中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞
与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（　　）（填方案一，方案二，
或方案三），则B点坐标是（　　），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2
．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m
+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP
=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点
O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物
线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②
是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4
ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，
求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点
N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线 的顶点为 ，抛物线 与直线 交于点 ． （1）　， 　（分别用含 的
式子表示）； 与 的函数关系式为　； （2）求点 的纵坐标 （用含 的式子表示），并求 的最大值； （3）随 的
变化，抛物线 会在直角坐标系中移动，求顶点 在 轴与 之间移动（含 轴与 ）的路径的长． 6．如图，抛物线的顶点D的
坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，
已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN
最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A
的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE
的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存
在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系 中， 为
坐标原点，点 ，点 ， 的中线 与 轴交于点 ，且 经过 ， ， 三点． （1）求圆心 的坐标；（2）若直
线 与 相切于点 ，交 轴于点 ，求直线 的函数表达式；（3）在过点 且以圆心 为顶点的抛物线上有一动点 ，过点
作 轴，交直线 于点 ．若以 为半径的 与直线 相交于另一点 ．当 时，求点 的坐标．9．如图1所示，已知抛
物线的顶点为，与轴交于、两点左右，与轴交于点，为抛物线上一点，且、关于抛物线的对称轴对称，作直线.（1）求直线的解析式；（2）在图
2中，若将直线沿轴翻折后交抛物线于点，则点的坐标为　（直接填空）；（3）点为抛物线上一动点，过点作直线与轴平行，交直线于点，设点的
横坐标为，当∶∶时，直接写出所有符合条件的值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与
轴的另一个交点为（点在点的左侧），抛物线的顶点为点．抛物线的对称轴与轴交于点．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）点M是线段
上一动点，连接并延长交轴交于点，当时，求点的坐标；（3）点是该抛物线上的一动点，设点的横坐标为，试判断是否存在这样的点，使，若存在
，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点 在函数 的图像上．已知 的横坐标分别为－2、4，直线 与 轴交于
点 ，连接 ． （1）求直线 的函数表达式； （2）求 的面积； （3）若函数 的图像上存在点 ，使得 的面积
等于 的面积的一半，则这样的点 共有　个． 12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点
A（﹣1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2
）求顶点P的坐标；（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且 ，求点M坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，
连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线
经过点 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是拋物线在 轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点 的横坐标为 ．连接AC，
BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为 时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点
是 轴上一动点，点 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形
．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y
轴正半轴于D点.以为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为，连接.（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线上？判定
此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，
抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对
称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为　，a的值为　；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝ ，连
接NC． ①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使 与 相似，且BF为 的直角边，请直接写出点P坐标
．16．如图，直线AB的解析式为 ，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点 ，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m. （
1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求 面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）过点A作
直线 轴，过点P作 于点H，将 绕点A顺时针旋转，使点H的对应点 恰好落在直线AB上，同时 恰好落在坐标轴上，请直接写出
点P的坐标. 参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为： ．由题意可以得到抛物线
的顶点为（0，5），代入解析式可得： ，∴抛物线的解析式为： 方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为： ． 由题
意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得： ，∴抛物线的解析式为： ； 方案3：点B的坐标为（5， ），由题意可以
得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为： ，把点B的坐标（5， ），代入解析式可得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：方案一：由题意：把 代入 ，解得： =3.2，∴水面上涨的高度为3.2m 方案二：由题意：把 代入 解得：
=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把 代入 解得： = ，∴水面上涨的高度为 3.2m．2．【答案】
（1）解: 将点D( ， )代入 中，得： ，解得： 或3，∵点D在第一象限，∴ ，∴点D的坐标为(3，4)；令 ，则
，解得： ，令 ，则 ，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= ，CD=3，∵点C
、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在 轴上．根据对称的性质知：
CD=CE=3 ，∴ ，∴点D关于直线 对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G， 由(1)
知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵ ，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= ，∵BC= ，∴
BG= ∴ ．设 ，则 ， ．∴ ，∵P点在抛物线上，∴解得： 或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( ， )．3．【答案
】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= =3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°
而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入
解析式为 ，解得： ．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣
=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图， 当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，
P（﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴ ，∴MP=3EM．∵
P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t
﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．
∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题
意，得 ，解得： ，∴直线CD的解析式为：y= x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， t+1），∴NM=
