中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，
设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是
矩形？并证明你的结论．2．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC ，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。（1）求证：AB
=DF；（2）若CE=1，AF=3，求DF的长。3．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D
在同一直线上，且AB∥DE，连接AE.（1）求证：△ABC≌△DCE.（2）当BC=5，AC=12时，求AE的长.4．如图1，将两
个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC
绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是 ；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1
与S2的数量关系是 .（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分
别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，B
D=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使 ，请直接写出相应的BF的长.5．如图, , ,
. （1）求证: :（2）求 的度数.6．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6c
m，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．7．在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC
上取一点E，连接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于点G，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，∠EAC=∠DEF．（1）当
点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC=∠AEC；②若DF=3，求BE的长度；（2）当点E在BC上，
点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的长度．8．如图1，在 中， ， ，点 、 分别
在边 、 上， ，连接 .将 绕点 顺时针方向旋转，记旋转角为 . （1）（问题发现）①当 时， ；②当 时
， ；（2）（拓展研究）试判断：当 时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题解决）在旋转过程中，求出
的最大值.9．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF
，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求 的值；②若点G为AE上一点，求OG+
EG最小值．10．如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边、上，的延长线交的延长线于点G，且． （1）求证：；（2）如果点F是边的
中点，求的值；（3）延长、交于点H，联结、，如果与相似，求线段的长．11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为
圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且 ，连接OA、OF． （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若
∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．12．在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC= ，过点C作CD∥AB，点E在边A
C上，AE=CD，联结AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y． （1）求证：∠A
BE=∠CAD．（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域．（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．
13．在 中， ， ， ，点 ，点 同时从点 出发，点 沿边 以 的速度向点 运动，点 从点 出发，沿边
以 的速度向点 运动（点 不与 ， 重合，点 不与 ， 重合），设运动时间为 . （1）求证： ；（2）当
为何值时，以 为直径的 与直线 相切？（3）把 沿直线 折叠得到 ，若 与梯形 重叠部分的面积为 ，试求
关于 的函数表达式，并求 为何值时， 的值最大，最大值是多少？14．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点
C作 ，且 .连接AD，分别交 于点E，F，与 交于点G，若 . （1）求证：① ；②CD是 的切线.（2）求 的
值. 15．小东在做九上课本123页习题：“1： 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使
AP：AB＝1： ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点
P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”． （1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和
探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠
CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣
点”？并说明理由．16．在等腰 中， ，点D，E在射线 上， ，过点E作 ，交射线 于点F．请解答下列问题： （1）
当点E在线段 上， 是 的角平分线时，如图①，求证： ；（提示：延长 ， 交于点M．）（2）当点E在线段 的延长线上
， 是 的角平分线时，如图②；当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 ， ， 之间
的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若 ，则 ．参考答案与解析1．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，CE平
