中考数学模拟题汇总《图形的相似》专项练习及答案解析一、综合题1．如图，在菱形 中，延长 到E，延长 到F，使 ，连接 ，连接 并
延长交 于点G． （1）求证： ；（2）连接 交 于 ，过B作 于点M，若 ，C为 中点，求 的长．2．如图1
，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2=DE2，则称DE为Rt△ABC的“完美分割线”，显然
，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线。（1）如图1，AB=10，cosA= ，AD=3，若DE为完美分割
线，则BE的长是 。 （2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP=DA，过点P画PE⊥PD交
BC于点E，结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线。（3）如图3，在Rt△ABC中，AC=10，BC=5，DE是其完美分割线
，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值。3．如图，在△ABC中，AB=9，BC=6．（1）在AB上求作点E，
使得EA=EC；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠ACB=2∠A，求AE的长．4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y
=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C． （1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点
D的坐标； （2）求∠CAD的正弦值； （3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标． 5．已知，如
图， 是 的直径，点 为 上一点， 于点 ，交 于点 . 与 交于点 ，点 为 的延长线上一点，且 .
（1）求证： 是 的切线； （2）求证： . 6．如图，在梯形 中， ， ， ， ， ． （1）求线段
的长；（2）联结 ，交对角线 于点 ，求 的余切值．7．如图，反比例函数 的图象经过点 ，射线 与反比例函数的图
象的另一个交点为 ,射线 与x轴交于点E,与y轴交于点 轴， 垂足为D． （1）求反比例函数的解析式;（2）求 的长（3
）在x轴上是否存在点P，使得 与 相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在△ABC中，AB＝
AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．9．
如图，在直角三角形ABC中，直角边，．设P，Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿B
C方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒．（1）当t为何值时
，是以为顶角的等腰三角形？（2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．10．如图，在△ABC中，∠ABC=
90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理
由;（2）求证：BC2=CD?2OE;（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是
边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形
的边长为4，求BG的长．12．如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上. 图1（1）△ABC与△DE
F是否相似？请说明理由；（2）请在空白网格上画出△MNP～△ABC，并指出相似比.△MNP～△ABC ,相似比为 （要求△MNP三
个顶点都在格点上，并与△ABC、△DEF都不全等）13．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、
E、F． （1）如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长； （2）如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE的
长． 14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为 ，且 ， 轴于点H，过B作 轴交过点A的反比例函数 于点C，连接
交 于点D，交 于点M. （1）求该反比例函数的表达式；（2）求 的值. 15．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A
BC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值．16．阅读与思考请阅读下列材料，并完成
相应的任务．《周髀算经》的启示早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等
于五，即“勾三，股四，弦五”. 它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中. 如图，已知 是大家熟悉的勾三，股四，弦五的三角形
，即 ，在其内部作正方形 和正方形 ，点 在边 上，点 在边 上，点M在边 上，则 . 下面是一位同学的部分证明
过程：证明：∵四边形 是正方形，∴ . ∴ . ∵四边形 是正方形，∴ ．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余
部分；（2）若正方形 的边长为1，求正方形 的边长． 参考答案与解析1．【答案】（1）解：∵四边形 是菱形∴∵∴∴（2）解
：∵菱形 ∴ ，AO=OC= ，∵∴ ，∴四边形 是矩形∵C为 中点，∴∵ ，∴BO=1，∴ ．∵∴ ．2．【答案】（1）（
2）解：如图2， ∵DA=DP，∴∠DAP=∠DPA∵PE⊥PD，∴∠DPA+∠EPB=90°又∠A+∠B=90°，∴∠EPB=∠
B，∴EP=EB----6分∴AD2+BE2=DP2+EP2=DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线（3）解：延长DP至点F，使
得PF=DP，连结BF，PF，EF， ∵AP=BP，∠APD=∠BPF，∴△APD≌△BPF。∴AD=BF，∠A=∠FBP。∴∠E
BF=∠CBA+∠FBP=∠CBA+∠A=90°∵DE是完美分割线，∴DE2=AD2+BE2=BF2+BE2=EF2，即ED=EF
又PD=PF，∴∠EPD=90°法一：∴点C，D，P，E出现在以DE为直径的圆上，连结CP，则∠EDP=∠PCE=∠PBC。∴co
s∠PDE=cosB= 法二：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD=∠NPE=90°-∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴∴c
os∠PDE= 3．【答案】（1）解：如图，点E即为所求作的点，（2）解： 而AB=9，BC=6．4．【答案】（1）解：∵二次函数
y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1）， ∴ ，解得 ，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，顶
