中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)一、综合题1．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=
AD，∠DAC=∠ABC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长． 2．已知等腰直
角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接
BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥C
E交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝BE；（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC
的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．3．如图
，一条抛物线经过原点和点 ， 、 是该抛物线上的两点， 轴，点 坐标为 ，点 在线段 上，点 在线段 上，且满足
. （1）求抛物线的解析式；（2）若四边形 的面积为14，求 ；（3）是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由.4．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所
示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．（1）二次函数y= 2（x
+ 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为　；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析
式为　；（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6
，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．（3）在第（2）题的情况下，如果M是两
个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.5．如图1，我们把一副两个三角板
如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记
旋转角∠AOA''＝α（0＜α＜180°）．（1）在旋转过程中，当α为 　度时，A''B''OC，当α为 　度时，A''B''⊥CD；（2）
如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA''B''的位置，求当α为多少度时，OB''平分∠COD；（3）当90°＜α＜12
0°时，连接A''D，利用图3探究∠B''A''D+∠B''OC+∠A''DC值的大小变化情况，并说明理由．6．如图，已知AM∥BN，∠A=
60°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D。（1）求∠CBD的
度数。（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请
写出变化规律。7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向
点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D
、E运动的时间是t秒（0＜t≤10），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相
应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．8．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E
是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说
明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相
似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．9．如图， 是 的直径，弦 垂直半径 ， 为垂足， ＝ ，连接 ，
＝ ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．（1）求 的半径；（2）求证： 是 的切线；（3）若弦 与直径 相交于点
，当 ＝ 时，求图中阴影部分的面积．10．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，点D为优弧上一点（不与B
，C重合），连接AD，CD，AD交BC于点E， △ACD的内心F恰好落在BC上．（1）求证：AB∥CD；（2）连接AF，求证：AB
＝BF；（3）若BE＝4，CE＝5，求CF的长．11．在Rt△ABC中，AB=，BC=，过点C作CGAB，CF平分∠ACD交射线B
A于点F，D是射线CG上的一个动点，连接AD交CF于点E.（1）求CF的长.（2）当△ACE是等腰三角形时，求CD的长.（3）当B
关于AD的对称点B''落在CF上时，求的值.12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥M
C，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，
求的值.13．如图， 是 的直径，点 是 上的一点，点 为弧 的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于点 .
（1）如图1，求证： ；（2）若 的半径为3，求 的最大值；（3）如图2，连接 ，设 ， ，①求 关于 的函数解析
式；②若 ，求 的值.14．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF
，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H.（1）求证：AF⊥BE；（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；（3）
如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值.15．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与
x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线
段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM//OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过
点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条
件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR//MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BR
N=45°时，求点R的坐标．16．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.（1）求证
：AC2＝AB?AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，①求 的值；②求DE的长.参考答案与解析1．【答案】（
