分若则____．【答案】
1【解析】【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故
答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．39．（2022·山东青岛）如图
，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）①②点E到的距离为3③
④【答案】①④##④①【解析】【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得，设，
则，根据，进而求得的值，根据，，可得，即可判断④【详解】解：∵∴，故①正确；如图，过点作于，于，，平分，，是的角平分线，，，，故②
不正确，.将沿折叠使点C与点E恰好重合，，设，则，中，，．，解得，故③不正确，设，则，，，，，，，解得或（舍去），，，，故④正确，
故答案为：①④【点睛】本题考查了解直角三角形，三线合一，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．40．（2022·河南）如图，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接
AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．【答案】或##或【解析】【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时
，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．【详解】如图，连接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根据题意可得，当
∠ADQ＝90°时，点在上，且，，如图，在中，，在中，故答案为：或．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的
性质，确定点的位置是解题的关键．41．（2022·青海西宁）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且
与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________．【答案】或【解析】【分析】分情况讨论：①当AP
=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再
由勾股定理求出底边AP即可．【详解】解：∵矩形ABCD∴∠A=∠B=90°，分两种情况：当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所
示：∵∠BAD=90°，∴PE==5；当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示：∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，
∴PB==4，∴底边AP=；综上，等腰三角形AEP的底边长是或【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角
形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．42．（2022·辽宁锦州）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对
应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．【答案】【解析】【分析】先证明 是等边三角形，再证明
，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从而求得的面积．【详解】解：如下图所示，设与交于点O，连接
和，∵点D为的中点，，∴,，是的角平分线，是，∴，∴∵，∴ 是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∵∵，∴∴，,∴ ．【点睛】本
题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键．43．（2022·广西贵港）如图，将绕点A逆时针
旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．【答案】【解析】【分析】先求出，由旋转的性质，得到，，则
，即可求出旋转角的度数．【详解】解：根据题意，∵，∴，由旋转的性质，则，，∴，∴；∴旋转角的度数是50°；故答案为：50°．【点睛
】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．44．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图①
，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有
景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）．【答案】370【解析】【分
析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解．【详解】解：
如图，延长交于点，连接，，，，，，是等边三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由阅读材料可得，路线的长比路
线的长少．故答案为：370．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．45．（2022·湖北
荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝____
__．【答案】【解析】【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．【详解】解： ， 如图
，连结 由作图可得：是的垂直平分线， 故答案为：【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式
的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．三、解答题46．（2022·贵州铜仁）如图，点C在上，．求证：．【答案】见
解析【解析】【分析】直接根据一线三垂直模型利用AAS证明即可．【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠A
CE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CD
E（AAS）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．47．（2022·吉林）如图，，．求证：．【
答案】证明见解析【解析】【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得．【详解】证明：在和中，，，．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．48．（2022·广西柳州）如图，点A，D，C
，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)请在上
述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△A
BC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．
求证：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)见解析【解析】【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌?DEF，即可解决问题；(
2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．(1)解：在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌
△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：①，SSS；(2)证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【点睛
】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．49．（2021·贵州铜仁）如图
，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结
论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）（1）你选的条件为____________、_____
_______，结论为____________；（2）证明你的结论．【答案】(1)，，；(2)见解析【解析】【分析】(1)选择，作
为条件，可得到结论；(2)利用对顶角相等，得到，再由角角边证明△AOC≌△BOD即可．【详解】解：(1)选择的条件为，，需要证明的
结论为：；(2)由对顶角相等可知：，在△AOC和△BOD中， ，∴△AOC≌△BOD(AAS)，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的
判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形的判定方法是解决本题的关键．50．（2021·广西柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距
离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就
是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在和中，∴∴____________【答案】，，，【解析】【分析】根
据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．
【详解】证明：在和∴∴【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关
键．51．（2020·四川广安）如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，AB=5个单位长度，BC=6个单位
长度．用这两个三角形来拼成四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（每个小正方形的边长均为1个单位长度，所画四边形全等视为同一种情
况），并直接在对应的横线上写出该四边形两条对角线长度的和． 【答案】作图和对应的四边形两条对角线长度的和见解析【解析】【分析】
根据三线合一即可求出BD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，然后根据拼成不同的四边形分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理结合
网格分别求出对角线的长即可求出结论．【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，AD是BC边上的高，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度
∴BD=BC=3个单位长度∴AD=个单位长度①按如下图所示拼成的四边形，∴一条对角线AC=4个单位长度，另一条对角线BC=个单位长
度∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度故答案为：个单位长度；②按如下图所示拼成的四边形， ∴一条对角线AB=5个单位长度，另一
