（完整版）中职数学常用公式及常用结论大全
中职数学常用公式及常用结论大全
1. 常见数集： N---自然数集
N ---正整数集 Z---整数集 Q---有理数集 R---实数集
2、充要条件：
（ 1）充分条件：若 p q ?，则 p 是 q 充分条件 .
（ 2）必要条件：若 q p ?，则 p 是 q 必要条件 .
（ 3）充要条件：若 p q ?，且 q p ?，则 p 是 q 充要条件 .
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 .
3、一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠
（ 1）求根公式： 2b x a
-= （ 2）根与系数的关系： 12b x x a +=-， 12c x x a
= 4、不等式的基本性质：
（ 1）若 a b > ，则 a c b c ±>±；
（ 2）若 a b > ，且 0c > ，则 ac bc >
（ 3）若 a b > ，且 0c < ，则 ac bc <
5、一元一次不等式 （ 1） 0(0)b ax b a ax b x a
->>?>?>
（ 2） 0(0)b ax b a ax b x a -<>?
等式组时，最后一定要求两个不等式解集的交集才是整个一元一次不
等式组的解集。
6、一元二次不等式
（ 1） 20(0)ax bx c a ++>>的解集： {}12x x x x x <>或 1x 、 2x
是对应方程的两个根且 1x <2x
（ 2） 20(0)ax bx c a ++<>的解集： {}
12x x x x << 1x 、 2x 是对应方程的两个根且 1x <2x
7、含绝对值的不等式
（ 1） ()(0),x a a a a <>?-
（ 2） ()()(0),,x a a a a >>?-∞-?+∞
（ 3） (0)ax b c c ax b c ax b c +>>?+<-+>?L或
（ 4） (0)ax b c c c ax b c +<>?-<+
8、定义域
口诀：函数定义域好求，分母不能等于零；
偶次方根非负，零和负数无对数；
零的零次方无意义，正切函数角不直；
其余函数实数集，多种情况求交集。
9、二次函数的图像与性质
（ 1）解析式： 一般式： 2
y ax bx c =++ 顶点式： 2
2
424b ac b y a x a a -??=++ ??
交点式： ()()12y a x x x x =--
（ 2）图像与性质
10、分数指数幂
(1)m
n n m
a a =（0,,a m n N >∈，且 1n >） . (2)1
m n m
n a a
-=（0,,a m n N >∈，且 1n >） . 11．有理指数幂的运算性质 (1)
(0,,)r s r s a a a
a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.
(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.
12、常用指数值: ()010a a =≠ ; ()110a a a
-=≠ 13、指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a
a N >≠>.
14．对数的四则运算法则
若 a ＞ 0，a ≠1， M ＞ 0， N ＞ 0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+;
(2) log log log
a
a a
M
M N
N
=-;
(3)log log()
n
a a
M n M n R
=∈.
15、常用对数值： log10
a
=； log1
a
a=
16、指数函数与对数函数的图像与性质
(01)
x
y a a a
=>≠
且 log(01)
a
y x a a
=>≠
且
定义域 ()
,
-∞+∞()
0,+∞
值域 ()
0,+∞()
,
-∞+∞
单调性
增函数减函数增函数减函数
17、等差数列
（ 1）等差数列定义：
1
n n
a a d
-
-==
常数
（ 2）等差数列的通项公式
1
(1)
n
a a n d
=+-；
（ 3）若 ,,
a b c 成等差数列 ?b 是 ,a c 的等差中项 2b a c
=+
（ 4）其前 n 项和公式为 1
()
2
n
n
n a a
s
+
=
1
(1)
2
n n
na d
-
=+.
