中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)一、综合题1．某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的
销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=20时，y=1000，当x=25时，y=950.（1）求出y与
x的函数关系式；（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不
超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？2．如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A( ，0
)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t) （1）求抛物线的解析式；（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的
距离为 ，求点C的坐标；（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽
△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，点B是x
轴上一点，其坐标为(1，0)，连接AB，tan∠ABO=2.（1）则点A的坐标为 ，a= ；（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的
图象交于另一点C，求点C的坐标；（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d1、d2，求d1+d
2的最大值.4．如图正方形ABCD，点P,Q,R,S分别在AB，BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP（1
）若正方形边长为4，则当AP为何值时，四边形PQRS的面积为正方形面积的一半（2）若正方形边长为a（a为常数），则当AP为何值时，
四边形PQRS的面积最小，并求出最小面积.5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点
经过A，B，D的O交AC于E点． （1）求AE的长．（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，B
Q＝y．①求y关于x的表达式．②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连
结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．6．如图，抛物线y＝﹣x2x＋4交x轴于A，B两点（点B在A的右
边），与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交
BC于点Q.（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN
有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求
出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由.7．如图，已知二次函数L1：y=ax2-2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=-a（
x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2-2ax+a+3（a＞0）的最小值为
，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 （2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状
（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程-a（x+1）2+
1=0的解．8．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，当时，函数有最大值．（1）抛物
线的解析式；（2）点M在y轴上，使得，求点M的坐标；（3）若点与点在抛物线上，且，，求证：．9．如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3
）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．（2）求A、B
两点的坐标．（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．10．若y是
x的函数，h为常数（ ），若对于该函数图象上的任意两点（ ， ）、（ ， ），当 ， （其中a、b为常数， ）时，
总有 ，就称此函数在 时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在 时的界高．（1）函数：① ，② ，③ 在
时为有界函数的是： （填序号）；（2）若一次函数 （ ），当 时为有界函数，且在此范围内的界高为 ，请求出此一次函数解
析式；（3）已知函数 （ ），当 时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．11．已知函数 （ ，
为实数）．（1）当 ， 取何值时，函数是二次函数．（2）若它是一个二次函数，假设 ，那么：①它一定经过哪个点？请说明理由．②
若取该函数上横坐标满足 （ 为整数）的所有点，组成新函数 ．当 时， 随 的增大而增大，且 时是函数最小值，求 满
足的取值范围．12．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+c(c>0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。（1）求该抛物线的解析式和顶点E的坐
标；（2）设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；（3）如图2，若直线0D的解析式是y=-3x，点P和点0分
别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，
请说明理由。13．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）.（1）求这个抛物线的解析式.（2）点B在抛物线上，且B
点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标.（3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴
对称，直线AN交抛物线于点D.连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF.14．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线