分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF
（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠AC
F= ∠BCD，∴∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形2．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中 ∴BC=AD AD∥BC，
∠B=∠C=90°∴∠DAF=∠AEB∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°=∠B，AE=AD∴△ABE≌△DFA，∴AB=
DF（2）解：由(1)可得△ABE≌△DFA，∴AF=BE=3，DF=AB=CD ∴∠DFE=∠DCE ∴△DFE≌△DCE，∴C
E=EF=1，AE=4 在Rt△ABE中，AB= = 3．【答案】（1）证明：AB∥DE，∴∠BAC=∠D.在△ABC和△DCE
中，△ABC≌△DCE（AAS）（2）解：由（1）可得△ABC≌△DCE，CE=BC=5，在Rt△ACE中，AE===13.4．【
答案】（1）DE∥AC；S1＝S2（2）解：如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠B
CN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中， ，∴△ACN≌△DC
M（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2（3）解：如图，过点D
作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF
2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD= ∠ABC=30°，
∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°
，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB= ×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中， ，∴△CDF1≌△CD
F2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= ×
60°=30°，又∵BD=4，∴BE= ×4÷cos30°=2÷ = ，∴BF1= ，BF2=BF1+F1F2= +
= ，故BF的长为 或 ．5．【答案】（1）解：∵∠1+∠DFE=180°， ∴∠1+∠2=180°.∴∠DFE=∠2，∴
EF//AB；（2）解：∵EF//AB， ∴∠DEF=∠BDE.又∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE//AC，∴∠ACB
=∠DEB.又∵∠DEB=70°，∴∠ACB=70°.6．【答案】（1）解：连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠
OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBE+∠OCF=90°，∴∠BOC=90
° （2）解：由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC= =10cm，∴BE+CG=B
C=10cm （3）解：∵OF⊥BC，∴∠BFO=∠OFC=90°∵∠BOC=90°∴∠BOF+∠COF=90°，∠COF+∠FC
O=90°。∴∠BOF=∠FCO∴△FCO∽△FOB∴∴OF= =4.8cm7．【答案】（1）解：如图1， ①证明：∵DF∥A
C，∴∠DFE=∠ACE．在△ACE和△EFD中， ，∴△ACE≌△EFD（AAS），∴∠AEC=∠EDF．∵DF∥AC，∴∠EG
C=∠EDF，∴∠EGC=∠AEC；②∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴ ．∵D为AB的中点，∴ ，∴BF= BC，DF=
AC．∴BF=CF，AC=2DF=6，∵△ACE≌△EFD，∴AC=EF=6，CE=FD=3．∴BF=FC=EF-CE=3，∴B
E=9；（2）解：∵DF∥AC， ∴∠ACE=∠EFD．在△ACE和△EFD中， ，∴△ACE≌△EFD（AAS），∴CE=FD
=10，AC=EF．∵DF∥AC，∴△DEF∽△GEC，∴ ．∵5EG=2DE，CE=FD=10，∴EF=25，GC=4，∴AG=
AC-GC=EF-GC=25-4=21．8．【答案】（1）；（2）解：当 时， 的大小没有变化. 证明：在 中，∵ ，
，∴ ，∴ ，同理 ， ，∴ ，∵ ，∴∴ ，∴ ∽ ，∴ .（3）解：如图，当点 在 的延长线上时， 最大，其最大值
为 ， 在 中， ，∴ ，∴ ，由（1）知， ，∴ ，∴ ，∴9．【答案】（1）证明：连接OE ∵OA＝OE∴∠OAE
＝∠OEA∵AE平分∠BAF∴∠OAE＝∠EAF∴∠OEA＝∠EAF∴OE∥AD∵ED⊥AF∴∠D＝90°∴∠OED＝180°﹣∠
D＝90°∴OE⊥DE∴DE是⊙O的切线（2）解：①连接BE ∵AB是⊙O直径∴∠AEB＝90°∴∠BED＝∠D＝90°，∠BA
E+∠ABE＝90°∵BC是⊙O的切线∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°∴∠BAE＝∠CBE∵∠DAE＝∠BAE∴∠DAE＝∠
CBE∴△ADE∽△BEC∴∵DE＝3，CE＝2∴②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB
于Q∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形∴∠EPG＝90°，PQ＝OG∵∴设BC＝2x，AE＝3x∴AC＝AE+CE＝3x+2
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C∴△BEC∽△ABC∴∴BC2＝AC?CE 即（2x）2＝2（3x+2）解得：x1＝2，
x2＝﹣ （舍去）∴BC＝4，AE＝6，AC＝8∴sin∠BAC＝ ，∴∠BAC＝30°∴∠EGP＝∠BAC＝30°∴PE＝
EG∴OG+ EG＝PQ+PE∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短∵EH＝ AE＝3∴OG+
EG的最小值为3。10．【答案】（1）证明：联结 ． ∵菱形 ，∴ ， ．又∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．又∵ ，∴
∽ ．∴ ．∴ ．（2）解：过A作 ，垂足为点H． ∵菱形 ，∴ ．∴ ．∵点F是边 的中点，∴ ．∴ ．设 ，则
．∴ ．∵ ， ．在 中， ，又 ∴ ．∴ ， ．在 中， ，∴ ．∴ ．解之得 ．∴ ．（3）解：∵ ， ∴当