条对角线CD=5个单位长度∴该四边形两条对角线长度的和为10个单位长度故答案为：10个单位长度；③按如下图所示拼成的四边形，∴一条
对角线BD=3个单位长度，另一条对角线AC=个单位长度∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度故答案为：个单位长度．④按如下图所示
拼成的四边形，一条对角线BD=个单位长度，另一条对角线AC=2×=个单位长度∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度故答案为：个单
位长度．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理与网格问题和四边形的拼法，掌握三线合一、利用勾股定理求网格中线段的长是解题关
键．52．（2020·广西柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．求证：△AOC≌△BOC
．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【详解】证明：∵OC平分∠MON，∴∠A
OC＝∠BOC，在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS）．【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定．全等
三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，H.L．53．（2020·辽宁鞍山）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，
求证：．【答案】见解析【解析】【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=
CD．【详解】解：连接AC，∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠
D=90°，∴CB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．54
．（2020·吉林）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接．求证：．【答案】证明见详解【解析】【分析】根据S
AS即可证得．【详解】证明：∵，∴∠A=∠EDB，在△ABC和△DEB中，，∴（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练
掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．55．（2022·青海西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察
】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将
多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函
数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将因式分解；【挑战】(2)请
用分组分解法将因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的
直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信
息，先将因式分解，再求值．【答案】(1)(2)(3)，9【解析】【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式
，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因
式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．（1）解：；（2）解：；（3）解：，∴根据题意得，，∴原式．【点睛】此题主要
考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．56．（2022·甘
肃兰州）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B
点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程
，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm00.5
11.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你
通过计算，补全表格：______；(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；(3
)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．(4)解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果
保留两位小数）【答案】(1)3.2(2)答案见解析(3)y随x的增大而减小(4)1.67【解析】【分析】（1）先求出AB边上的高，
进而求出AM''，判断出点M与M''重合，即可得出答案；（2）先描点，再连线，即可画出图像；（3）根据图像直接得出结论；（4）利用表格
和图像估算出AM的长度．(1)解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，过点C作CM''⊥AB于M，
∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CM''，∴CM''＝，在Rt△ACM''中，根据勾股定理得，AM''＝，当a＝1.8时，点M与点M''重合
，∴CM⊥AB，∵BN⊥CM，∴点M，N重合，∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，故答案为：3.2；(2)解：如图所示，(3)解
：由图像知，y随x的增大而减小，故答案为：y随x的增大而减小；(4)解：如图，直线OD的解析式为，借助表格和图像得，当BN＝2AM
时，AM的长度大约是1.67cm，故答案为：1.67．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是
解本题的关键．57．（2022·山东青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在和中，分别是和边上
的高线，且，则和是等高三角形．【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积．则，∵∴．【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，
则__________；(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；(3)如图
③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．【答案】(1)(2)；(3)【解析】【分析】（1）由图可知和是等
高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；（3）根据
，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．(1)解：如图，过点A作AE⊥BC，则，∵AE=AE，∴．(2)解
：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．(3)解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【点睛】本题主
要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．58．（2021·贵州黔西）如图
1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）
求证：BD＝CE；（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确
，请给出证明；若不正确，请说明理由．【答案】（1）见解析；（3）正确，见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠
DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE；（2）过A作BD，CF的垂线段
分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠A
FB＝∠AFE＝60°【详解】解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵
∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝C
E，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE则∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝1
20°，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面积相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键．59．（2021·广西河池）如图，是的外角．（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若，求证：．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）正确地利用尺规作出AE即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.【详解】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；（2）∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，∵AE是∠CAD的角平分线，∴∠CAE=∠EAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC.【点睛】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.60．（2021·贵州黔东南）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．【探究发现】（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；【拓展迁移】（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝，∵∠ADC＝∠ABC＝，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，（2）①AD＋AB＝AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE，∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝，又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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