交于 两点，其中 ， .该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D. （1）求 的值及该抛物线的解析式； （2）如图
2.若点P为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边，在直线 的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ，连接
，试确定△ 面积最大时P点的坐标. （3）如图3.连接 、 ，在线段 上是否存在点Q，使得以 为顶点的三角形与△ 相
似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 15．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤
90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x＋4090每天销量(件)200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润
最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．16．如图如图1，在平面直
角坐标系中，抛物线：经过点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的
解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点点在点的左侧． ①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点点，与点，不重合，试求四边形面积的最大值．参考答案与解析1．【答案】（1）解：每天的销量
y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），x=20时，y=100
0，当x=25时，y=950，代入得 ，解得 ，∴函数关系式为y＝－10x＋1200，（2）解：W＝(x－40) y＝(x－4
0)( －10x＋1200) ＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80) 2＋16000， 当售价定为80元, W
最大＝16000，∴售价定为80元/件时,每天最大利润W＝16000元，（3）解：由题意得 ， ， ， ， .2．【答案】（1
）解：点 在直线 上，则点 的坐标为 ，将点 、 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，故抛物线的表达式为：
①（2）解：如图，过点 作 轴交 于点 ， ， ，又 ， ， ， ，设点 ，则 ， 点 在直线 的下方， ，解得
： ，（3）解：如图（2） 交 轴于点 ， ， ， ，在△BON和△AOB中， ， ， ，将点 、 坐标代入一次函
数表达式并解得：直线 的表达式为： ②，联立①②并解得： ，故点M（ ， ），∵△POC∽△MOB， ， ， ，即：
， ，①当点 在第一象限时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ， ， ， ，又 ， ， ， ，即点
P（ ， ）②同理当点 在第三象限时，点P（ ， ）；综上，点P（ ， ）或（ ， ）.3．【答案】（1）（0，
2）；（2）解：设线段AB所在直线解析式为y=kx+b，把B（1，0），A（0，2）代入得： ，解得：k=-2，b=2所以线段AB
所在直线解析式为y=-2x+2又过点A的直线与AB垂直，故其解析式为 由（1）得 a= ，所以：y= x2+ x+2联立方程
组，得 ，解得： ， ∴点C的坐标为（4，4）（3）解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点B作BF⊥AP于F．过点D作DE⊥AP
于E，则BF=d1，DE=d2． 过点C作CG⊥x轴，则：BC= S梯形AOGC= （AO+CG） ?OG= ×(2+4)×4
=12SΔABO= AO?BO= ×2×1=1SΔCBG= CG?CG= ×3×4 =6∴SΔABC=S梯形AOGC-SΔ
ABO-SΔCBG=12-1-6=5∴AM=5由面积法得到AM?BC=AP?d1+AP?d2，由此可得d1+d2= ，Rt△AP
M中，AP≥AM，故d1+d2≤ ，所以，d1+d2的最大值为5．4．【答案】（1）解： 设AP=x∵ BQ=2AP，CR=3A
P，DS=4AP ，正方形的边长为4∴BP=4-x，BQ=2x，CQ=4-2x，RC=3x，DR=4-3x，DS=4x，AS=4-
4x∵ 四边形PQRS的面积为正方形面积的一半∴S△APS+S△BPQ+S△CQR+S△DSR=S正方形ABCD=×4×4=8即x
（4-4x）+2x（4-x）+3x（4-2x）+4x（4-3x）=8整理得;3x2-5x+2=0解之：x1=1，x2=∴当AP为1
或时， 四边形PQRS的面积为正方形面积的一半。 （2）解： 设四边形PQRS的面积为y，AP=x∴y=a2-（S△APS+S△B
PQ+S△CQR+S△DSR）=a2-[x（a-4x）+2x（a-x）+3x（a-2x）+4x（a-3x）]∴y=12x2-5ax
+a2=12（x-）2+∵a=12＞0∴当AP=时，四边形PQRS的面积y的值最小，最小值为5．【答案】（1）解：在Rt△ABC中
，∠C=30°，∴AC=2AB，∴AB2+BC2=AC2，∴AB2+122=4AB2， 解之：，∴AC=2AB=；∵点D是BC的中
点，∴CD=BC=6∵四边形ABDE内接于圆O，∠ABC=90°∴∠ABC+∠AED=180°，∴∠AED=∠DEC=90°，∴D
E=CD=3，∴，∴（2）解：① 设y=kx+b，∵ 当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B 当x=AE=时，y
=BQ=0；当x=0时y=BQ=12，∴ 解之：∴y与x的关系式为：② 过点P作PF⊥CB于点F，∴，∴∵＜0，∴抛物线的开口向下
， 当时△PQC的面积最大，最大值为∴（3）解：当EF=BD时，如图 由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3，∵EF＝BD＝6，∴
，∴∠EBF＝∠BED，∴BF∥DE，∴∠BPC＝∠DEC＝90°，∵∠C＝30°，∴BP＝BC＝×12＝6，∴，∴， 在Rt△E
FP中，∠PEF＝∠BAC＝60°，∴∠FEP＝30°，∴PF＝EF＝×6＝3，∴BF＝BP＋PF＝6＋3＝9，∴S四边形BDEF
＝； 当EF＝BE时，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF， 在Rt△CEG中，， 在Rt△DEG中，∠DE
G＝90°?60°＝30°，∴，∴， 在Rt△BEG中，，∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE，∴△BEF是等边三角形，∵OB＝OF，