或 ， 与 相似．（ⅰ）当 时，∵ ， ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．又∵ ，∴ ∽ ．∴ ．又 ，∴ ．∵ ，∴
．∴ ．（ⅱ）当 时，同理可得 ∽ ．∴ ．又 ，∴ ．∴ ．11．【答案】（1）证明：∵ ,∴∠CBD=∠ABD，∵C
D∥AB，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，∵BE是⊙O的直径，∴ ,∴ ,∴AB=BC=CD，∵CD∥A
B，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵∠AOF=3∠FOE， 设∠FOE=x，则∠AOF=3x，∠AOD=∠FOE+∠AOF=
4x，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA= （180-3x）°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=2x，∴∠ABC=4x，∵B
C∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴4x+2x+ （180-3x）=180，x=20°，∴∠ABC=80°．12．【答案
】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠BAC=∠ECD，又∵AE=CD，AB=AC，∴△DAC≌△EBA（SAS），∴∠ABE=∠C
AD（2）解：过点E作EH⊥AB，垂足为H， 由题意知CE=AC-AE=10-x，EH=AEsin∠CAB= x，∴AH=
x，则S△ABE= AB?EH= ×10× x=3x，∵CF∥BA，∴△CEF∽△AEB，∴ =（ ）2，即 = ，∴
y= （0＜x≤5 -5）（3）解：∵∠DFG=∠EBA＜∠ABC， ∴∠DFG不可能为直角，①当∠DGF=90°时，∠EG
A=90°，由∠GAE=∠GBA知△GAE∽△GBA，∴tan∠GBA= = = ，在Rt△EHB中，tan∠GBA= =
= ，∴ = ，解得：x=0（舍）或x=5，∴S△CEF= =15；②当∠GDF=90°时，∠BAG=90°，由①知△G
AE∽△GBA，则∠AEB=∠GEA=90°，∴BE=ABsin∠BAC=10× =6，AE= =8，CE=AC-AE=2，由
△CEF∽△AEB知 = ，即 = ，则EF= ，∴S△CEF= ×EF×CE= ×2× = ；综上所述，若△D
FG是直角三角形，则△CEF的面积为15或 13．【答案】（1）证明：∵ ， ， ， ， ∴ ，又∵ ， ∽ .（2）解：
在 中， ∵由（1）知∴ ∽ . 的直径 的半径 ，可求得圆心 到直线 的距离 与直线 相切∴ 即 ，解得 ∴当
时， 与直线 相切（3）解：当 点落在直线 上时，则点 为 的中点， 故以下分两种情况讨论：①当 时， 当
时， .②当 时，设 交 于 ， 交 于 由翻折知： ， 又∵由 ∽ 得 ∴ ， ，∴ ， ∽ ∴ ， ∵
∽ .∴ 当 时， .综上所述， ，当 时， 值最大，最大值是 .14．【答案】（1）证明：①∵ ， ∴∠D=∠
A，且对顶角∠CFD=∠BFA，∴ ；②∵OB=CO，∴∠OCB=∠ABC=45°，∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90
°，∵ ，∴∠OCD=∠COB=90°，∴CD是圆O的切线（2）解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示： ∵ 且CD=BO
，∴四边形COBD为平行四边形，∵∠COD=90°，CO=BO，∴四边形COBD为正方形，由(1)知： ，∴ ，∵CE∥DB，∴
，∴ ，即E为CO的中点，∵AB是半圆的直径，∴∠AGB=∠BGD=90°，∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠
EDC，∴∠GBD=∠EDC，且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，∴△BDM≌△DCE(ASA)，∴DM=CE，即M为CD的
中点，设CM=x，则DB=CD=2x， ，由勾股定理知： ，在Rt△MBD中由等面积法知： ，代入数据得到： ，解得 ，
在Rt△DGB中由勾股定理可知： ，又 且其相似比为 ，∴ ，在Rt△BFG中由勾股定理可知： ，∴ ，∴15．【答案】（
1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：， 又∵以点A为圆心，AC
长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B
=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-4
5°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠AP
C=112.5°-67.5°=45°； ②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：，∵
AC：AB=1：，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠C
PD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°， 又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴
∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°， 又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：，∴MN：ME=1：， 点N是ME的“趣点”.16．【答案】（1）解：如图①，延长 ， 交于点M．∵ ， ∴∠A=∠BCA=∠EFA，∴AE=EF∴∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD又∵∠FCM=∠BCM，∴∠M=∠FCM∴CF=MF又∵BD=DE∴∴ME=BC∴CF=MF=ME+EF=BC+AE即AE+BC=CF；（2）解：当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，BC=AE+CF，如图②，延长 ，EF交于点M．由①同理可证 ，∴ME=BC由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，AE=CF+BC.如图③，延长 交EF于点M，由上述证明过程易得 ，BC=EM，CF=FM，又∵AB=BC，∴∠ACB=∠CAB=∠FAE∵∴∠F=∠FCB，∴EF=AE，∴AE=FE=FM+ME=CF+BC（3）18或6第 1 页 共 27 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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