1）解：证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CB
D．又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD．∴∠ABD=∠CBD．∴BD平分∠ABC；（2）解：解：过点O作OE⊥BC于E， ∵∠
DAC=45°，∠DAC=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠B AC=90°，∵BD平分∠ABC，∴OE=OA=1．在R
t△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，∴OC= ．2．【答案】（1）解：如图1，过点B作BT⊥DA交DA延长线于T，∵△AB
C、△ADE都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠ABC=45°，∴DT∥BC，∴∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30
°，∵∠T=90°，AB=6，∴BT=AT=，∴BD=2BT=；（2）证明：如图2，延长ED到R，使DR=DE，连接AR、BR，延
长RB交CF的延长线于J，∵∠ADE=90°，∴AD⊥ER，∵DR=DE，∴AD垂直平分RE，∴AR=AE，∵AD=DR=DE，∴
∠RAE=∠BAC=90°，∴∠RAB=∠EAC，∵AR=AE，AB=AC，∴△RAB≌△EAC（SAS），∴∠ABR=∠ACE，
∵∠ABR+∠ABJ=180°，∴∠ACJ+∠ABJ=180°，∴∠J+∠BAC=180°，∵∠BAC=90°，∴∠J=90°，∵
DF⊥CF，∴∠DFC=∠J=90°，∴DF∥RJ，∴，∵DE=DR，∴EM=BM，∴BM= BE；（3）解：．3．【答案】（1）
解：∵抛物线经过原点和点（8，0），∴设抛物线解析式为y=ax（x-8）， ∵点A（3，4）在抛物线上，∴4=a·3·（3-8），
∴a=- ，∴抛物线解析式为y=- x（x-8）=-x2+x.（2）解：∵AB∥x轴， ∴四边形OABC关于抛物线对称轴对称，∴A
OC=∠BCO，∴B（5，4），∵A（3，4），∴AB=2，BC=OA=5，∵四边形OABE的面积为14，∴×（2+OE）×4=1
4∴OE=5，即E（5，0）∴BE⊥OC，∵C（8，0）∴CE=3，BE=4，∴S△BCE= ×3×4=6，∵∠BEF=∠AOC
=∠BCO，∠EBF=∠CBE，∴△BEF∽△BCE，∴，即 ，∴S△ECF= .（3）解：存在点E使得△BEF为等腰三角形，理由
如下： ①当BE=BF时，则∠BEF=∠BFE，∵∠BEF=∠AOC=∠BCO，∴∠BFE=∠BCE，∴EF与EC重合，∴∠BEC
=∠BEF=∠AOC，∴OA∥BE，∵AB∥x轴，∴OE=AB=2，∴E（2，0）②当EB=EF时，则∠EBF=∠EFB，∵△BE
F∽△BCE，∴∠BEC=∠BFE，∴∠BEC=∠EBF，∴EC=BC=5，∴OE=OC-EC=8-5=3，∴E（3，0）；③当F
B=FE时，则∠FBE=∠FEB，∴∠BCO=∠AOC=∠FEB=∠FBE，∴BE=EC，即点E在BC的中垂线上， 如图，过E作E
M⊥BC，垂足为M，过A作AN⊥OC，垂足为N，∴CM=BC=，ON=3，OA=5，∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠EMC=90
°，∴△AON∽△ECM，∴，即，∴EC=，∴OE=OC-EC=8-=，∴E（，0），∴综上所述，存在点E，使得△BEF为等腰三角
形，且点E的坐标为（2，0）或（3，0）或（，0）.4．【答案】（1）y=2（x-2）2+1；y =a（x+h）2 +k（2）解：
由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，由菱形面积公式得OA=8， ∴A点坐标为（0，8）， ∵菱形ABOC
∴ - xB = xC yB = yA∴B点的坐标为（-3，4）， 设一个抛物线的解析式为y=a（x+3）2+4，将A点坐标代
入，得9a+4=8，解得a= ， ∴y= （x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y= （x-3）2+4．（3）解：
①若AO∥CM，则xM = xC = 3， 把xM = 3代入上述两个抛物线解析式，解得y1 = 20， y2 = 4∵C（3,4
），∴y2 = 4舍去，∴M1（3,20） ②若AC∥OM， ∵lAC： ，∴lOM： 与抛物线联立方程 或 或 无
解 ∵B（-3,4），∴ 舍去， ∴M2（-6,8）③若OC∥AM ∵lOC： ，∴lAM： 同②解得 ∵A（0，8） ∴M3
（9,20）综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）5．【答案】（1）30；90（2）解：∵△OAB以O为中
心顺时针旋转得到△OA′B′，∴∠AOB＝∠A''OB''＝45°，∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，∴∠DOB''＝30°，∴∠
AOA''＝180°﹣∠DOB′﹣∠A''OB′＝180°﹣30°﹣45°＝105°，即当α为105°时，OB''平分∠COD；拓展应用
：（3）解：不变，理由如下：∵∠AOA′＝α，∴∠B′OD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∴∠B′OC＝60°﹣（135°﹣
α）＝α﹣75°，设∠A′DC＝β，∴∠A′DO＝90°﹣β，∴∠B′OD+∠A′DO＝∠B''A''D+∠B′，即135°﹣α+90
°﹣β＝∠B''A''D+45°，解得∠B''A''D＝180°﹣α﹣β，∴∠B''A''D+∠B''OC+∠A''DC＝180°﹣α﹣β+α﹣7
5°+β＝105°．6．【答案】（1）解：∵AM∥BN∴∠A+∠ABN=180°又∵BC、BD分别平分∠ABP，∠PBN∴∠CBP
= ∠ABP，∠PBD= ∠PBN又∵∠ABP+∠PBN=∠ABN=180°-∠A=120°∴2∠CBP+2∠PBD=120°
∴∠CBP+∠PBD=60°∴∠CBD=∠CBP+∠PBD= 60°∴∠CBD的度数为60°（2）当点P运动时，∠APB=2∠AD
B不变，理由： AM∥BN∠APB=∠PBN又∵∠ADB=∠DBN= ∠PBN∴∠APB=2∠DBN=2∠PDB ，∴∠APB=
2∠ADB7．【答案】（1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵A
E＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边
形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝ ．∴当t＝ 秒时，四边形AEFD为菱形．（2）解：①当∠DEF＝90°时，由（
1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝
AE＝t，又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝6
0°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况
不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．8．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=
∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE，DE，∴PE∥AB.
∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=4，即x=4.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F，连接PE，若△PFE∽△ABE，则∠
PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=，∴EF=A
E=.∵，∴PE=20，即x=20.∴满足条件的x的值为4或20.9．【答案】（1）解：连结 ， ∵ 垂直 ， ＝ ，∴
＝ ， ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， ，由勾股定理得 ＝ ；即圆O的半径为 。（2）证明：∵ ， ∴ ＝ ＝
， ＝ ，∴ ＝ ，即 ，∴ 是 的切线（3）解：再连结 ， 当 ＝ 时， ＝ ，∴ ＝ ， ＝ ．
10．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，点F为△ACD的内心，∴∠B＝∠ACB，∠ACB＝∠DCB，∴∠B＝∠DCB，∴AB∥CD
（2）证明：∵点F为△ACD的内心，∴∠DAF＝∠CAF，∵，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BCA，∴∠BAD+∠DAF＝∠
BCA+∠CAF，即∠BAF＝∠BFA， ∴AB＝BF（3）解：∵∠BAD＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA， ∴，∴，
∵BE＝4，CE＝5，∴BC＝BE+CE＝4+5=9，∴，∴，（负值舍去）由（2）知AB＝BF，∴，∴．11．【答案】（1）解：
∵Rt△ABC，AB=，BC=，∴AC=∵CG∥AB，∴∠GCF=∠AFC，∵CF平分∠ACD，∴∠GCF=∠ACF，∴∠ACF=
∠AFC，∴AF=AC=，∴BF=，∴在Rt△BCF， CF=；（2）解：①如图，当CE=AE时，可得∠ACF=∠CAE，∴∠CA
E=∠CFA，∵∠ACE=∠FCA，∴△ACE∽△FCA∴∴∴∴∵CD∥AB∴△CDE∽△FAE∴即∴②如图，当AC=CE时∴∵∴
∴- 综上所述，CD=或；（3）解：如图，过点B’作B’M⊥AB于M，DN⊥BF于N，交BB''于点H，连接AB’由（1）可知tan
∠F=设B’M=x，则FM=2x∴在Rt△AB’M中，∴解得：∴∴由垂直可得∠BNH=∠DNA，∵∠BHN=∠DHB''，∴∠ADN
=∠B’BM∴∴∴∴由①12．【答案】（1）证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵点E为CD的中点，∴CE＝CD，∵AB
＝CD，∴，∴，∴AM＝CE（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴
AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A
＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FB
C+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴，由（2
）同理得，，∴，解得：AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴.13．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC， ∵∠
ADC=∠ABC，∴∠ADC=∠DEC，∵点D为弧AB的中点，∴ ，∴∠ACD=∠DCE，∴△ADC∽△DEC；（2）解：∵△AD
C∽△DEC，∴ ，即CD2=CA·CE， 又∵⊙O的半径为3，∴CA·CE=CD2≤62=36.即CA·CE的最大值为36；（3
）解：①∵△ADC∽△DEC，∴∴y=tan∠AEC= 过点D作DF⊥CE，不妨设EF=a，∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°
，∴CF=DF=ax，∴CD= ax，∴y= = = ②∵∴∴ =8：3，即x：y=8：3，将y= x代入y= 得， 解
得，x1=3，x2= 当x= 时，y= 当x=时，y= ∴y= 或 14．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，
∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝9
0°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，A
E＝2，∴BE＝＝4，∵S△ABE＝AB?AE＝BE?AP，∴AP＝在Rt△ABP中，BP＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴
∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴
△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣.（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD
∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QE
P，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a
，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴.15．【答案】（1）
解：∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A（4，0），∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B（1，3），∵抛物线y=ax
