高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析

高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数在处的切线方程为，则A. B. C.
D. 2.（5分）设为实数，函数的导函数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为A. B. C. D. 3.（5分）若函数的图
像在处的切线与直线垂直，则的值为A. B. 或C. D. 或4.（5分）已知函数，且关于的方程恰有个实数解，则实数的取值范围是A.
B. C. D. 5.（5分）曲线 在处切线的倾斜角为A. B. C. D. 6.（5分） 若曲线在点处的切线平行于轴，则点的坐
标为A. B. C. D. 7.（5分）曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A. B. C. D. 8.（5分）曲线在点处的切
线斜率为A. B. C. D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）下列命题中是真命题有A. 若，则是函数的极值点
B. 函数的切线与函数可以有两个公共点C. 函数在处的切线方程为，则D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是10.（5分）若函数的
图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有“性质”则下列函数中具有“性质”的是A. B. C. D. 11
.（5分）已知函数图象上的一条切线与的图象交于点，与直线交于点，则下列结论不正确的有?A. 函数的最小值为B. 函数的值域为C.
的最小值为D. 函数图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为的不同切线，且切点的横坐标都大于零，
则实数可能的取值A. B. C. D. 13.（5分）设函数，则下列选项中正确的是A. 为奇函数B. 函数有两个零点C. 函数的图
象关于点对称D. 过原点与函数相切的直线有且只有一条三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为的直线与曲线
相切，则直线的方程是 ______.15.（5分）已知曲线：，直线过与曲线相切，则直线的方程是 ______ ．16.（5分）函数
，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为__________.17.（5分）函数，则函数在处切线的斜率为 ______.1
8.（5分）某物体作直线运动，其位移与时间的运动规律为的单位为秒，的单位为米，则它在第秒末的瞬时速度应该为______米秒．四 、
解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数．?求曲线在点处的切线方程； ?直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方
程及切点坐标．20.（12分）在抛物线：上取两点，且，过点，分别作抛物线的切线，两切线交于点求抛物线的方程；?设直线交抛物线于，两
点，记直线，其中为坐标原点的斜率分别为，且，若的面积为，求直线的方程.21.（12分）已知函数，已知曲线在点处的切线与直线平行．
?求的值； ?证明：方程在内有且只有一个实根．22.（12分）设? 设曲线在点的切线方程为；求，的值． ?求在上的最小值．23.（
12分）已知曲线， ?求曲线在点处的切线方程； ?求曲线过点的切线方程； ?求斜率为的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B
;【解析】解：函数在处的切线方程为，?，又，??故选：?由已知可得，在切线方程中取求得，则答案可求．?此题主要考查对数的几何意义及
其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】?此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.?求导函数，由
是偶函数求出的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.??解：由，得，，?又是偶函数，，即，?，?曲线在原点处的切线斜率为，?曲线在
原点处的切线方程为，?故选3.【答案】D;【解析】解：函数的导数为，?在处的切线的斜率为，?由切线与直线垂直，?可得，?解得或，?
故选：．?求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．?此题主要考查导数的运用：求切线的斜
率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】?此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关
系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．?方程恰有两个不同实数根，等价于与有个交点，又表示直线的斜率，
求出的取值范围．??解：画出函数图象，?可求得函数图象在点处的切线方程为，?过点且与函数图象相切的直线方程也为，?即得直线为函数图
象的切线，且有两个切点，切点为和，?关于的方程恰有个实数解当且仅当直线函数图象有两个公共点，?由图可知当且仅当时符合题意，又，，则
求得?故选?5.【答案】C;【解析】解：，?，?设曲线 在处切线的倾斜角为，?根据导数的几何意义可知，切线的斜率，?，即倾斜角为．
?故选C．?欲求在处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知，再结合正切函数的值求出角的值即可．?该题考查了导数的几何意义，以及利用
正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：的导数为， ?设切点为，则， ?可得切线的斜率为， ?解得，
即．?故选：．?求得函数的导数，设出切点，代入函数式，求得切线的斜率，令它为，解得，，进而得到切点的坐标． ?该题考查导数的运用：
求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B;【解析】此题主要考查导数的几何意
义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线在处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积??解：，则，，?曲线在处的切线方
程为，?令，得，令，得，?切线与坐标轴围成的三角形面积为?故选8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为， ?所以函数在处的切线斜率
．?故选：．?求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值． ?该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数在点处的导
数是曲线在点处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】
BCD;【解析】?此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．?由题意结合
知识点，逐个选项分析即可.?解：选项，若，不一定是函数的极值点，例如函数，，但不是极值点，故错误；?选项，函数的切线与函数可以有两
个公共点，例如函数，在处的切线为与函数还有一个公共点为，故正确；?选项，因为函数在处的切线方程为，所以， 故正确.?选项，令，?因
为函数的导数，则，?所以函数在上单调递减，又，?由不等式得，得x?1，?所以不等式的解集是，故正确．?故选10.【答案】AB;【解
析】解：由题意，可知若函数具有“性质”，则存在两点，?使得函数在这两点处的导数值的乘积为，?对于，，满足条件；?对于，，满足条件；
?对于，恒成立，负数乘以负数不可能得到，不满足条件；?对于，恒成立，正数乘以正数不可能得到，不满足条件．?故选：?分别求出四个选项
中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为即可．?此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想
，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD;【解析】?此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，
属于中档题.?由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可.?解：已知，当时，，当时，，故选项、不正确?设直线与函数的图
