专题10 二次函数 一、单选题1．（2022·青海西宁）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC
上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】【
分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A
向BC作AH⊥BC于点H，根据相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(
x-)2+，故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似
三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．2．（2022·广东广州）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（?）A．B．
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而减小【答案】C【解析】【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交
点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．【详解】抛物线开口向上，因
此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧
，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【点睛】本题
考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．3．（2022·黑龙江绥化）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一
次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据的函数图象可知，，，即可确
定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则，∴一次
函数图象经过一、二、三象限，二次函数的图象，当时，，反比例函数图象经过一、三象限结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系
中的图象大致是B选项故选B【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键
．4．（2022·湖北武汉）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（?）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三
、四象限D．第二、三、四象限【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n
的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的
图象经过二、三、四象限，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键
是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．5．（2021·辽宁阜新）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的
是（?）A．B．点A的坐标为C．当时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即
可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确∵∴A点坐标为（-3，0），故B
错误；由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式
的特点．6．（2021·湖北襄阳）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根
据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．【详解】解：观察一次函数图像
可知，∴二次函数开口向下，对称轴，故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与
坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．7．（2021·江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二
次函数的图象可能是（?）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴，∵次函数的图象经过一、三、四象限，∴，，对于二次函数的图象，∵，开口向上，排除A、B选项
；∵，，∴对称轴，∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象
经过的象限，找出，，是解题的关键．8．（2020·内蒙古呼伦贝尔）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角
坐标系内的图象可能是（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下
可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．【详解】
解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数
的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关
键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．9．（2020·甘肃天水）若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大
致是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比
例函数的图像特点确定答案．【详解】解：∵抛物线开口向上∴＞0∵抛物线对称轴＞0∴b＜0∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上∴c＞0∴当
＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限；当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限．故选B．【点睛】本题考查了一次函数、
二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．10．（2020·湖北襄阳）二次函
数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（?）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【
解析】【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对
称轴为直线x＝?，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线
与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④
错误．【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，∴a＞0,c＜0∴ac＜0故①正确；②∵抛物线的对称轴是x=1，∴∴b=-2
a∵当x=-1时，y=0∴0=a-b+c∴3a+c=0故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解∴∴
故③正确；④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．故④错误所以正确的答案有①、②、③共3个故选：B【
点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．11
．（2020·安徽）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．
在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（?）A． B． C． D． 【答案】A【解析】
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右
移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x
··=,B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为y=(4－x)··=,两个三角形重合时面积正好为.由二次函数
图象的性质可判断答案为A,故选A.【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出
结论.12．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度?②向右平移1个单位
长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度?④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(?)A．
1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数向右平移2
个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得
：，所以该平移方式符合题意；③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；④将二次函数沿x轴翻折，
再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．【点睛】本题主要考查二次函
数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．13．（2022·甘肃兰州）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x
的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需
要熟练掌握二次函数的图像与性质．14．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移
2个单位长度，所得函数的解析式为（?）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D．【点睛】本题考查了抛物线的平移
规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．15．（2022·贵州铜仁）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A
与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大
致为（?）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．【详
解】如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1，∴ 当移动的距离为时，在内，，当E在B的右边时，如下图所示，设移动过
程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，根据题意得AD=x，AB=3,∴DB=AB-AD=3-x，∵，，∴是等边
三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，∵当时，，当时，，故选：C．【点睛】本题考查图形移动
、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．16．（2022·辽宁锦州）如图，四边形是边长为的正
方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P
运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（?）A．B．C．D．【答案
】D【解析】【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，
点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长
为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题
考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．17．（2022·山东烟台）二次函
数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc
＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A．
①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解析】【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后
将由对称可知a＝b，从而可判断答案．【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意
可知：＝，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符
合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不
相同的解，故④不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，
本题属于基础题型．18．（2022·四川广安）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0）
，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（
，y3）是抛物线上的三点，则y1 次函数的图象与性质一一判断即可．【详解】解：由图像可知，开口向上，图像与y轴负半轴有交点，则，，对称轴为直线，则，∴，故①正确；当
时，，∵，∴，即∴，故②正确；∵对称轴为直线，∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），∴，∵，两式相加，则，∴，故③错误；∵，，，∴
，∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；∴正确的结论有3个，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象及性
质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．19．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，若．则的值为（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利
用根与系数的关系知，最后得出答案．【详解】设 ，，，∵二次函数的图象过点，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根据根与系数的关系知，∴，
故 故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想
是解题关键．20．（2022·四川达州）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，
都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（?）A．2B．3C．4D．5【答案】A
【解析】【分析】根据图象可判断，即可判断①正确；令，解得，根据图得，，即可求出a的范围，即可判断②错误；由代入变形计算即可判断③错
误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性
可知⑤错误．【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，，，，故①正确；令，解得，由图得，，解得，故②正确
；，可化为，即，，若成立，则，故③错误；当时，随的增大而减小，，，对称轴为直线，时与时所对应的值相等，，故④错误；（，k为常数）的
解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标，则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，根据抛物线的对称性可知，当有3个或4个交
点时，（，k为常数）的所有解的和是4，当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2，故⑤错误；综上，正确的个数为2，