2+bx经过A（4，0），B（1，3），∴ ，解得： ，∴a=﹣1，b=4；（2）解：方法一：如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP
交x轴于点E，∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，∵∠BDA=90°，∠BAD
=∠ABD=45°，∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=
45°，∴NF=PF=t，∵∠PFM=∠ECM=90°，∴PF//EC，∴∠MPF=∠MEC，∵ME//OB，∴∠MEC=∠BOD
，∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴ = =3，∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t
=4t；方法二：延长MP交x轴于点M′，作M′N′//MN交AB于N′，延长FP交M′N′于F′，∵M′N′//MN，∴△PMN∽
△PM′N′，∴ ，∵O（0，0），B（1，3），∴KOB=3，∵PM//OB，∴KPM=KOB=3，则lPM：y=3x+b，设P
（p，﹣p+4），则b=4﹣4p，∴lPM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x= ，∴M′（ ，0），∵N′x=M′x，把
x= 代入y=﹣x+4，∴y= ，∴N′（ ， ），∴M′N′= ，∵PF′⊥M′N′，∴PF′=p﹣ = ，∴ ．
（3）解：方法一：如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，∴S△PMN= MN×PF= ×4t×t=2t2，∵∠CAN=∠
ANC，∴CN=AC，∴S△ACN= AC2，∵S△ACN=S△PMN，∴ AC2=2t2，∴AC=2t，∴CN=2t，∴MC=
MN+CN=6t，∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，∴M（4﹣2t，6t），由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，将M（4﹣2
t，6t）代入y=﹣x2+4x得：﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，解得：t1=0（舍），t2= ，∴PF=NF= ，A
C=CN=1，OC=3，MF= ，PN= ，PM= ，AN= ，∵AB=3 ，∴BN=2 ，作NH⊥RQ于点H，∵QR
//MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，∴NH//OC，∴∠HNR=∠NOC，∴
tan∠HNR=tan∠NOC，∴ = = ，设RH=n，则HN=3n，∴RN= n，QN=3 n，∴PQ=QN﹣PN=3
n﹣ ，∵ON= = ，OB= = ，∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，∵PM//OB，∴∠OBN=∠MPB，∴∠
MPB=∠BNO，∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，∴∠BRN=∠MQP，∴△PMQ∽
△NBR，∴ = ，∴ = ，解得：n= ，∴R的横坐标为：3﹣ = ，R的纵坐标为：1﹣ = ，∴R（ ， ）
．方法二：设M（t，﹣t2+4t），N（t，﹣t+4），∴MN=﹣t2+4t+t﹣4=﹣t2+5t﹣4，∴PF= （﹣t2+5t
﹣4），∴S△PMN= （﹣t2+5t﹣4）2= （t﹣4）2（t﹣1）2，∵KAB=﹣1，∴∠OAB=45°，∴CA=CN=
4﹣t，∴S△ACN= （t﹣4）2，∵S△ACN=S△PMN，∴ （t﹣4）2（t﹣1）2= （t﹣4）2，∴t1=﹣1，（舍），t2=3，∴M（3，3），∵MX=NX=3，∴N（3，1），∴ON= ，∵B（1，3），∴OB= ，∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，∵OB//MP∴∠OBN=∠QPM，∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∴∠BRN=∠MQP，∴△BRN∽△MQP，∴ ，∵KPM=3，M（3，3），∴lPM：y=3x﹣6，∵lAB：y=﹣x+4，∴P（2.5，1.5），设R（3t，t），∴Q（3t，﹣3t+4），∴ ，∴t1= ，t2= （舍），∴R（ ， ）．16．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△DCA∽△CBA，∴ ，∴AC2＝AB?AD（2）证明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB， ∴CE＝AE＝EB，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠DAC＝∠ACE，∴AD∥EC.（3）解：①∵CE＝ AB＝3，AD∥CE， ∴ ，∴ ；②∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2.∵AC2＝AD?AB，∴AD2+CD2＝AD?AB.∵AD＝4，AB＝6，∴CD2＝8，∴CD＝ .∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝3.∵CE∥AD，∴∠ADC+∠DCE＝180°.∴∠DCE＝180°﹣∠ADC＝90°.∴DE＝ ＝ ＝ 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 31 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司