象相切于点，函数的导函数为，则直线的方程为，即，直线与的交点为，与的交点为，?所以，当且仅当时取等号，?故选项正确?，可知切线斜率
可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项不正确.?故选12.【答案】AC;【解析】?此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，
考查运算能力，属于中档题．?求出导数，由题意可得有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到的取值范围，进而可得的可能取值．??解
：的导数为，?由题意可得有两个不相等的正根，?则，解得，?故选：13.【答案】BCD;【解析】解：函数的定义域为，?，所以不为奇函
数，故错误；?由，可得，解得，故有两个零点，故正确；?由，?则函数的图象关于点对称，故正确；?当时，，，?设过原点与相切的切点为，
则切线的方程为，?即，代入，可得，?设，，当时，递增，时，递减，?则的最大值为，所以时，不存在过原点的切线；?当时，，，?设过原点
与相切的切点为，则切线的方程为，?即，代入，可得，?设，，所以递减，?则只有一个零点，所以时，只存在一条过原点的切线．?综上可得存
在一条过原点的切线，故正确．?故选：?由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．?此题主要考查导数的运用：求切线的方
程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】;【解析】?由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导
函数值为求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．?此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关
键，是基础题．??解：直线的倾斜角为，则直线的斜率为，?由，得，?由，解得舍去或?切点坐标为，则直线的方程为，?即?故答案为：?1
5.【答案】或或;【解析】?求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．?这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解
决本题的关键．注意要进行分类讨论．??解：函数的导数为，?设切点为，?则，，?则切线的方程，?即，?直线过点，?，?即，?则，?解
得或或，?当时，对应的直线方程为，?当时，对应的直线方程为，?当时，对应的直线方程为，?故答案为：或或?16.【答案】?;【解析】
?此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．?画，的图象，结合直线过定
点，函数的图象与，的图象相切时，函数，的图象恰有两个交点．设切点为，由，，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数
，推出的范围即可．??解：依题意，画出的图象如图：??因为直线过定点，?由图象可知，当函数的图象与，的图象相切时，?函数，的图象恰
有两个交点．?下面利用导数法求该切线的斜率．?设切点为，由，，?则，?解得舍去或，则，?要使方程恰有三个实数解，?则函数，的图象恰
有三个交点，?结合图象可的实数的取值范围为，?故答案为?17.【答案】;【解析】解：由，得，?所以函数在处切线的斜率?故答案为：?
对求导，根据导数的几何意义，得到在处的切线斜率．?此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案
】;【解析】解：，?，?它在秒末的瞬时速度为，?故答案为：．?物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出的导数，代入求值．?该题考查变化
的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：， ?在点处的切线的斜率， ?切线的方
程为．?设切点为，则直线的斜率为， ?直线的方程为．?又直线过点，， ?整理，得，，，直线的斜率， ?直线的方程为，切点坐标为．;
【解析】?先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数即斜率，易求切线方程．?设切点为，则直线的斜率为，从而求得直线的方程，有条件直线
过原点可求解切点坐标，进而可得直线的方程．?此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：由得，则曲线在点
处的切线斜率为，曲线在点处的切线方程为，曲线在点处的切线过点，故①，同理可得曲线在点处的切线方程为，②，①②得，，，，将代入①，可
得，故抛物线方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线的交点为，联立得，得，，，可得，直线经过点，，，，，经检验符合题
意，直线的方程为或;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合
性较强.利用导数，可以求出曲线在点，处的切线斜率为，，从而求出切线方程，得到关于的关系式，可以求出的值，从而求出切线方程；设直线的
方程为，与抛物线的交点为，联立得，得，求出，根据题意列方程求出的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分） ?解：（
1）， ?由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2， ?则f''（1）=2， ?所以a+1=2，解得a=1．…
（4分） ?（2）令，x∈（1，2）， ?则，， ?所以h（1）h（2）＜0， ?所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8
分） ?可得， ?∴h（x）在（1，2）上单调递增， ?所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点， ?即方程f（x）=g（x
）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】?求得的导数，可得处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得
到所求值． ?令，，由，，可得函数在内一定有零点，进而证明，可得在上单调递增，即可得证． ?此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，
考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I）由题意得，，
则， ?因为在点（2，f（2））的切线方程为y=x，所以， ?即，解得…（6分） ?（Ⅱ）设t=（t≥1），则原函数化为：， ?所
以=， ?令y′=0，解得t=， ?（1）当a≥1时，则y′＞0在[1，+∞）上成立， ?所以函数在[1，+∞）上是增函数， ?则
当t=1（x=0）时，函数f（x）取到最小值是； ?（2）当0＜a＜1时，≥2+b， ?当且仅当at=1（t==＞1，则x=-ln
a）时，取等号， ?此时函数f（x）取到最小值是b+2， ?综上可得，当a≥1时，函数f（x）的最小值是； ?当0＜a＜1时，函数
f（x）的最小值是b+2．…（12分）;【解析】?Ⅰ由求导公式和法则求出，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出、的值； ?Ⅱ设
，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值． ?此题主要考查求导公式
和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：在曲线上，且?在点处的切线
的斜率；?曲线在点处的切线方程为，即．?设曲线与过点的切线相切于点，?则切线的斜率，?切线方程为，?即?点在切线上，?，即，?，?
?解得或?故所求的切线方程为或．?设切点为?则切线的斜率为，切点为，?切线方程为和?即和．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线
上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．?根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；?设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；?设出切点坐标，由切线的斜率为，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．?学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 18 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司