故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解
题的关键．21．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（?）A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】【
分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b-a=1，∴
b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2
时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5
是解题的关键．22．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值
为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小
．其中正确的结论有（?）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，∴ ∴故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x
=-1时， ∴∴，∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，∴<<2∴<4+a<2∴，故②正确；∵抛物线与x轴有两
个交点，∴ ∴，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根，∴ ∴，故④错误；由图象可得，当x>-1时，
y随x的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函
数的图象与性质是解答本题的关键．23．（2021·山东日照）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线
上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解
析】【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线
开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．【详解】解：①抛物线图象开口向上，，对称
轴在直线轴左侧，，同号，，抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．②，当时，由图象可得，当时，，由图象可得，，即，故②正确．③，，，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B
．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．24．（2021·黑龙江牡丹江）如图，抛
物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．
下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（?）A．1B．2C．3D．4【答案】B【
解析】【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0，∵
抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），∴对称轴x=，∴b=-2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和
（0，﹣2）之间∴-3＜c＜-2＜0，∴0；故①正确；∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一
个交点（-1，0），∵b=-2a∴c=，∴-3＜＜-2，∴﹣2＜b，故②错误；∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∴a-b+c=
0，∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c
﹣a＞2（a+b+c），∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），∴a+b+c=n，∴2c﹣a＞2n；故④错误；故
选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物
线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物
线与y轴交于（0，c）．25．（2021·辽宁丹东）已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时
，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（?）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易得，则有，进而可
判定①②，当x=1时，则，当x=-1时，则有，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④
；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵，∴两式相减得，两式相加得，∴，∵，∴，故①正确；∴，故②正确；∵当x=1时，则
，当x=-1时，则有，∴当时，则方程的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物
线的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∴当时，有最小值，即为，故④正确；联立抛物线及直线可得：，整理得：，∴，∴该抛物线与
直线有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键
．26．（2020·四川眉山）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（?）A．B．C．D．
【答案】D【解析】【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且
当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．【详解】解：∵图象与x轴有交点，∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0解
得a≥-2；∵抛物线的对称轴为直线抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，∴a≤3，∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．故选：D
．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．27．（2020·辽
宁丹东）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有
以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（?）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案
】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=??＞0，∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），∵＜
，∴y1＜y2，故②正确，③∵?=2，∴b=-4a，∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，∴c=-5a，∵2＜c＜3，∴2＜-5a
＜3，∴，故③正确④根据抛物线的对称性可知，AB=6，∴，假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），设抛物线的解析式为y
=a(x+1)(x-5)，则a=-， ∴y=-(x-2)2+∵＞3∴不可以是等腰直角三形．故④错误．所以正确的是②③，共2个．故选
：B．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．28．（2020·内蒙古呼和浩
特）关于二次函数，下列说法错误的是（?）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则B．当时，y有最小值C．对应的
函数值比最小值大7D．当时，图象与x轴有两个不同的交点【答案】C【解析】【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求
出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式
，根据a值判断判别式的值，即可判断D.【详解】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：=，若过点（4
，5），则，解得：a=-5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当时，y有最小值，故选项正确；C、当x=2时，y=a+16，最小值为a
-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个
不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基
本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.二、填空题29．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将
抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．【答案】【解析】【分析】先把抛物线配方为
顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点为（-1，
-2），将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即．∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．30．（2022
·江苏无锡）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一
个公共点，那么m应满足条件：________．【答案】m>3【解析】【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移
后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1
），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．【点睛】本题考查
了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．31．（2022·江苏连云港）如图，
一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________
．【答案】4【解析】【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．【详解】解：当时，，解得：或，结合图形可知：，故答案为：
4【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．32．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=
2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】或（答出这两种形
式中任意一种均得分）【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=
2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线
y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+
1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．33．（2022·辽宁）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随
x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）【答案】①②##②①【解析】【分析】根据二次函数
的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab
＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确； ③与x轴交于点和点，则对称轴，故
，故③错误；④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．故答案为：①②．【点睛】本题考查了二
次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．34．（2021·贵州黔西）
小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5
t2＋12t，则足球距地面的最大高度是______m．【答案】##7.2【解析】【分析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由
公式可得答案．【详解】解：∵h=-5t2+12t，∴a=-5，b=12，c=0，∴足球距地面的最大高度是：=7.2m，故答案为：7
.2．【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，
利用 求出顶点纵坐标．35．（2021·四川巴中）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．
若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x
）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，
则实数a＝__________．【答案】5【解析】【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）
?（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，∴对于自变量取值范
围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）?（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，∴（10-2a）x
=0，可知10-2a=0，∴a=5，故答案为：5．【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x
）2+（a-5）?（-x）+1=ax2+（a-5）x+1．36．（2020·广西贵港）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条
抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线
的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．【答案】①②④【解析】【分析】根据抛物线图象
性质及配方法解题．【详解】将分别代入抛物线，，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故①正确；抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，可由
向右平移1个单位而得到，故②正确；抛物线的顶点为A抛物线的顶点为B抛物线的顶点为C，三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；将
分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，综上所述，正确的是①②④，故选：①②④．【点
睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．37．（2020·湖北
省直辖县级单位）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：
每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．【答案】
70【解析】【分析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．【详解】解：设降价x元，利润为W
，由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），故答案为：70．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用
