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2023高考数学逆袭系列之微专题3 三角中的最值、范围问题
2023-03-17 | 阅:
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1真题演练 感悟高考上篇微专题3 三角中的最值、范围问题板块一 三角函数与平面向量真题演练 感悟高考热点聚焦 分类突破高分训练 对接高考以三
角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点,常用的方法主要有:函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.A因为
f(x)在[-a,a]上是减函数,法二 因为f(x)=cos x-sin x,所以f′(x)=-sin x-cos x,则由题意,
知f′(x)=-sin x-cos x≤0在[-a,a]上恒成立,即sin x+cos x≥0,C60°(2,+∞)所以∠B=60
°.因为∠C为钝角,所以0°<∠A<30°,所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,所以cos(A+B)=si
n B,解 由(1)得cos(A+B)=sin B,2热点聚焦 分类突破核心归纳热点一 三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或
范围问题,首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式,接着利用三角函数的有界性或单调性求解. 求三角函数式的最值范围问题要注意:(1
)把三角函数式正确地化简成单一函数形式;(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx+φ的范围,从而根据三角函数的单调性求范围.易错提
醒解 f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin(ωx+φ),得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).显
然,函数f(x)在该区间上没有最大值.热点二 与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题,主要分为三类,其共同的解法
是将y=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看作一个整体,结合正弦函数的图象与性质进行求解. 核心归纳B解析 因为ω>0,BD 由函数
f(x)在区间(π,2π)上没有零点,知其最小正周期T≥2π,当x∈(π,2π)时,因为0<ω≤1,故选D.由三角函数的性质求解参
数,首先将解析式化简,利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式,进而求出参数的值或范围.规律方法AA热点三 三角形中有关量的
最值或范围核心归纳三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出
相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函
数形式.(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 解 由已知得6sin2A+cos A=5,整理得6cos2A-
cos A-1=0,(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.即b2+c2=4+bc,求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及
求范围的问题,一定要搞清楚变量的范围,若已知边的范围,求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C
=π,0
所以b+c≤8,又b+c>a=4,所以L=a+b+c∈(8,12].3高分训练 对接高考A一、基本技能练故ω的最小值为2.BA解析
因为asin A+2csin C=2bsin Ccos A,由正弦定理可得,a2+2c2=2bccos A,①由余弦定理得,a2
=b2+c2-2bccos A,②①+②得2a2=b2-c2,A∴(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理,得(2sin
A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得sin(B+C)=2sin Acos B,∵A∈(0,π),∴sin A≠
0.由余弦定理可得16=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,∴ac≤16,当且仅当a=c时取等号,
B因为0
_______.点,则ω的取值范围是________.又f(x)在[0,π]上恰有一个最大值点和两个零点,9.在△ABC中,内角A
,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的角平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为______
__.9解析 因为∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=60°,化简得ac=a+c,当且仅当c
=2a时取等号,故4a+c的最小值为9.当且仅当b=c时等号成立,证明 由a=btan A及正弦定理,所以sin B=cos A,
又B为钝角,(2)求sin A+sin C的取值范围.解 由已知得a=(-sin x,cos x),解 在锐角△ABC中,因为a2
=b2+c2-2bccos A,所以12=b2+c2-bc,所以b2+c2=bc+12≥2bc,二、创新拓展练A13.设锐角△AB
C的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )解析 ∵B=2A,∴sin B=sin
2A=2sin Acos A.∵a=1,∴b=2acos A=2cos A.又△ABC为锐角三角形,CD解析 因为x∈[0,2π]
,画出y=cos t的图象如图所示.由图象可知,若f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点,故f(x)在(0,2π)上可能有5
,6或7个零点,故A错误;f(x)在(0,2π)上可能有2或3个极大值点,故B错误;ABD15.(多选)在△ABC中,内角A,B,
C的对边分别为a,b,c,且c=6,记S为△ABC的面积,则下列说法正确的是( )解析 对于选项A,对角C由余弦定理
得36=c2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b=6时取等号,故A正确;对于选项B,对角A用余弦定理得对于选项C
,若a=2b,由三边关系可得a-b=b
2-a2),即sin B=2sin Acos A=sin 2A,所以B=2A或B+2A=π.当B+2A=π时,A=C,与a≠c矛盾,故舍去,所以B=2A.=cos 2A+2(cos A-3)·cos A=4cos2 A-6cos A-1THANKS本节内容结束
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