点D的坐标为（1，4）（2）解：如图所示， 在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，∴C（0，3）∵A（3，0），D（1，
4），∴CD= ，AC=3 ，AD=2 ，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴sin∠A
CD= = = （3）解：∵直线CD经过C（0，3），D（1，4）， ∴设可设直线CD为y=kx+b，则 ，解得 ，∴直线
CD为y=x+3，设点P的坐标为（a，a+3），①如图所示，当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E，则PE=a+3，AE=3﹣
a，∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AEP，∴ = ，即 = ，解得a=﹣ ，∴a+3=
，∴此时P的坐标为（﹣ ， ）；②如图所示，当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，则PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，
∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AFP，∴ = ，即 = ，解得a=﹣6，∴a+3=﹣3，∴
此时P的坐标为（﹣6，﹣3）；综上所述，点P的坐标为 5．【答案】（1）证明：∵ ， 又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即
，∴ ，∴ 是 的切线（2）证明：连接 ，如图所示： ∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴6．【答案】（1）解：作BE垂
直AC于E， ∵ ，BC=5，∴EC=3，由勾股定理可得：BE=4，∵∠BAC=45°，∴AE=BE，∴AE=4，∴AC=AE+
EC=4+3=7，即AC的长为7，（2）解：由题意作图， ∵AD‖BC，∴∠OBC=∠ADO，∴AO:OC=AD:BC(平行线分
线段成比例)，∴AO:OC=2：5，∵AC=7，∴OC=5，做OP垂直BC于P，∵ ，∴PC=3，由勾股定理可得：OP=4，∵BC
=5，∴BP=2,∴ 的余切值为 = = ，即 的余切值为 ．7．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，∴
，∴反比例函数的解析式为： ；（2）解：过点B作 于点M，把 代入 ，得： ，∴ ， ， ，∴ ；（3）解：∵AD⊥y
轴， ∴AD∥x轴，∴∠1=∠OEC=∠DAC=30°，①当 轴时， ，此时： ；②当 时， ， ， ，∴ ．综上所述
： ， ．8．【答案】（1）解：证明：连结AE ∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，而AB＝AC，∴BE＝
CE；（2）解：连结DE,AE,CD则CD⊥AB， ∵BE＝CE＝3，∴BC＝6，∵∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴
△BED∽△BAC，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴BA＝9，∴AC＝BA＝9．∴AD＝7，CD= = ，∴9．【答案】（1）解：
∵直角边，，∴由勾股定理可得，，∴，，，∵是以为顶角的等腰三角形，∴BP=BQ，即5-t=t，解得秒，∴当秒，是以为顶角的等腰三角
形；（2）解：能．理由：当△PBQ∽△ABC时，，即，解得：秒；当△PBQ∽△CBA时，，即，解得：秒，∴当或秒时，与直角三角形A
BC相似．10．【答案】（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+
∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线.（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB
的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC?CD
．∴BC2=2CD?OE.（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，∴AC=
15．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．11．【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°
，∵AE=ED，∴ ，∵DF= DC，∴ ，∴ ，∴△ABE∽△DEF（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴ ，又∵DF
= DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=1012．【答案】（1）结论：△ABC∽△DEF∵∴∴，∴
△ABC∽△DEF.（2）13．【答案】（1）解：∵AD∥BE∥CF，∴ ，∵AB=6，BC=8，DF=21，∴ ，∴DE=9（2
）解：过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG=BH=AD=9，∴GF=14﹣9=5，∵HE∥GF，∴ ，∵DE：D
F=2：5，GF=5，∴ ，∴HE=2，∴BE=9+2=11．14．【答案】（1）解：∵点B的坐标为 ，且 ， 轴， ∴O
B=6，OH=HB=3，∴AH= =4，∴A（3，4），∴k=3×4=12，∴该反比例函数的表达式为： .（2）解：∵点B的坐
标为 ， ， 轴交过点A的反比例函数 于点C ∴y= =2，∴点C（6，2），∴BC=2，设OC的解析式为y=kx，∴
2=6k，∴k= ，∴OC的解析式为y= x，当x=3时，y= x=1，∴点M（3，1），∴MH=1，∴AM=3，∵ 轴，
轴，∴AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴AD：DB=AM：BC=3：2.15．【答案】（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，∴
EF∥AB，EF= AB，而CD∥AB，CD= AB，∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DO
C（2）解：∵EF∥AB，∴∠OEF=∠CAB，∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = （3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴ = ，即EG= CD，同理FH= CD，∴ = = 16．【答案】（1）解：∵四边形 是正方形， ∴ . ∴ . ∵四边形 是正方形，∴ ．又∵ ，∴ .∴ .在 和 中，∴ . ∴ ；（2）解：如图，过点N作 于点P，设 的长为x∵四边形 是正方形，∴ . 又∵ ，∴∴在 和 中，∴由（1）得 . ∴∴ .∵ ，∴ . ∴∴ . 同理， ，∴ . ∴ ， . ∴解得 .∴在 中， . ∴正方形 的边长为 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 22 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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