，根据题意列出式子是解题关键．38．（2022·江苏盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是______
______．【答案】【解析】【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．【详解】解：点到轴
的距离小于2，，点在二次函数的图象上，，当时，有最小值为1．当时，，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌
握“二次函数的增减性”是解本题的关键．39．（2022·吉林长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为______
_．【答案】##【解析】【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论
：若；若，即可求解．【详解】解：，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，
函数值y最小，最小值为，不合题意，若，当时，函数值y最小，最小值为1，∴，解得：或（舍去）；综上所述，a的值为．故答案为：【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．40．（2022·山东烟台）如图1，△ABC中，∠A
BC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形B
DEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．【答案】【解析】
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，?BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决
问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，?B
DEF的面积为3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝，故答案为：．【点睛】本题
主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．41．（202
2·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所
示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）
．【答案】121【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据
二次函数的性质分析其最值．【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格
x（元/个）的函数解析式为，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，，∵1<0，∴当时，w有最大值为121，故答案为：12
1．【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．42．（20
22·内蒙古赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．【答案】（
0，1）【解析】【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点关于直线的对称点坐标．【详解】∵抛物线交轴于、两点，交
轴于点，∴当时，；当时，∴∴OA=OC=5∴∵是抛物线上的点∴，解得当时，与A重合；当时，；∴CD∥x轴，∴设点关于直线的对称点M
，则∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形∴DC=CM=6∴M点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查二次函数的
性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．43．（2022·福建）已知抛物线与x轴交于A
，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．【答案】8【解析】【分析】先求出抛物线与
x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。【详解】解： 把y=0代入得：，解得：，，把y=0代
入得：，解得：，，∵，∴，∴，即，，令，则，解得：，，当时，，解得：，∵，∴不符合题意舍去；当时，，解得：，∵，∴符合题意；综上分
析可知，n的值为8．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．44．（202
2·湖北武汉）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关
于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．【答案】①③④【解析】【分析】首先判断对称轴，
再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相
减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．【详解】解：抛物线
过，两点，且，，?，，即，抛物线开口向下，， ，故①正确；若，则，，，故②不正确； 抛物线，点，在抛物线上，∴，，把两个等式相减，
整理得， ，，，，，，故③正确；依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，，，，，，，?故④正确．综上所述，①③
④正确．故答案为；①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系
．45．（2021·辽宁沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用
品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．【答案】11【
解析】【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，则，所以
将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相
应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．46．（2021·贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0
，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0；③若该抛物线y＝ax
2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，
t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．【答案】①③④【解析】【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系
数之间的关系，再分别讨论每个问题.【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得： ，解得： ，∴抛物线解析式为 ．① ，则
，故①正确，符合题意；② ，又a＞0，∴ ，故②错误，不符合题意；③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一
元二次方程有实数根，则 ，∵a＞0，∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；④如图，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，
t≤0）的根为整数，一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3
，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．故答案为：①③④【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式
求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.47．（2021·贵州黔东南）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标
分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号
）【答案】②④⑤【解析】【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识
进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，所
以abc＜0，故①错误；对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；当x=-2时，y=4a-b+c
＜0，故③错误；当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；当x=-1时，y=a-b+
c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【
点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．48．
（2021·江苏无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B
两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：________．【答案】【解析】【分析】过点A作AN⊥y轴，过
点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(，)，进而即可得到答
案．【详解】解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，∴，∵，∴，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，设直
线AB的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，∴C(0，3a2)，∵P为的中点，∴P(，)
，∴，即：，故答案是：．【点睛】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题
的关键．49．（2020·四川巴中）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．
其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲
线的解析式为_________．【答案】【解析】【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点
B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+
1，求出a的值即可得出答案．【详解】解：记AB与y轴的交点为F，∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，∴FA＝FB＝FE＝1，∵OE＝2
，∴，则右侧抛物线的顶点B坐标为，将点代入得，解得，∴，当时，，解得，∴，则，设右侧抛物线解析式为，将点代入解析式得，解得，∴．故
答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式．50．
（2020·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为____
_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决
．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，，抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，设点的坐标为，则点的坐标为，，抛物线，解得，．【点睛
】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．51．（2020·湖北荆州
）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点
（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．【答案】或或【解析】【分析】将关联数为代入函数得到：，由题
意将y=0和x=0代入即可．【详解】解：将关联数为代入函数得到：，∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），∴y=0，
即，因式分解得，又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，即 ∴m=1，∴，与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，即坐标为或，与y
轴交点即x=0解得y=2，即坐标为，∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；故答案为：或或．【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元
二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．52．（2022·广西贵港）已知二次函数，图
象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确
结论的个数共有_______个．【答案】3【解析】【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另
一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【详解】∵抛物线的
对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，∴代入(-2,0)、(1,0)得：
，解得：，故③正确；∵抛物线开口朝下，∴，∴，，∴，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点，∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，∴方
程的判别式，故②正确；∵，∴，，∴，∵，，∴，即，故④正确；∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在时，y随x的
增大而减小，∵，∴，故⑤错误，故正确的有：②③④，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关
系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．53．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形
中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，
的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．【答案】【解析】【分析】根据题意以及函数图像可
得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相
关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．【详解】解：过点作，垂足为，在中，∵，，∴，∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，∴，在和中，∵，，∴，∴点在上运动时，为等腰直角三角形，∴，∴当点在上运动时，，由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），∴
，当时，过点作于点，如图：此时，在中，，，∴，，，∴，即，所以当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函
数的函数关系式是解答本题的关键．54．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）
与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒
到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_______
__．【答案】 【解析】【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．【
详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，∴ ，∴ ，解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；
