上篇板块一 三角函数与平面向量微专题7 等和线、奔驰定理、三角形四心题型聚焦 分类突破高分训练 对接高考1.平面向量等和线定理(1)当等和线
恰为直线AB时，k＝1，(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞
)；(4)当等和线过O点时，k＝0.2.三角形“四心”3.奔驰定理由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定
理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.1题型聚焦 分
类突破核心归纳类型一 利用等和线求基底系数和的值利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件
的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 解析 法一(通法) 由题意作图如图.设AF与BC的延长线交
于点H，易知AF＝FH，B解析 法一(通法) ∵E为线段AO的中点，法二(等和线法) 如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行
线，设λ＋μ＝k，类型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结
合动点的允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值和最小值. 核心归纳2解析 法一(
通法)则C(cos α，sin α)，法二(等和线法) 如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直
线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，即x＋y的最大值为2.解析 法一(通法) ∴(x，y)＝λ(0，1)＋
μ(2，0)＝(2μ，λ)，显然k的最小值为1，类型三 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题核心归纳CA.2 B.3 C.
4 D.5所以A，B，M三点共线，解得m＝4.BA.14∶3 B.19∶4C.24∶5 D.29∶6∴以PQ为底的△PQR与△
PQB的高之比为1∶3，∴S△PQB＝3S△PQR，即S△PRB＝2S△PQR，∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3，
∴S△BCR＝3S△PBR＝6S△PQR，∴S△PBC＝2S△PBR＝4S△PQR，同理可得S△ACP＝S△ABQ＝6S△PQR，
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.4解析 法一(通法) 又∵D为AB的中点，法二(奔驰定理法) 根据奔驰定理
，类型四 与三角形四心有关的问题核心归纳所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一
点，统称为三角形的中心.解题时，要结合题目已知条件，充分利用各“心”的性质，巧妙转化. 解析 如图，因为O是重心，因为P，O，Q
三点共线，解析 由G是△ABC的重心，2高分训练 对接高考A一、基本技能练A法二(等和线法) 如图，BC为值是1的等和线，过N作B
C的平行线，设λ＋μ＝k，A∴一定通过△ABC的内心.B连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，∴m＝3.D故H是△ABC的垂
心.C故点O是BC的中点，且△ABC是直角三角形，又△ABC的外接圆半径为1，AA∴O是△ABC的重心，解析 法一(通法) 设AC
的中点为D，A即M为BD的中点，A＋μ的值为________.解析 如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，二、创新拓展练
CA.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4]解析 (等和线法)设λ＋μ＝k，则直线BC为k＝1
的等和线，所有与BC平行的直线中，过点A时，k＝0，过点D的距离BC最远，由于△BCD与△ABC的面积之比为2，故二者的高之比也是
2，故k的最大值为3，即λ＋μ∈[0，3].D解析 ∵动点P满足∴P的轨迹为以D为圆心，1为半径的圆及内部，设圆D与边AB交于点B
1，连接B1C，则B1C⊥AB，且B1是AB中点，∵x＋y≥1，由等和线性质知P点在直线B1C左下方，如图，作直线B1C的平行线l
与圆D相切于P，由等和线性质知，此时2x＋y有最大值，延长AB交l于点B2，[3，4]设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，
AD＝4，故α＋β∈[3，4].60°解析 ∵G是△ABC的重心，∴sin A＝sin B＝sin C，即a＝b＝c，则△ABC是等边三角形，故B＝60°.THANKS本节内容结束 |
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