专题03 分式及二次根式 一、单选题1．（2022年山东青岛）计算的结果是（?）A．B．1C．D．3【答案】B【解析】【分析】把括号内的每一
项分别乘以 再合并即可．【详解】解： 故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关
键．2．（2020年湖北黄石）函数的自变量x的取值范围是（?）A．，且B．C．D．，且【答案】A【解析】【分析】根据分式与二次根式
的性质即可求解．【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得，且故选A．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式
与二次根式的性质．3．（2020年山东淄博）化简的结果是（?）A．a+bB．a﹣bC．D．【答案】B【解析】【分析】根据同分母分式
相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【详解】解：原式．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解
题的关键是熟记运算法则．4．（2021年黑龙江绥化）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（?）A．B．5C．D．【答案】B【解
析】【分析】根据题意列出算式，求解即可【详解】．故选B．【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键
是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．5．（2021年广西
桂林）若分式的值等于0，则x的值是（ ）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，
分母不为0性质即可求解．【详解】由题意可得：且，解得．故选A．【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．6．
（2022年福建福州）函数的自变量x的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】使函数有意义，则且，?然后解不等组
即可．【详解】解：根据题意得：且，解得x?>?2．故选B．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)?当函数表
达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负
．7．（2022年天津市）计算的结果是（?）A．1B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果
即可．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．8．（2022年山西）
化简的结果是（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．【详解】解：，故选A．【点睛】本
题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键．9．（2022年湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么
实数的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【详解】根据题意知≥0，
解得，故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．10．（2021年四川绵阳）计算的
结果是（?）A．6B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.
【详解】解：故选：D.【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.11．（2021年湖南益阳）
将化为最简二次根式，其结果是（?）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式，，故选
：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．12．（2020年四川广安）要使在实数范围内有意义，则x的取值
范围是（ ）A．x≤－3B．x＞3C．x≥3D．x=3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可求
出结论．【详解】解：由题意可得解得：故选C．【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0，是解
题关键．13．（2022广东广州）代数式有意义时，应满足的条件为（?）A．B．C．D．≤-1【答案】B【解析】【分析】根据分式分母
不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．【详解】解：由题意可知：，∴，故选：B．【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件
，属于基础题．14．（2022广东广州）下列运算正确的是（?）A．B．（）C．D．【答案】D【解析】【分析】根据求一个数的立方根，
分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；B. （），故该
选项不正确，不符合题意；C. ，该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了求一个数的立方根，
分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，正确的计算是解题的关键．15．（2022年内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（?）A
．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各项结果
后，再进行判断即可．【详解】解：A. ，故此计算错误，不符合题意；B. ，故此计算错误，不符合题意；C. ，故此计算错误，不符合题
意；D. ，计算正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握
相关运算法则是解答本题的关键．16．（2022年湖北恩施）函数的自变量x的取值范围是（?）A．B．C．且D．【答案】C【解析】【分
析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵有意义，∴，解得且，故选C．【点睛】
本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．17．（2022年山东威海）试卷上一个正
确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(?)A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据分式的混合
运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：★=★=★==，故选A．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则
是解题关键．18．（2022年河北省）若x和y互为倒数，则的值是（?）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】先将化简，
再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可【详解】∵x和y互为倒数∴故选：B【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为119
．（2022年内蒙古乌海）若分式的值等于0，则x的值为（?）A．﹣1B．0C．1D．±1【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为0
的条件即可得出答案．【详解】解：根据题意，|x|?1＝0，x?1≠0，∴x＝?1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，
掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．20．（2021年广西百色）当x＝﹣2时，分式的值是（?）A．﹣15
B．﹣3C．3D．15【答案】A【解析】【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：把代入上式中原式故选A.【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.21．
（2021年湖北黄石）函数的自变量的取值范围是（?）A．B．C．且D．且【答案】C【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为
0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．【详解】解：函数的自变量的取值范围是：且，解得：且，故选：C．【点睛】本题考查了函数自
变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0
；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．22．（2022年辽宁大连）下列计算正确的是（?）A．B．C．D．【答案】C【解析
】【分析】分别化简二次根式判断即可．【详解】A、无解，故该项错误，不符合题意；B、，故该项错误，不符合题意；C、，故该项正确，符合
题意；D、，故该项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．23．（
2022年内蒙古通辽）下列命题：①；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式在实数范围内有
意义，则．其中假命题的个数是（?）A．1B．3C．2D．4【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径
定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：①，故原命题是假命题；②数据1，3，3，5的平均数为 ，所以方差为
，是真命题；③，是真命题；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；⑤使代数式在实数范围内有意义，则，即，是真命题；∴
假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌
握相关知识点是解题的关键．24．（2022年黑龙江绥化）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（?）A．B．C．且D．且【答案
】C【解析】【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x+1≥0且x
≠0，∴x≥-1且x≠0，故选： C．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．25．（2022
年湖南常德）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论
：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（?）A．1个B
．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：，是完美方根数对；故①正确；不是完美方根数对
；故②不正确；若是完美方根数对，则即解得或是正整数则故③正确；若是完美方根数对，则,即故④正确故选C【点睛】本题考查了求算术平方根
，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．26．（2022年重庆）估计的值应在（?）A．10和11之间B．9和10之
间C．8和9之间D．7和8之间【答案】B【解析】【分析】先化简，利用，从而判定即可．【详解】 ，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题
考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．27．（2022年内蒙古包头、巴彦淖尔）若，则代数式的值
为（?）A．7B．4C．3D．【答案】C【解析】【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了
求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．28．（2021年湖南娄底）是某三角形三边的长，则等于（?
