探析中求锐角三角函数值之策略

探析中求锐角三角函数值之策略在九年级数学中，我们学习了直角三角形的边角关系，它是现实世界中应用广泛的关系之一。而锐角三角函数实现了直角三角形
边角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示了出来。在不利用计算器的情况下，如何求一个锐角的三角函数值呢？一、求特殊锐角三角函数值1
、求30?、45?、60?的三角函数值。解题策略：如右图所示，画一个锐角是30?的直角三角形和一个等腰直角三角形，然后利用取“特殊
值”法，根据锐角三角函数定义，写出锐角三角函数值即可。如图①所示，sin30?=，cos30?=，tan30?=；sin60?=，
cos60?=，tan60?=。图②45?30?60?12图①如图②所示，sin45?=，cos45?=，tan45?=1。图③3
0?15?2、求22.5?、67.5?、15?、75?正切值。解题策略：如图③所示，延长CA至点E，使AE=AB，连接BE。22.
5?图④45?22.5?则tan15?=2-，tan75?=2+如图④所示，延长CB至点E，使BE=BA，连接AE。则tan22.
5?=-1，tan67.5?=+1求一般锐角三角函数值 1、定义法图⑤ 解题策略：根据题目条件易求出直角三角形的边长，然后根据锐角
三角函数定义，求出锐角三角函数值。如图⑤所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，AB＝5，AC＝4，求∠A的三角函数值。解：∵在Rt
△ABC中，∠C＝90?，AB＝5，AC＝4。∴BC==3∴sinA= ，cosA= ，tanA=。2、活“雷锋”法 解题策略：活
“雷锋”法，即设“参数”法，根据题目条件，设出相关参数，其中所设参数在解题过程中被约分掉，从而求出锐角三角函数值的方法。因“参数”
助我们解决了问题，而悄悄地消失了，于是称这个参数为“活雷锋”，为了加深学生的形象记忆，便把设“参数”法叫做活“雷锋”法。a: 当已
知直角三角形边之间的数量关系时图⑥如⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若2a＝b，求
∠A的三角函数值。解：设b=2k（k≠0）则a=k∵∠C＝90?∴c==k∴sinA===，cosA===，tanA===b: 当
已知直角三角形两边（或三边）之比时如图⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，若a∶c＝2∶3，求∠A的三角函数值。解：设a=2m
（m≠0），则c=3m∵∠C＝90∴b==∴sinA===，cosA===，tanA===c: 当已知直角三角形某一个锐角三角函数
值时如图⑥所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90?，若tanB＝ ，求∠A的三角函数值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，ta
nB＝ ∴tanB==,设b=3t（t≠0），则a=5t∴c==∴sinA===，cosA===，tanA===3、找“替身”法解
题策略：当一个锐角的三角函数值不易求出时，常转化为求与它相等角（替身）的三角函数值，使问题得以顺利解决。（1）如图⑦所示，A，B，
C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，则tanD的值为( B )A. B. C. D.
分析：由题目条件可知△ACD≌△AED，则∠D=∠B。由于∠D的三角函数值不易求出，而∠B正好在Rt△BCH中，易求出它的三角函数
值，从而求tan∠D转化为求tan∠B，问题被轻松解决。如图⑧所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝
8，则sin∠ABD的值是( D )AD⌒⌒AC= A. B. C. D. 分析：因为AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，
所以 = ，则∠ABC=∠ABD，求sin∠ABD转化为求sin∠ABC。因为AB是直径，所以∠ACB=90?。因为BC＝6
，AC＝8，所以AB=10，则sin∠ABC=，问题轻松解决。如图⑨所示，∠1的正切值等于 。 分析：tan∠1=tan∠2=如图
⑩所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是
。分析：连接AF、BF,易判断出△AFB为直角三角形，且∠APD=∠ABF，所以tan∠APD=tan∠ABF=2 图⑦ 图⑧
图⑨ 图⑩4、构造法解题策略：将所求锐角放入构造的直角三角形中，从而求出它的三角函数值的方法叫做构造法。构造直角三角形常用方法有“
作垂直”、利用勾股定理逆定理判断、直径所对的圆周角是直角等等。⑴、如右图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB延长线上
一点，BP＝2，求cosP的值。解：过点O作OC⊥AB于点C∵OC⊥AB于点C ∴AC=BC=AB=4∵PB=2 ∴PC=PB+
BC=6在Rt△OAC中，∠ACO=90? ∴OC==3在Rt△PCO中，∠PCO=90?∴PO==3 ∴cosP==⑵、如图11
所示，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( D ) B. C. D. 分析：把∠C放入Rt△AHC中，
因为AH=1，CH=4，所以AC=，cosC=⑶、如图12所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(( B )A.
B. C. D. 分析：连接CH，易判断△AHC是直角三角形，∠AHC=90?。因为AC=，CH=，所以sinA==⑷、如图13
所示，已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为 。分析：作直径AE，连接CE。因为AE是直径，所以∠ACE=9
0?，CE==2，sinB=sinE=　 图11 图12
图1319解直角三角形应用常考基本型“AAS”型如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AB=m，则BC=mcosα+【
分析】过点A作AD⊥BC于点D,解Rt△ABD，易求出AD和BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD+CD即可解决问题。
【解答】过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中，cosα= ，sinα= ，则BD=mcosα，AD=msinα。在Rt△ADC
中，tanβ= ，则CD= ，BC=BD+CD=mcosα+ 问题1：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求
AB的长．“ASA”型如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，则AD = 【分析】本题利用BD+CD=n这个等量关系，设A
D=x，列出关于x的方程即可解决。【解答】过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x。在Rt△ABD中，tanα= ，则BD= ，在Rt
△ADC中，tanβ= ，则CD=，∵BD+CD=n∴ + = n∴x=问题2：如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是
30°、60°，此时热气球C处的高度为CD，点A、D、B在同一直线上，AB=100米，求高度CD。母子型类型1：如图，已知∠ABC
=α，∠ACD=β，AD=m，则BC = 【分析】解Rt△ABD，易求出BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD-CD即
可解决问题。【解答】在Rt△ABD中，tanα= ，则BD = ；在Rt△ADC中，tanβ= ，则CD = ；∴BC=BD-C
D= - =问题3：校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车
速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道m上确定点D，使CD与m垂直，测得CD的长等于21米，在m上点D的同侧取点A、B
，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据： =1.73，=1.41）；（2）已知本路段对
校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．类型2：如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β
，BC=n，则AD =【分析】本题利用BD-CD=n这个等量关系，设AD=x，列出关于x的方程即可解决。【解答】过点A作AD⊥BC
于点D,设AD=x。在Rt△ABD中，tanα= ，则BD = ，在Rt△ADC中，tanβ= ，则CD = ，∵BD-CD=n
∴ - = n∴x=问题4：如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次
测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为 。问题5：如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教
学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）四、拥抱型如图，已知∠ABC=∠BCD=。解题关键：BC是两个直角三角形的公共边。问题6：