上篇微专题5 与平面向量有关的最值、范围问题板块一 三角函数与平面向量真题演练 感悟高考热点聚焦 分类突破高分训练 对接高考与平面向量有关的
最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.1真题演练 感悟高考A所以点
B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.法二 由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0
.取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.A解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1，0)，D(
0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为：y＝－2x＋2，⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，因为P点坐标可表示为x＝1
＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，D A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6]解析
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，解析
以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设P(x，y)，因为cos 22.5°
≤|OP|≤1，2热点聚焦 分类突破核心归纳热点一 向量模的最值、范围向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“
形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求. B两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)
2，即6(a·b)2＋a·b－1＝0，所以a·b≤0，(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|
c－b|的取值范围是____________________.解析 由a，b是单位向量，且a·b＝0，则可设a＝(1，0)，b＝(
0，1)，c＝(x，y).∵向量c满足|c－a＋b|＝1，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，它表示圆心为C(1，－1)，半径为r＝
1的圆，模的范围或最值常见方法(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；(2)数形结合；(3)坐标法.规律方法解析 如图，以DA，D
C所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，设P(0，b)(0≤b≤a)
，即当3a＝4b时，取得最小值5.5(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最
大值为________.1解析 法一 由题意可知，|a|＝|b|＝|c|＝1，又∵a·b＝0且(a－c)·(b－c)≤0，∴a·b
－a·c－c·b＋|c|2≤0，即a·c＋c·b≥1，c·(a＋b)≥1，法二 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1
－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1，热点二 向量数量积的最值、范围数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向
量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底
表示后，再运算. 核心归纳A解析 法一 如图，结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其
中选择的变量要有可操作性.规律方法A解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，所以B(2，0)，D(0，1)，
C(1，1)，所以M(2－2λ，λ)，热点三 向量夹角的最值、范围核心归纳求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数
值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系. 例3 若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝
6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________.解析 设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，设a，b
的夹角为θ，a·c＝2x1＝2?x1＝1，b·c＝2x2＝6?x2＝3，∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，本题考查向量夹角取值
范围的计算，解题的关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等式来求解.规律方法热点四 向量系数的最值、范围核心归纳此类问题一般要
利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解. 解析 ∵点P是△GBC内一点，则λ＋
μ<1，当且仅当点P在线段BC上时λ＋μ最大等于1，当P和G重合时，λ＋μ最小，平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模
、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.规律方法B解析 如图所示，3高分训练 对接高
考C一、基本技能练AA.13 B.15 C.19 D.21B3.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b
－ta|的最小值为1，则( ) A.若θ确定，则|a|唯一确定 B.若θ确定，则|b|唯一确定 C.若|a|确定，则θ唯一确定
D.若|b|确定，则θ唯一确定解析 由|b－ta|的最小值为1知(b－ta)2的最小值为1，令f(t)＝(b－ta)2，即f(t)
＝b2－2ta·b＋t2a2，化简得b2(1－cos2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.CA.[6，12]
B.[6，16] C.[8，12] D.[8，16]A如图所示，因B为锐角，故A只能在弧A1C上(端点除外)，CC由平面向量
模的三角不等式可得A解析 如图所示，建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，设P(x，
y)，＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4，综上，故选A.的取值范围是_______
_.解析 由题意，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，角的取值范围是________.解析 根据题意，设|a＋b|＝
t，则|a|＝|b|＝λt，设a与a＋b的夹角为θ，由|a＋b|＝t，得a2＋2a·b＋b2＝t2，又|a|＝|b|，又点E在线段
AD上移动，二、创新拓展练CA.18 B.24 C.36 D.48解析 骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作
圆周运动.如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，解析 设等边△ABC的边长为a，解
得a＝6，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为M为△ABC的内心，由|MN|＝1，得点N
在以M为圆心，1为半径的圆上.1的最小值为________.∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，解析 法一 设e1＝(1
，0)，e2＝(x，y)，则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)，2e1－e2＝(2－x，－y)，得(x－2)2＋y2≤2.又有
x2＋y2＝1，则(x－2)2＋1－x2≤2，所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，
a，b的夹角为θ，法三 由题意，不妨设e1＝(1，0)，e2＝(cos x，sin x).得5－4cos x≤2，易知a＝(1＋cos x，sin x)，b＝(3＋cos x，sin x)，所以a·b＝(1＋cos x)(3＋cos x)＋sin2x＝4＋4cos x，|a|2＝(1＋cos x)2＋sin2 x＝2＋2cos x，|b|2＝(3＋cos x)2＋sin2 x＝10＋6cos x，不妨设m＝cos x，THANKS本节内容结束 |
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