）A．B．C．10D．4【答案】D【解析】【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解
：是三角形的三边，，解得：，，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化
简．29．（2021年广东）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（?）A．6B．C．12D．【答案】A【解析】【分析】首先根据
的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵，∴，∴的整数部分，∴小数部分，∴．故选
：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．30．（2021年广西贺州）如，我们叫集合，其中
1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说
．已知集合，集合，若，则的值是（?）A．－1B．0C．1D．2【答案】C【解析】【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合
B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∵集合B的元素，，可得，∴，∴，，∴，当时，，，，不满足互异性，情况不存
在，当时，，（舍），时，，，满足题意，此时，．故选：Ｃ【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨
论即可．31．（2021年河北）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（?）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】C【
解析】【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．【详解】解：，当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；当时
，，，故B选项错误，不符合题意；当时，，，故C选项正确，符合题意；当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】
本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．32．（2022年广西玉林）若x是非
负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是(?)A．①B．②C．③D．①或②【答案】B【解析】【分析】先对分式进行化简，然后
问题可求解．【详解】解：====1；故选B．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．33．（2022年
四川南充）已知，且，则的值是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计
算即可得出结果．【详解】解：，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．【点睛】题目主要考查
完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．二、填空题34．（2022年黑龙江哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是_
__________．【答案】【解析】【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式，计算出自变量x的范围即可．【详解】根据题意得：
∴ ∴ 故答案为：【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．3
5．（2021江苏苏州）计算：的结果是__．【答案】．【解析】【分析】【详解】原式．故答案为：．36．（2021年吉林）计算：__
________．【答案】【解析】【分析】根据同分母分式的加减法则运算．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了同分母分式的加
减，熟练掌握运算法则是解题的关键37．（2022年青海省）若式子有意义，则实数x的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解．【详解】由题意得：解得：故答案为：【点睛
】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．38
．（2022年内蒙古包头）计算：___________．【答案】##【解析】【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用
即可得．【详解】解：原式=,故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．39．（2022年湖北鄂州）若
实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．【答案】【解析】【分析】先根据题意可以把
a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．【详解】解：∵a、b分别满足
a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案为：．【点
睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．40．（2022年四川成都）
已知，则代数式的值为_________．【答案】##3.5##3【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；【详解】解：＝＝＝＝＝．，移项得，左边提取公因式得，两
边同除以2得，∴原式＝．故答案为：．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．（2021年辽宁丹东）
在函数中，自变量x的取值范围_________．【答案】【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详
解】根据题意得：，解得∴自变量x的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达
式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
42．（2021年黑龙江绥化）当时，代数式的值是____．【答案】【解析】【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求
值即可．【详解】解：由题意可知：原式，当时，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心
即可求解．43．（2020年湖北荆州）若，则a，b，c的大小关系是_______．（用<号连接）【答案】【解析】【分析】分别计算零
次幂，负整数指数幂，绝对值，再比较大小即可．【详解】解： ．故答案为：．【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，绝对值的运算，有
理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．44．（2020年湖南益阳）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________
．（写出一个符合条件的即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．【详解】解：∵，∴时的结果为
正整数，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题的关键．45．（2022年浙江嘉兴）如图，在ABC中，∠A
BC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，
1，则直尺宽BD的长为_________．【答案】【解析】【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．【详解】解：由题意可得： 同
理： 故答案为：【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
46．（2022年四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则
_______．【答案】5050【解析】【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用规律求
解即可．【详解】解：，，，，，…，故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关
键．47．（2022年四川眉山）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：，2，，；，，，4；…若2的位置记为，的位置记为，则的
位置记为________．【答案】【解析】【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．【详解】数字可以化成：，，，；，，，
；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵，28是第14个偶数，而∴的位置记为故答案为：【点睛】本题考查了类比点的坐标解
决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．48．（2021年湖北鄂州）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数
根分别为、，则_____________．【答案】【解析】【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、
，代入求解即可．【详解】解：∵实数、满足，∴a﹣2=0，b+3=0，解得：a=2，b=﹣3，∴， ∵一元二次方程的两个实数根分别为
、，∴+=2，=﹣3，∴=，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数
，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．49．（2021年湖北黄冈）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优
选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．【答案】10【解析】【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的
值，再求和即可得．【详解】解：，（为正整数），，，，，则，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一
般规律是解题关键．50．（2021年四川眉山）观察下列等式：；；；……根据以上规律，计算______．【答案】【解析】【分析】根据
题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为
﹣，再进行分数的加减运算即可．【详解】解：由题意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝20
20+1﹣﹣2021＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运
算．51．（2021年浙江丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合
他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．【答案】或1?