当t=0时，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h
随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范围是，故答案为：．【
点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义
是解的关键．55．（2021·四川德阳）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为
_____．【答案】17【解析】【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线
只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．【详解】解：当直线经过点（1
，12）时，12=k-3，解得k=15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36
=0，∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值与最小值的和为15+2=17
．故答案为：17．【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．5
6．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分
别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．【答案】【解析】【分析
】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．【详解】解：将点代入抛物线中，解
得，∴抛物线解析式为，设CD、EF分别与轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-
MN=4-2x，此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，得到：，解得，(负值舍去)，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数
图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．57．（2021·四川南充）关于
抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间
；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________
．【答案】②③【解析】【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，
进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．【详解】解：联立，得，∴?=，当时，?有可能≥0，∴抛物线与直线有可能有交
点，故①错误；抛物线的对称轴为：直线x=，若抛物线与x轴有两个交点，则?=，解得：a＜1，∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y
随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，∵当a＜0
时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与
（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；抛物线的顶点坐标
为：，∵，∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成
的三角形区域内（包括边界），∴，解得：，故③正确．故答案是：②③．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程
的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．58．（2021·江苏连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分
别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖
时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，
那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264【解析】【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每
种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润
为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意： ∴∵ ∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为12
64元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．59．（20
20·四川内江）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当
时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写
所有正确结论的序号）【答案】②④【解析】【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．【详解】解：对于①：当时，，，显然只要，则
M的值为，故①错误；对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横
坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联
立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误；对于④：当时，函数，此时图像一
直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性
质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．60．（2020·湖北荆门）如图，抛物线与x轴交于点A、
B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则
方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,
b,c的正负情况，即可．②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．③利用图形的对称性，离对称轴越小，
函数值越大．④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．【详解】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x
=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．③
，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．④把点（3，-1）代入抛物线得 ，
即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称
性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来
解．61．（2020·湖北武汉）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：①一元二次方程的根为，；②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论是________
（填写序号）．【答案】①③【解析】【分析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的
对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数
解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线经过，两点一元二次方程的根为，，则结论①正确抛物线的对称轴为时的
函数值与时的函数值相等，即为当时，y随x的增大而减小又，则结论②错误当时，则抛物线的顶点的纵坐标为，且将抛物线向下平移个单位长度得
到的二次函数解析式为由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即恒成立则对于任意实数，总有，即，结论③正确将抛
物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为函数对应的一元二次方程为，即因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或对应的的值
只有三个，则结论④错误综上，结论正确的是①③故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象
的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．62．（2020·湖北咸宁）如
图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①
；②；③；④的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上）【答案】①②③【解析】【
分析】证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断①；在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF
，可判断②；可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠C
EF，可判断③；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④.【详
解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠BCD=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE
=90°，∴∠BAE=∠CEG，∴△ABE∽△ECG，故①正确；在BA上截取BM=BE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，
BA=BC，∴△BEM为等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵BA-BM=BC-BE，∴AM=CE，∵CF为
正方形外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°=∠AME，∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA），∴A
E=EF，故②正确；∴△AEF为等腰直角三角形，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，而∠BAE=∠CEF，
∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，∴，故③正确；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，S△AME=?x?（2-x）
=，当x=1时，S△AME有最大值，而△AME≌△ECF，∴S△AME=S△CEF，∴S△CEF有最大值，所以④错误；综上：正确结
论的序号是：①②③.故答案为：①②③.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方
形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题.63．（2020·四川乐山）我们用符号表
示不大于的最大整数．例如：，．那么：（1）当时，的取值范围是______；（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围
是______．【答案】 或【解析】【分析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取
值范围．（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．【详解】（1）因为表示
整数，故当时，的可能取值为0,1,2．当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．故综上当时，x的取值范围为：．（2）令，，，由题意可
知：，．①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．②当时，=0， 不符合题意．③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，
故当取值趋近于2时，，得，当时，，因为 ，故，符合题意．故综上：或．【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力
，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．三、解答
题64．（2022·山东青岛）已知二次函数y=x2+mx+m2?3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(
2)判断二次函数y=x2+mx+m2?3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【答案】(1)m=1(2)二次函数的图象与x轴有两个交
点，理由见解析．【解析】【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2?3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值
，进而得出答案．(1)解：∵二次函数y= x2+mx+m2?3图象经过点P(2，4) ，∴4=4+2m+m2?3，即m2+2m?3
=0，解得：m1=1，m2=?3，又∵m>0，∴m=1；(2)解：由（1）知二次函数y=x2+x?2，∵Δ=b2?4ac=12+8
=9>0，∴二次函数y=x2+x?2的图象与x轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△
的值是解题关键．65．（2022·江苏常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原
点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在
不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；(2)先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1
支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）
画出树状图，再由概率计算公式求解即可．(1)解：从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是；故答案为：；(2)解：画出树状图：共有6种
结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率
为．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质
．66．（2022·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过
点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达
式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B
的坐标．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题
意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．(1)依题意，顶点，设抛物线的函数表达式为，将代
入，得．解之，得．∴抛物线的函数表达式为．(2)令，得．解之，得．∴．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由
函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．67．（2020·黑龙江鹤岗）如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于
点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．（1）求的值；（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．【答案