BE＝EF，∴EH垂直平分BF，∴，∴S四边形BDEF＝； 当EF＝DE时，如图，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K，∵EF＝
DE＝3，∴，∴∠EBG＝∠EBF，∵EG⊥BC，EK⊥BF，∴，∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°，∴∠FEK＝30°，∴，
∴，∴S四边形BDEF＝；∴ 四边形BDEF的面积为 或 或 6．【答案】（1）解：当y＝0，﹣x2+x+4＝0， 解得x1＝﹣
3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）解：当x＝0，y=0+0+4， ∴C（0，4）将B（4，0），C（0，4）代入
y=kx+b解得：故BC：设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），由B（4，0），C（0，4）可知，OB＝OC，∴∠
ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQ?sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最
大值，当m＝2时，PN的最大值为.（3）解：存在，理由： 点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5
，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，①当AC＝AQ时，如图，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由
勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）.②当AC＝CQ时，如图，CQ＝5，则BQ＝BC
﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）.③当CQ＝AQ时，CQ＝BC﹣BQ＝4﹣（4﹣m）＝m，AQ＝＝m，即2m2﹣2m+
25＝2m2，解得m＝.∵0＜m＜4，∴m＝（舍去）.综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（，）7．【答案】（1）3；﹣1≤x≤
1（2）解：由二次函数L1：y=ax2-2ax+a+3可知E（0，a+3），由二次函数L2：y=-a（x+1）2+1=﹣a2x-2
ax-a+1可知F（0，-a+1），∵M（1，3），N（-1，1），∴EF=MN==2，∴a+3-（-a+1）=2，∴a=-1，作
MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，∴MG=NH=1，∵EG=a+3-3=a，FH=1-（-a+1）=a，∴
EG=FH，在△EMG和△FNH中，，∴△EMG≌△FNH（SAS），∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，∴EM∥NF，∴四边形EN
FM是平行四边形；∵EF=MN，∴四边形ENFM是矩形（3）解：由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：①如图2，当MN=NA
=2时，过点N作ND⊥x周，垂足为点D，则有ND=1，DA=m-（-1）=m+1，在Rt△NDA中，NA2=DA2+ND2，即（2
）2=（m+1）2+12，∴m1=-1，m2=--1（不合题意，舍去），∴A（-1，0）．由抛物线y=-a（x+1）2+1（a＞0
）的对称轴为x=-1，∴它与x轴的另一个交点坐标为（-1-，0）．∴方程-a（x+1）2+1=0的解为x1=﹣1，x2=-1-．②
如图3，当MA=NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m-1|，∴在Rt△MGA中，MA2=MG2
+GA2，即MA2=32+（m-1）2，又∵NA2=（m+1）2+12，∴（m+1）2+12=32+（m-1）2，m=2，∴A（2
，0），则抛物线y=-a（x+1）2+1（a＞0）的左交点坐标为（-4，0），∴方程-a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=
-4．③当MN=MA时，32+（m-1）2=（2?）2，∴m无实数解，舍去．综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程-a（x+1）
2=0的解为x1=-1，x2=-1-或x1=2，x2=-4．8．【答案】（1）解：∵当时，函数有最大值∴抛物线的对称轴为直线，即∴
b＝－3， ∴y＝－x2－3x＋c将A（1，0）代入，－1－3＋c＝0∴c＝4． ∴y＝－x2－3x＋4；（2）解：∵点M在轴上，
使得∠MBC＝15°令y＝0，－x2－3x＋4＝0，解得x1＝－4，x2＝1，∴B（－4，0），OB＝4令x＝0，y＝4，∴OC＝
4∴△BCO是等腰直角三角形，∠CBO＝45°∵点M在轴上，使得∠MBC＝15°①点M在点C上方，此时∠MBO＝45°＋15°＝6
0°在Rt△MBO中，tan∠MBO＝＝∴OM＝，即：M（0，）②点M在点C下方，此时∠MBO＝45°－15°＝30°在Rt△MB
O中，tan∠MBO＝＝∴OM＝，即：M（0，）．（3）解：把点P（x1，m）与点Q（x2，m）代入y＝－x2－3x＋4中有－x1
2－3x1＋4＝m，－x22－3x2＋4＝m，∴x12＋3x1＝4－m，x22＋3x2＝4－m∵x1 =n， ∵抛物线的对称轴为直线∴x1＋x2＝－3等式左边＝x22－2x2＝x22＋3x2－5x2＝x12＋3x1－5x2＝x12－
4（x2－x1）－x2－x1＝x12－4n－ （x2＋x1）＝x12－4n＋3左边＝右边，所以原式成立．9．【答案】（1）解：∵抛
物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，∴方程x2﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，∴（m+3）2﹣4×9=
0，解得m=3或m=﹣9，又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，∴m=3（2）解：由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣6x+9，联立
一次函数y=x+3，可得 ，解得 或 ，∴A（1，4），B（6，9）（3）解：如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分
别为R、S、T，∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3
，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS= ×（4+9）×
5﹣ ×2×4﹣ ×3×9=15，S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP= （9+b）（6﹣a）﹣ （