18、等比数列
（ 1）等比数列定义：
1
n
n
a
q
a
-
==
常数
（ 2）等比数列的通项公式 1
1
1
()
n n
n
a
a a q q n N
q
-
==?∈；
（ 3）若 ,,
a b c 成等比数列 ?b 是 ,a c 的等比中项 2b ac
=
（ 4）其前 n 项的和公式为
1
1
(1)
,1
1
,1
n
n
a q
q
s q
na q
-
≠
=-
=
已知角 α终边上一点 ,)P x y（，设 OP r ==
则： sin ,cos ,tan y x y r r x
ααα===。 20、三角函数值在各象限的符号
口诀：一全正；二正弦正；三正切正；四余弦正。
21、诱导公式：
口诀：奇变偶不变，符号看象限。
22、同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=；tan θ=
θ
θcos sin 。 23、 和 角 与 差 角 公 式 sin()sin
αβαβαβ±=±；
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ；
tan tantan()1tan tan αβαβαβ
±±=m 。（子同母异） 24、二倍角公式
sin 2sin cos ααα=；
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；
22tan tan 21tan ααα
cos cos sin
=-. 25、sin()y A x B ω?=++的周期与最值(A,ω,?为常数，且 A>0)
(1)周期：2T π
ω=
(2)最值：()1sin 1x ω? -≤+≤
()sin A A x A ω?-≤+≤
()sin A B A x B A B ω?-+≤++≤+
(3) sin cos )y a x b x x ωωω?=+=+
26、正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===. 27、余弦定理
（ 1） 2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b c a ca B =+-；
2222cos c a b ab C =+-.（ 2）推论： 222cos 2b c a A bc +-=； 222
cos 2a c b B ac
+-=； 222cos 2a b c C ab +-=
（ 1） 111222
a b c S ah bh ch =
==（ a b c h h h 、、分别表示 a 、 b 、 c 边上的高） . （ 2）
111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 29、三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?= -+ 222
C A B π+?=-222()C A B π?=-+。 30、向量的加减运算
（ 1） AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r (首尾相连 )
（ 2） AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r (同一起点 )
31、实数与向量的积的运算律
设 λ、μ 为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;
(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;
(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
32、向量的数量积的运算律：
(1) a ·b= b ·a （交换律） ;
(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ） ;
(3)（ a +b ）·c= a ·c +b ·c.
33、 a 与 b 的数量积 (或内积 )
a ·
b =|a ||b |cos θ．
cos θ?=
a b a b
34.平面向量的坐标运算 (1)设 a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则
a+b=1212(,)x x y y ++.
(2)设 a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则 a-b=1212(,)x x y y --.
(3)设 A 11(,)x y ， B 22(,)x y ,则 2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
u u u r u u u r u u u r .
(4)设 a =(,),x y R λ∈，则 λa=(,)x y λλ.
(5)设 a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则 a ·b=1212()x x y y +.
35、两向量的夹角公式
cos θ= (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
36、平面两点间的距离公式
,A B d
=||AB =u u u r
=11(,)x y ， B 22(,)x y ).
37、向量的平行与垂直
设 a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且 b ≠0，则
a ||
b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y
y ?+=.
38、线段 AB 的中点，长度公式
11221212(,),(,)22A x y B x y M x y x x y y x y ==++== 中中中
中若，中点（，）则
，
39、斜率公式
2121
tan y y k x x α -==- （ 111(,)P x y 、 222(,)P x y ） . 40、直线的
三种方程
（ 1）点斜式 11()y y k x x -=- ( 直线 l 过点 111(,)P x y ，且斜率
为 k )．
（ 2）斜截式 y kx b =+(b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).
（ 3）一般式 0Ax By C ++=(其中 A 、 B 不同时为 0).
41、两条直线的平行和垂直
(1)若 111:l y k x b =+， 222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?= -.
(2)若 1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 且 A 1、 A
2、 B 1、 B 2 都不为零, ①1111212221221222
||0A C -A C =0A B C l l A B A B A B C ?=≠?-=且； ②1212120l
l A A B B ⊥?+=；
42.点到直线的距离
d =点 00(,)P x y ,直线 l ： 0Ax By C ++=).注意直线一定要是一般
式。
43. 圆的两种方程
（ 1）圆的标准方程 222
()()x a y b r -+-=.
圆心坐标：（ a,b ） 半径： r
（ 2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞ 0).
圆心坐标： D E ,22??-- 半径： 2242
D E F r +-= 44、直线与圆的位置关系 设直线 l ： 0=++c by ax，
圆 C ： 022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为 r ，圆心 )2,2(E D --
到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几
点：
（ 1）当 r d >时，直线 l与圆 C相离；
（ 2）当 r d =时，直线 l与圆 C相切；
（ 3）当 r d <时，直线 l与圆 C相交；
45、二次曲线（椭圆双曲线抛物线）
椭圆看大小 a最大，双曲线看正负 c最大。
45、抛物线的标准方程
46、直线与圆锥曲线相交
弦长公式
AB =
（弦端点 A ),(),,(2211y x B y x ，由方程 =+=0)y ,x (F b kx y
消去 y得到 02=++c bx ax，0?>,α 为直线 AB的倾斜角， k为直线的
斜率） .
47、分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++L .
48、分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =L .
49、排列数公式
m n P =)1()1(+--m n n n Λ.(n ，m ∈N ，且 m n ≤)．注 :规定
1!0=. 50、组合数公式
m n
C =m n m m P P =m m n n n +-- ΛΛ21)1()1( (n ∈N ， m
N ∈，且 m n ≤). 51、组合数的两个性质
(1)m n C =m n n C - ； (2) m n C +1-m n C =m n C 1+。 注 :
规定 10=n C .
52、排列组合应用
重复（ 3信 4邮）在于不在用优先分类有序 (排列 )相邻问题用捆绑
不重复分步相隔问题用插空无序 (组合 )
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