】（1）；（2）存在，点的坐标为或或．【解析】【分析】（1）根据求出A,B,C的坐标，再由的面积是6得到关于a的方程即可求解；（2
）根据得到点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．【详解】（1）∵，令，则，∴，令，即解得，由图象知：∴，∵∴解得：，（舍去）；
（2）∵，∴，∵.∴点的纵坐标为±3，把代入得，解得或，把代入得，解得或，∴点的坐标为或或．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性
质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．68．（2020·山东青岛）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面
墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线
的函数表达式；（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗
户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）（3）根据市场
调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160
个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）
（2）500（3）n=620时，w最大=19200元【解析】【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；（
2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函
数的性质即可求解．【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）代入到得解得∴抛物线的函数表达式为；（2）由题意可知N点与M点的
横坐标相同，把x=1代入，得y=∴N（1，）∴MN=m，∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，则一扇窗户的价格为×50=75元因
此每个B型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20
000,∵一个月最多生产160个，∴100+20×≤160解得n≥620∵-2＜0∴n≥620时，w随n的增大而减小∴当n=620
时，w最大=19200元．【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．69．（202
0·广西贵港）如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为．（1）求该抛物线的表达式：（2）若直线与该抛物线的另一个交
点为，求点的坐标；（3）设动点在该抛物线上，当时，求的值．【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）的值为或-5【解析】【分析】（1
）将和，代入抛物线解析式即可；（2）过点作轴于点，而，轴，由相似三角形的判定与性质解题；（3）分类讨论，当点在轴上方时，或当点在轴
下方时，设直线AP与直线L的交点为M，结合全等三角形的判定与性质解题即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过和，∴，∴，，∴抛物线的表
达式为．（2）如图，过点作轴于点，而，轴．∴，则，∵，，设，∴，，又，∴，即，，（舍去），从而，∴点的坐标为．（3）①如图，当点在
轴上方时，设直线与交于点，∵，，∴是等腰直角三角形，，作轴于点，则，∴，，，∴，，，∴点的坐标为，∴直线的表达式为，又∵∴，解得，
（舍去）；②如图，当点在轴下方时，设直线与交于点，作轴于点，则，同理可得：点的坐标为，∴直线的表达式为，又，，解得，（舍去）；综上
所述，的值为或-5．【点睛】本题考查待定系数法解抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二元一次方程组的解
法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．70．（2020·山东济南）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1
，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线
的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3
）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．【答
案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分C
D＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；（3）根据S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．【详解】解：（1）将点A、B
的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；（2）当m＝1时，点
E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝
1；②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；（3）∵E（m，0），可设点M（m，﹣m2＋2
m＋3），设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，解得：，故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝
；S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON?xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m
＝﹣2±（舍去负值），经检验m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形
的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．71．（2020·山东日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩
形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积
相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2），见解析．【解析】【分析】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；（2）由
（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．【详解】解：（1
）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形ME
FN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴设BC的长度为xm，矩形区
域ABCD的面积为ym2，则，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出
函数关系式即可．72．（2020·辽宁朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售
单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1
）直接写出y与x的关系式_________________；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某
种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数
关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【答案】（1）；（2）当销售单价是75元时，最大日利润是2025元
；（3）70【解析】【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配
方法求得其最值；（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.【详解】（1）设解析式为，将和代入，可得，解得，所以y
与x的关系式为，所以答案为；（2） ，∴抛物线开口向下，函数有最大值∴当时，答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）当时，解得 ，∴有两种情况①时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当时，②时，在范围内，∴这种情况不成立，．【点睛】该题考
查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于
简单题目.73．（2020·辽宁阜新）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物
线于点N．?（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是
否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1
）；（2）①，②存在，【解析】【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；②分
MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．【详解】解：（1）把代入中，得 解得∴．（2）设直线的表达式为，把
代入．得，解这个方程组，得∴．?∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．?∴．?∵，∴此函数有最大值．又∵点P在线段上运动，且∴当时，有最
大值．?②∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．?∴（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）
∴MC= ∴整理得， ∵，∴，解得，，∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-
3-(-)=∴Q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ∵，∴，解得，，当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），当m=-
5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）综上所述，点Q的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（
2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗
漏．74．（2020·云南昆明）如图，两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线的最高点．（1）求抛物线的解析式
和点B的坐标；（2）点C是抛物线上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交于点D，当线段CD取最大值时，求．【答案】（1），；（2）
．【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据“点A为抛物线的最高点”可求出b的值，然后将点A代入可求出c的值，从而可得抛物线的
解析式，最后设点B的坐标为，代入可得一个关于m、n的方程组，求解即可得；（2）设点C的坐标为，从而可得点D的坐标和a的取值范围，再
利用二次函数的性质求出CD的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得．【详解】（1）对于抛物线当时，，解得或点A在x轴的负半轴上，∴
点∵点是抛物线的最高点∴抛物线的对称轴为，即解得把代入得：解得则抛物线的解析式为设点B的坐标为则，解得或∵∴答：抛物线的解析式为，
点B的坐标为；（2）设点C的坐标为，则点D的坐标为由题意得：整理得：由二次函数的性质可知，当时，CD随a的增大而增大；当时，CD随
a的增大而减小则当时，CD取得最大值，最大值为5，轴边CD上的高为则．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数
的图象与性质、二次函数的几何应用等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的性质求出CD的最大值是解题关键．75．（2020·山东烟
台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第
一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长
度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理
由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m＝1或【解析】【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0
）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2
﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解．【详解】解：（
1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐
标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达
式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式
为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝
﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则O
D＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即＝2或，解得：m＝1或﹣2（舍去）或或
（舍去），故m＝1或．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合
起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．76．（2020·山东威海）已知，在平面直角坐标系中，
抛物线的顶点为，点的坐标为（1）求抛物线过点时顶点的坐标（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛
物线与线段只有一个交点【答案】（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x?1；（3）?3≤m≤3且m≠1．【解析】【分析】（1）
根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；（3）把C（
0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，求得m＝1或?3，结合（1）根据图象即可求得．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2?2
mx＋m2＋2m?1过点B（3，5），∴把B（3，5）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，整理得，m2?4m＋3＝0，解得m1＝
1，m2＝3，当m＝1时，y＝x2?2x＋2＝（x?1）2＋1，其顶点A的坐标为（1，1）；当m＝3时，y＝x2?6x＋m2＋14
＝（x?3）2＋5，其顶点A的坐标为（3，5）；综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；（2）∵y＝x2?2mx＋m2＋2m?
1＝（x?m）2＋2m?1，?∴顶点A的坐标为（m，2m?1），∵点A的坐标记为（x，y），∴x＝m，∴y＝2x?1；（3）由（2
）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x?1上运动，且形状不变，由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），把C（0，2）代入y＝
x2?2mx＋m2＋2m?1，得m2＋2m?1＝2，解得m＝1或?3，所以当m＝1或?3时，抛物线经过点C（0，2），如图所示，当
m＝?3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，所以m的取值范围是?