b+4）（1﹣a）﹣ ×（4+9）×5= （5b﹣5a﹣15），又S△PAB=2S△ABC，∴ （5b﹣5a﹣15）=30，即
b﹣a=15，∴b=15+a，∵P点在抛物线上，∴b=a2﹣6a+9，∴15+a=a2﹣6a+9，解得a= ，∵﹣3＜a＜1，∴
a= ，∴b=15+ = 10．【答案】（1）①③（2）解：由题意得b>a，∵界高为b-a，∴ 当 时 ，， 当k>0时，∴
ka+2=a，kb+2=b，∴k（a-b）=a-b，∴k=1，∴y=x+2， 当k<0时，∴ka+2=b，kb+2=a，∴k（a-
b）=b-a，∴k=-1，∴y=x+2或y=-x+2.（3）解：∵ （ ），的对称轴为x=a， ∴y最小=5-a2， ∴当(a+
1)-a≥a-1，即1 即a＞2时， |y1-y2|≤（a+1）2-2a（a+1）-（5-a2）=（a-1）2，∵（a-1）2≤4，∴a≤3，即2 时，界高不大于4成立； 综上，1 数是二次函数（2）解：①若 是二次函数，则 ，于是 ，当 时， ， 时， ，∴一定经过 和 ．②由题意可得，函数
的对称轴为 ，当 ， 随 增大而增大，且在 时函数 取得最小值，需满足 ，解得 ．12．【答案】（1）解：∵抛物
线y=-x2-2x+c(c>)的图象经过点B（1，0）. -12-2×1+c=0，解得c=3.抛物线y=-x2-2x+C(c>0)
的解析式是y=-x2-2x+3. 顶点E的坐标是（-1，4）.（2）解：x2-2x+3=0.解得x=1，x=-3.，∴OA=3,O
C=3. ：D点的横坐标是a, ∴D(a,-a2-2a+3)，连结DO，如图所示。四边形AOCD的面积=△AOD的面积+△COD的
面积 .当a=- 时，四边形AOCD的面积最大。（3）解：直线l:y=-3x，可设Q点的坐标是（a，-3a） （Ⅰ）平行四边形以
OC为边时，①P点的坐标是（a,a2-2a+3），如图 所示，PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3.整理得a2-a+6-
0，解得；a1=3，a2=-2.此时2点的坐标分别是（3，-9），(一2，6）.②P点的坐标是（a,-a2+2a+3），如图所示，
PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3.整理得a2-a=0，解得：a1=1，a2=0《不合题意，舍去），此时Q点的坐标是（1
，-3）.（Ⅱ)平行四边形以OC为对角线时，如图所示，根据平行四边形的对角线相互平分可知，点P与点Q关于OC的中点成中心对称，则P
点的坐标是（a，-a2-2a+3），Q(-a,3a）得到：-a2-2a+3+3a=3.整理得a2+a=0，解得；a1=-1，a2=
0(不合题意，舍去），此时Q点的坐标是(-1，3）.综上所述，满足条件的Q点坐标为：(3.，9），（-2，6），（1，-3）和（-
1，3）.13．【答案】（1）解：由抛物线的顶点坐标C（-2，-1），可设抛物线的解析式为 将点A（-4，0）代入，得解得： ∴这
个抛物线的解析式为 = ；（2）解：将x=-1代入 中，解得y= ∴点B的坐标为（-1， ）过点B作BQ⊥BA，交AP于点
Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90°∴∠ABH＋∠GCQ=90°，
∠BQG＋∠GCQ=90°∴∠ABH=∠BQG∵∠PAB=45°，∴△ABQ为等腰直角三角形∴AB=BQ∴△AHB≌△BGQ∴QG
=BH= ，BG=AH=-1－（-4）=3∴GH=BG－BH= ∴点Q的坐标为（-1＋ ， ）=（ ， ）设直线AQ的解
析式为y=kx＋b将点A和点Q的坐标分别代入，得解得： ∴直线AQ的解析式为 联立 解得： 或 （符合点A的坐标）∴点P的坐标
为（ ， ）；（3）解：设点M的坐标为（m， ） ∴点N的坐标为（m， ）设直线AN的解析式为y=cx＋d将点A和点N的坐
标分别代入，得解得： ∴直线AN的解析式为 联立 解得： 或 （符合点A的坐标）∴点D的坐标为（ ， ）设直线MD的解析式
为y=ex＋f将M、D的坐标分别代入，得解得： ∴直线MD的解析式为y=x＋ 将x=0代入y=x＋ 中，解得y= ；将y=0代
入y=x＋ 中，解得x= ∴点E的坐标为（0， ），点F的坐标为（ ，0）∴OE=OF= 14．【答案】（1）解：把A（m，
0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）. ∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴ ，解
得： ，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）解：如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=4
5°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，
设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM= m，PN= （4﹣m），∴S△MPN= PM?PN= × m× （4﹣m）=﹣
m2﹣m=﹣ （m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）； （3）解：存在，易
得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论： ①当△ABD∽△DAQ时
， = ，即 = ，解得：AQ= ，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2= ，解得：x= ，此时Q（
，﹣ ）；②当△ABD∽△DQA时， =1，即AQ= ，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）
. 综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）.15．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000， 当50≤x≤90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，综上所述：y= （2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．16．【答案】（1）解：将点 和点 代入 ， ，解得 ， ；（2）解： ， （3）解：由题意可得，抛物线 的解析式为 ， ①联立方程组 ，解得 或 ， 或 ；②设直线 的解析式为 ， ，解得 ， ，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值4，当 时， 有最大值2， ， 当 最大时，四边形 面积的最大值为12． 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 30 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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