??? 7【解析】【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即
可．【详解】解：已知，实数，同时满足①，②，①-②得， ∴ ∴或 ①+②得，（1）当时，将代入得， 解得，， ∴， 把代入得，3=
3，成立；把代入得，0=0，成立；∴当时，a的值是1或-2故答案为：1或-2；（2）当时，则，即∵∴∴∴ ∴故答案为：7．【点睛】
此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关
键．三、解答题52．（2022年广西河池）先化简,再求值,其中【答案】【解析】【分析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再
算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．【详解】＝ ＝ = =-a+1
；当a=3时，原式=-3+1=-2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．53．（2020年
湖南永州）先化简，再求值：，其中．【答案】，1【解析】【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：
当时，原式【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键．54．（2022年四川德阳）计算：．【答案】【解
析】【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加
减法运算．【详解】解：．【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以
及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．55．（2022年浙江丽水）计算：．【答案】【解析】【分析】根据求一个数的算术平方根、零指数
和负整数指数幂的运算法则进行运算，即可求得．【详解】解： ．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则
，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．56．（2022年内蒙古通辽）先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的
数求值．【答案】，3【解析】【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可求出答案．
【详解】解： ，，解不等式①得： 解不等式②得：，∴，∵a为整数，∴a取0，1，2，∵，∴a=1，当a=1时，原式．【点睛】本题考
查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．57．（2022年
四川内江）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4．【答案】（1）2；（2），【解析】【分析】（1）首先代
入特殊角的三角函数值，进行乘方、绝对值运算，再进行乘法和加法运算；（2）首先把分式化简，再代入a和b的值计算．【详解】解：（1）原
式＝ ＝+2﹣＝2；（2）原式＝[]? ＝＝．当a＝﹣，b＝+4时，原式＝ ．【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分式的化简求值、
特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，掌握解题步骤是解决问题的关键．58．（2021年湖北恩施）先化简，再求值：，其中．【答案
】，【解析】【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．【详解】解：原式=；把代入得：原式=．【点睛】本题主要考查二次根式的
运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．59．（2021年山东烟台）先化简，再求值：，从中选出合适的
x的整数值代入求值．【答案】【解析】【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可【详解】解：原式=根据分式有意义的条件可知，∴当x
取范围内的整数时，只有x=0．∴当x=0时，原式=【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基
础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键．60．（2022年四川雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且
BE＝DF．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．【答案】(1)证明见解析(2)6【
解析】【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论；（2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形
AECF的面积，即可得到答案．(1)证明： 正方形ABCD， (2)如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的
面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相
垂直平分”是解本题的关键．61．（2022年江苏泰州）计算:(1)计算：；(2)按要求填空：小王计算的过程如下：解：?小王计算的第
一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .【答案】(1)(2)因式分解；三和
五；【解析】【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.（
1）解：原式；（2）解：由题意可知：故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为.故答案为：因式分解，第三步和
第五步，【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.62．（2021年浙
江温州）如图与的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3
中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）七巧板中
有两个四边形，分别是正方形和平行四边形，根据题意可画出4种图形任意选一种即可，（2）七巧板中有五个等腰直角三角形，有直角边长 的两
个，直角边长2 的两个，直角边长2 的一个，根据题意利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）画法不唯一，当选四边形为正方
形时可以是如图1或图2；当四边形式平行四边形时可以是图3或图4．（2）画法不唯一，当直角边长为时，扩大即直角边长为利用勾股定理画出
直角边长为直角三角形可以是如图5或图6当直角边长为2时，扩大即直角边长为2利用勾股定理画出直角边长为2直角 三角形可以是如图7或图
8等．【点睛】本题考查基本作图，平移，二次根式的乘法，以及勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考
题型．63．（2020年内蒙古通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．（1）求；（2）若，求m的取值范围，并在所
给的数轴上表示出解集．【答案】(1)；(2)，图见解析【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算
可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）===（2）∵，∴解得：将解集表示在数轴上如下：【点睛
】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤64．（
2022年山东潍坊）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照
①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；_______________________________________
_____________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是
方程的根．【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．【解析】【分析】（1）根据乘方、绝对
值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法
解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．【详解】（1）其他错误，有：④ta
n30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，正确的计算过程：解：=28；（2）=，∵x2-2x-3=0，∴（x-3）（x+1）=0，x-3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=-1，∵x=3分式没有意义，∴x的值为-1，当x=-1时，原式==．【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．65．（2022年四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
|