3≤m≤3且m≠1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关
键．77．（2020·陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它
的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为
顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣4，
5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达
式，即可求解；（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛
物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，
解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，故点
A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），故OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时
，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，故n＝2
2+2×2﹣3＝5，故点P（2，5），故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（
﹣4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．【点睛】本题主要
考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．78．（2021·贵州黔
西）如图，直线l：y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2＋bx＋c相交于点A（0，m），B（n，7）．(1)填空：m＝ ，n＝ ，抛物
线的解析式为 ．(2)将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．(3)Q是抛物线上的一个
动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，3，y＝2x2﹣
4x＋1(2)0＜a(3)存在，P（1，0）或P（，0）【解析】【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m
、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函数解析式；（2）由题意可得y=2x+1-a，联立，得到2x
2-6x+a=0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；（3）设Q（t，s），则，半径，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2
，即可求t的值．(1)将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x＋1，可得m＝1，n＝3，∴A（0，1），B（3，7），再将A（0，
1），B（3，7）代入y＝2x2＋bx＋c得，，可得，∴y＝2x2﹣4x＋1，故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x＋1；(2)由题意
可得y＝2x＋1﹣a，联立，∴2x2﹣6x＋a＝0，∵直线l与抛物线C仍有公共点∴Δ＝36﹣8a≥0，∴a，∴0 AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：设Q（t，s），∴M（，），P（，0），∴半径r，∵AQ2＝t2＋（s﹣1）2＝（s＋1）2，
∴t2＝4s，∵s＝2t2﹣4t＋1，∴t2＝4（2t2﹣4t＋1），∴t＝2或t，∴P（1，0）或P（，0），∴以AQ为直径的圆
与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）或P（，0）． ,【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性
质是解题的关键．79．（2021·山东青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上
升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离
地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球
离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）求出与之间的函数关系式
；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）；（2）；（3）70米【解析】【分析】（1）
先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方
，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．【详解】解：（1）设y1与x之间
的函数关系式为y1=kx+b''，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则，解得，∴y1与x之间的函数关系式为．（2）∵时，，∵
的图象是过原点的抛物线，∴设，∴点，在抛物线上．∴，即，解得，∴．答：与的函数关系式为．（3）设小钢球和无人机的高度差为米，由得或
.①时，，∵，∴抛物线开口向下，又∵，∴当时，的最大值为；②时，，∵，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线，∴当时，随的增大而增大，
∵，∴当时，的最大值为70．∵，∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用
，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．80．（2021·四川内江）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物
线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积
最大时点的坐标及该面积的最大值；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积
的最大值为，．（3）的坐标为或．【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．
设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=?（xD-xA）?PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面
积最大，求出PE的最大值即可．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠
ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′
的解析式即可解决问题．【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点，设抛物线的解析式为，解得，，或，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为
，直线经过、，设直线的解析式为，则，解得，，直线的解析式为；（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．，的值最大值时，的面积最大，，
，时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，，直线的解析式为，
，作点关于的对称点，则直线的解析式为，设交轴于点，则，，综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二
次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特
殊三角形解决问题．81．（2021·甘肃兰州）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2
）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．①当点在抛物线上时，求点
的坐标；②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或．【解析】【分析】（1）根据点
的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得
，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解
析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而
可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．【详解】（1）二次函数的图象经过解得（2）由，令解得当时，,则；（3）如图，当点在
轴下方时，过点作于点，由，令，解得，，将线段绕点逆时针旋转90得到线段，，，设，点在抛物线上，解得（舍）当点在轴上方时，如图，过点
作于点，设同理可得点在抛物线上，解得（舍去），综上所述，或；②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，平分，，，,，当不平
行于轴时，重合，， 当轴时，如图，此时则综上所述，当平方时，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与
坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．82．（2021·湖南湘潭）如图，一次函数图象与坐标轴交于点
A、B，二次函数图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线
上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式
为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．【解析】【分析】（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，
求出b，c坐标即可；（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求
解即可．【详解】解：（1）对于：当x=0时，；当y=0时，，妥得，x=3∴A（3，0），B（0，）把A（3，0），B（0，）代入得
： 解得， ∴抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为直线 故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，∵B，C
关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ∴PQ⊥x轴∵点P在x=1上
，∴点Q也在x=1上，当x=1时，∴Q（1，）；②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，∴BC//PQ，且BC=PQ∵BC
//x轴，∴令，则有解得， ∴ ∴PQ=BC=2∵ ∴PB=BC=2∴迠P在x轴上，∴P(1,0)∴Q(3，0)；若点Q在点P的左
侧，如图， 同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）【点睛】本题考查的知识点有用待定系数法求
出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．83．（2021·黑龙江牡
丹江）抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0
）的顶点坐标（）【答案】（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法构
建方程组即可解决问题；（2）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数表达式，设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜
0），结合已知可得AE=2CE或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2或2(x+3)2=8，得出点E的坐标，再求出直线DE的
解析式即可得出点Q的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3
），∴，解得：；∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， ∴顶点D（-1，4）．（2）
设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：；解得：，∴直线AC的函数表达
式为y=x+3．设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），∵直线AC将△ADC的面积分成1：2的两部分，且△ADE和△CDE等
高，∴AE=2CE或CE=2AE，∵∴或∴2(x+3)2=2或2(x+3)2=8∴x=-2或-4或-1或-5∵-3＜x＜0∴x=-
2或-1∴点E的坐标为（-2，1）或（-1，2）当点E的坐标为（-2，1）时设直线DE的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将E（
-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，得：；解得：，∴直线AC的函数表达式为y=3x+7．当y=0时，∴点Q的坐标为（，0）
当点E的坐标为（-1，2）时，∵D（-1，4），∴直线DE//y轴，点Q的坐标为（-1，0）∴点Q的坐标为（-1，0）或 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标
特征，解题的关键是：由直线AC将△ADE的面积分成1：2的两部分，找出关于x的一元二次方程．84．（2022·甘肃兰州）掷实心球是
兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m
）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．(1)求y关于x的函数表达式；(2)
根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满
分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】(1)y关于x的函数表达式为；(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见
解析．【解析】【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩
就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．(1)解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴设，∵经过点(0
， )，∴解得∶∴，∴y关于x的函数表达式为；(2)解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数，当y=0时，有∴，解
得∶， (舍去)，∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法
求出二次函数的解析是是解题的关键．85．（2022·广东广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接B
D ．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，①当CE丄AB时，求四边
形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理
由．【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12【解析】【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即
可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN
-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是
△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到
最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．(1)解∶连
接AC，设AC与BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BA
D = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；(2)解：如图，过
点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，对角
线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN
=BE∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD?MN=，∴S△ABD= S菱形ABCD=
，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF ?EM= =，记四边形ABEF的面积为s，∴s= S△ABD - S△DEF =-（
），∵点E在BD上，且不在端点，∴0 此时 =，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD
上，∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°
，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，∵BE=DF，∴D
F=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴C
E+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角
形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的
关键．86．（2022·湖南郴州）如图1，在中，，，．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（
或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不
同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.511.522.533.54变量h（cm）00.511.52
1.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵
坐标，描点如图2-2．根据探究的结果，解答下列问题：①当时，________；当时，________．②将图2-1，图2-2中描出
的点顺次连接起来．③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）A．变量h是以a为自变量的函数 ?B．变量a是以h为自变
量的函数(2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s．①分别求出当和时，s关于a的函数表达式；②
当时，求a的值．【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A(2)①当时，；当时，；②或【解析】【分析】（1）①根据题意，对照变
量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；（2） ①如图，当时，，
得到阴影部分是三角形ADE的面积:；当时，，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积：．②当时，令，解得a；当时，令，解得a即可求解
；(1)解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当时，1.5；当时，1或3．故答案为：1.5；1或3；②连线如图2-1、图2
-2所示：③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，
那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合，故选：A.(2)①如图3，当时，，∴阴影部分的面
积：；当时，，∴阴影部分的面积：．∴当时，；当时，．②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）．当时，令，解得或（不符合题意，含去）．
∴当时，或．【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键
．87．（2022·广东深圳）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．(1)的值为?；(
2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则?（填“”或“”或“”）
【答案】(1)(2)图见解析，和(3)或【解析】【分析】（1）把点代入即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据
交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q
两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．(1)解：当时，，∴．(2)平移后的图象如图所示：由题意得：，解得，当时，，则交点坐标
为：，当时，，则交点坐标为：，综上所述：与的交点坐标分别为和．(3)由平移后的二次函数可得：对称轴，，∴当时，随x的增大而减小，当
时，随x的增大而增大，∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，综上所述：点在新函数图象上
，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的
性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．88．（2022·广西）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点
，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F (1)求抛物线的表达式；(
2)求证：∠BOF＝∠BDF ：(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【答案】(1)(
2)见解析(3)存在，或【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，直接利用待定系
数法求解即可；（2）由正方形的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质即可求证；（3）分别讨论：当点M在线段BD的延长线上时，当点
M在线段BD上时，依次用代数法和几何法求解即可．(1)设抛物线的表达式为，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，得，解
得，抛物线的表达式为；(2)四边形OBDC是正方形，，，，；(3)存在，理由如下：当点M在线段BD的延长线上时，此时， ，设，设直
线OM的解析式为，，解得，直线OM的解析式为，设直线BC的解析式为，把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，解得，直线BC的解析式
为，令，解得，则，，四边形OBDC是正方形，，，，，，解得或或，点M为射线BD上一动点，，，，当时，解得或，，．当点M在线段BD上
时，此时，，，，，由（2）得，四边形OBDC是正方形，，，，，，，，，；综上，ME的长为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数
解析式，求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键．89．（2022·黑龙
江齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）． (1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛
物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交
线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【答案】(1)(2)（1，2）(3)(4)【解析】【分析】（1）
将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求
解；（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．(1)解：将A（-1，0），B（4，5）
代入得， ，解这个方程组得，抛物线的解析式为：；(2)解：如图，设直线AB的解析式为：，把点 A（-1，0），B（4，5）代入，得
，解得 ， 直线AB的解析式为： ，由（1）知抛物线的对称轴为， 点C为抛物线对称轴上一动点，， 当点C在AB上时，最小，把x=1
代入，得y=2，点C的坐标为（1，2）；(3)解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1设，则，则，当时，DE有最大值为，
(4)解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1， 直线与y轴的交点为D（0，1）， ， ，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正
方形，分情况讨论：①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1
）；②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；③延长到使，作于点，则四边形是正方形
，则的坐标为（1，4）；④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为， 综上所述，点N的坐标为：【点睛】本题考查了用待定系数法求一次
函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．90．（2022·四川广安）如图，在平面直角
坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此
抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【答案】(1
)(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，【解析】【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代
入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此
时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：
，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在
直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．(1)解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为：
．(2)向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，∵时，，
，∴A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直线AB关系式为：，设
直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，∴，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，
，∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；(3)①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将
A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直线解析式为：，∵抛物线对称轴为：x=-1，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，3）
；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，∴PA所在直线解析式为：，∴当x=-
1时，，∴P点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，∵PA⊥
PB，∴=-1，解得：，，∴P点坐标为：，综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．【点睛】
本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．91．（2022·北京）单板滑雪大跳台是北京冬
奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到
着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运
动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.
7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距
离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或
“<”）．【答案】(1)23.20m；(2)【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高
度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和
第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，
，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，∴函数关系关系式为：．(2)设着陆点的
纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第二
次训练时着陆点的水平距离，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为
，用t表示出和，是解题的关键．92．（2022·内蒙古赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽
的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池
2）．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函
数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围
是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是
_________，此时的值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；(4)在
范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；(5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3
的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．【答案】(1)；9(2)C，E；1，4；(3)或(4
)(5)【解析】【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；（3）
观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（5）根据面积相等列出一元二
次方程，依据，求出b的值即可．(1)∵∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，∵水池2的面积随长度的增加而减小，∴长度的取
值范围是；水池2面积的最大值是9； 故答案为：；9；(2)由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；联
立方程组 解得，∴x的值为1或4，故答案为：C，E；1或4(3)由（3）知，C（1，5），E（4，8），又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，故答案为或；(4)在范围内，两个水池面积差，∵ ∴函数有最大值，∵∴当时，函
数有最大值，为即，当时，面积最大值为(5)∵水池3与水池2的面积相等，∴，整理得， ∵有唯一值，∴ 解得，【点睛】本题主要考查了二
次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．93．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究
y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝
﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH
的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．?
(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2
上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线
及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分
线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．
后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0
，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．【答案】(1)（0，），，(
2)，4）或（，4 ）(3)(4)或【解析】【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入
到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的
纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；（4）如图，当E
为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（
m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．(1)解：由题意得抛物线y
＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，故答案为：（0，），，(2)解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，∵点P到准线
l的距离为6，∴点P的纵坐标为4，∴当时，，解得，∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；(3)解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，
过点A作AE⊥y轴于E，由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，∴，，∴△FDB∽△FHC，∴，∵BC=2BF，∴
CF=3BF，∴，∴，∴，∴点B的纵坐标为，∴，解得（负值舍去），∴，∵，∴△AEF∽△BDF，∴，∴，∵，∴，∴EF=2，∴，∴
点A的坐标为（，），∴，∴，∴，解得（负值舍去）；(4)解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=
MF，∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，设点M的坐标为（m，），∴，∴，∴HN=
2，∵点E是靠近点F的黄金分割点，∴，∴；同理当E时靠近H的黄金分割点点，，∴，∴，综上所述，或【点睛】本题主要考查了二次函数综合
，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．94．（2022·湖南岳
阳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称
，请直接写出抛物线的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）
．①求点和点的坐标；②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)(
3)①或；②12【解析】【分析】（1）将点和点代入，即可求解；（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的
最大值4，的最大值2，即可求解．(1)解：将点和点代入，∴，解得，∴．(2)∵，∴抛物线的顶点，∵顶点关于原点的对称点为，∴抛物线
的解析式为，∴．(3)由题意可得，抛物线的解析式为，①联立方程组，解得或，∴或；②设直线的解析式为，∴，解得，∴，过点作轴交于点，
过点作轴交于点，如图所示：设，，则，，∴，，∵，，∴当时，有最大值，当时，有最大值，∵，∴当最大时，四边形面积的最大值为12．【点
睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．95．（2022·江苏盐城）【发
现问题】小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，
如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上
．(1)【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个
单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________．(2)【解决问题】请帮
助小明验证他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不
存在，说明理由．【答案】(1)或(2)成立，理由见解析(3)存在，4【解析】【分析】（1）先画出图形，再结合实际操作可得再利用勾股
定理求解AC，BC，从而可得答案；（2）解法1：设半径为的圆与直线的交点为．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，从而验证猜想；解法
2：设半径为的圆与直线交点为，可得，解方程可得．则，再消去，可得，从而验证猜想；（3）如图，设所描的点在上，由， 建立方程，整理得
结合，都是正整数，从而可得答案．(1)解：如图， ∴ ∴ 故答案为：或(2)小明的猜想成立．解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点
为．因为，所以，即，所以，所以上，小明的猜想成立．解法2：设半径为的圆与直线交点为，因为，所以，解得，所以．，消去，得，点在抛物线
上，小明的猜想成立．(3)存在所描的点在上，理由：如图，设所描的点在上，则，因为，所以，整理得，因为，都是正整数，所以只有，满足要
求．因此，存在唯一满足要求的，其值是4．【点睛】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理
的应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键．96．（2022·广东广州）己知直线：经过点（0，7）
和点（1，6）．(1)求直线的解析式；(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q'' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．【答案】(
1)直线解析式为：；(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出解
析式即可；（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；②先根据点Q，点的对称，得QQ''=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．(1)解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），∴，解得，∴直线解析式为：；(2)解：①设G：（），∵点P（，）在直线上，∴；∴G：（）∵（0，-3）不在直线上，∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），∴点P必须位于直线的上方，则，，另一方面，点P不能在轴上，∴，∴所求取值范围为：，且 ；②如图，QQ''关于直线对称，且QQ''=1，∴点Q横坐标为，而点Q在上，∴Q（，），Q''（，）；∵Q''（，）在G：上，∴， ，∴ G：，或．∵抛物线G过点（0，-3），∴，即，， ；当时，抛物线G为，对称轴为直线，对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，此时，函数值随着的增大而减小，如图，∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视．97．（2022·辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，(2)(3)存在【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．(1)解：抛物线经过点和点，，解得，抛物线解析式为，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，(2)如图，设直线与轴交于点，由，令,得，则，，，设，则，，，，，，，中，，设的面积为，的面积为，，，，即，设，则，，解得或（舍），当时，，(3)设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，由，令，得，则设过直线的解析式为，解得过直线的解析式为，是等腰直角三角形是等腰直角三角形直线垂直平分线段是等腰直角三角形，，设，则，，解得（舍）即【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．98．（2022·辽宁大连）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当最大时，(3)【解析】【分析】（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标；（2）由 可得 再分别表示 再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；（3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明 证明 求解 可得 再求解 及为再联立： 从而可得答案．(1)解：∵，令 则 令 则 解得： ∴(2)∵ ∴ 而 ∴ ∴当最大时，则(3)如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD， ， ∵抛物线 ∴顶点 轴， ∴ 设为 解得 ∴为联立： 解得： 所以【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键．99．（2022·湖南郴州）已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．【解析】【分析】(1)把，代入即可得出抛物线的表达式；（2）①求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出．进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；②分以BC为边时，即， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．(1)解：将点，代入得：解得∴抛物线的表达式为．(2)①由（1）可知：，设直线BC：，将点，代入得：解得∴直线BC：，则直线MN：．∵抛物线的对称轴：，把代入，得，∴．设直线CD：，将点，代入得：解得∴直线CD：．当时，得，∴，∴．②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．理由如下：（I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即．由点D在直线MN上，设．如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则．过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则．∵，∴，∵轴，∴，∴．又∵，∴，∴，，?∵，，∴，解得．∴，如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则．同理可证：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．∴如图2-3，存在一种平行四边形，即．设，，同理可证：，∴，∵，，，∴．解得∴，．综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.100．（2022·广西河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，抛物线顶点(2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小(3)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB=90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x=5，M（6，-3）．设P（5，m），分三种情形：当BP=BM时，当PB=PM时，当BM=PM时，分别构建方程求解即可．(1)解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），，∴，抛物线的解析式为；由抛物线顶点；(2)如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．，，，，，， 轴， 轴，，，，， 与 的面积之和，S有最小值，最小值为，此时，时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．(3)存在，如图2， ，，的对称轴为直线，将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．抛物线的对称轴为直线，设 ，当 时，，，，当 时，，解得， ，，当 时，，解得， ，综上所述，满足条件的的坐标为 ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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