t+1．∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（ t+1）=﹣t2﹣ +2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD
= PN?CM+ PN?OM= PN（CM+OM）= PN?OC= ×3（﹣t2﹣ +2）=﹣ （t+ ）2+
，∴当t=﹣ 时，S△PCD的最大值为 ．4．【答案】（1）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经
过原点O，∴0=4a+b，∴当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0，解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x轴另一交点A坐
标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标
为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（
0+2）2+2=0，解得：a=﹣ ，∴抛物线C1：y=﹣ x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+
b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣ ，∴y=﹣ （x+2）2+1=﹣ x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（
m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣ （2m+2+2）
2+1，解得：m=﹣2+ 或﹣2﹣ 5．【答案】（1）m；m+3；（2）解：∵抛物线 与直线 交于点 ， ∴把 代入
，得 ．∵ ，∴当 时， 的最大值为 ．（3）解：∵点 在 轴与 之间沿直线 运动， 如图，设直线 与 轴
和直线 分别交于点 和点 ，线段 的长即为点 路径长．把 ， 代入 得点 ，点 ，过点 作 轴，垂足为M，
则 ，在 中， ，∴点 路径长为 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4， 把x＝0，y＝3
代入得：3＝a（0+1）2+4，解得：a＝﹣1∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作
C关于对称轴的对称点C′，连接EC′交对称轴于F， 此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，
3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3
，0），D（﹣1，4）， 易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（
﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝ ，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m
+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴即 ∵∴当m＝﹣2时，MN有最大值；此时M（﹣2，3），又∵
C（0，3），连接MC∴MC⊥y轴∵∠CPM＝∠HAD，∠MCP＝∠DHA＝90°，∴△MCP∽△DHA，∴即 ∴PC＝1∴OP＝
OC﹣PG＝3﹣1＝2，∴S△POM＝ ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 解得 ∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ x2+x
+4（2）解：设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由﹣ x2+x+4=0，得x1=﹣2，x2=4∴点B的坐标为（
﹣2，0）∴AB=6，BQ=m+2∵QE∥AC∴△BQE∽△BAC∴即 ∴∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ= BQ?CO﹣
BQ?EG= （m+2）（4﹣ ）= =﹣ （m﹣1）2+3又∵﹣2≤m≤4∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1
，0）（3）解：存在．在△ODF中．（ⅰ）若DO=DF∵A（4，0），D（2，0）∴AD=OD=DF=2又在Rt△AOC中，OA=
OC=4∴∠OAC=45度∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F的坐标为（2，2）由﹣ x2+x+4=2，得
x1=1+ ，x2=1﹣ 此时，点P的坐标为：P（1+ ，2）或P（1﹣ ，2）．（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点
M由等腰三角形的性质得：OM= OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣ x2+x+4=3，
得x1=1+ ，x2=1﹣ 此时，点P的坐标为：P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠
AOC=90°∴AC= ∴点O到AC的距离为 ，而OF=OD=2 ，与OF≥2 矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+
，2）或P（1﹣ ，2）或P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点 ，∴点 ，又∵
M为AC中点，点 ， ，∴点 （2）解：∵ 与直线 ，则 ，设： ，则 ， ，则 ， ， ，则 ，则点 ，设直线
AD的解析式为： ，将点 、 的坐标分别代入得： ，解得： ，所以直线 的表达式为： （3）解：设抛物线的表达式为：
，将点 坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得： ，故抛物线的表达式为： ，过点 作 ，则 ， ，解得： ，设点
，则点 ，则 ，解得 或2(舍去2)，则点 .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：，令中
，则，∴点的坐标为，、关于抛物线的对称轴对称，∴点的坐标为，即，令中，则，解得：，，∴点的坐标为、点的坐标为，设直线的解析式为，将
点、代入中，得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）（6，-7）（3）解：符合条件的值为0、3、和.10．【答案】（1）解：当时，得
，∴点的坐标为（0，4），当时，得，解得：，∴点的坐标为（6，0），将两点坐标代入，得 解，得∴抛物线线的表达式为∵∴顶点坐标为．
（2）解：作轴于点，∵，，∴∽．∴．∴．∴当时，∴．∴点的坐标为．（3）解：∵，，∴，∵点的坐标为（6，0），点的坐标为（0，4）
，∴，∴，过点P作PQ⊥AB，当点P在x轴上方时，解得m=4符合题意，当点P在x轴下方时，解得m=8符合题意，∴存在，的值为4或．
11．【答案】（1）解：∵A，B是抛物线 上的两点， ∴当 时， ；当 时， ∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（
4，4）设直线AB的解析式为 ，把A，B点坐标代入得 解得， 所以，直线AB的解析式为： ；（2）解：对于直线AB： 当 时
， ∴∴ = =6（3）412．【答案】（1）解：∵A（﹣1，0），∴OA=1∵OB=3OA，∴B（0，3）∴图象过A、B两点的
一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y轴
正半轴交于点B（0，3），∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点P（1，
4）（3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m∵直线y=3x+m过P（1，4），∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1∵M在
直线y=3x+1，且设M（x，3x+1）①当点M在x轴上方时，有 ，∴ ，∴②当点M在x轴下方时，有 ，∴ ，∴ ， （4）解
：作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，当﹣x2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0
），P点坐标为（1，4），则可得PD解析式为：y=2x+2，根据ND′⊥PD，设ND′解析式为y=kx+b，则k=﹣ ，将D′（
2，2）代入即可求出b的值，可得函数解析式为y=﹣ x+3，将两函数解析式组成方程组得： ，解得 ，故N（ ， ），由两
点间的距离公式：d= = ，∴所求最小值为 13．【答案】（1）解：把A（-1,0），B（2,0）代入抛物线解析式得： ，解
得： ∴抛物线的解析式为： （2）解：如图，连接OD， 由 可得：对称轴为 ，C（0,4）∵ ，A（-1,0），B（2,0）∴
又∵ ，解得： ， ，当 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 ，综上， （3）解： ， ， ， 14．【答案】
（1）解：令，则，解得，；令，则.故，，.（2）解：设直线的解析式为，将，代入得：解得，，.直线的解析式为.将化为顶点式：.顶点的
坐标为.代入得：，.所以，当时，M点在直线上.连接，为中点，C点坐标为.，，，D点在圆上又，，，，.直线与相切.（3）解：当时，.
当时，.即.S关于m的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故
设点M的坐标为（﹣1，m）， 则OM＝12+m2＝（ ）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的
坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得 ，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相
同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，
代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y
＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF的表达式知，tan∠BNK＝2，
则tan∠FKN＝ ，故设直线PF的表达式为y＝﹣ x+t，将点F的坐标代入上式并解得t＝﹣ ，则直线PF的表达式为y＝﹣
x﹣ ，故设点P的坐标为（m，﹣ m﹣ ），在Rt△AOC中，tan∠ACO＝ ＝ ，则tan∠OCA＝2，∵△BFP
与△AOC相似，故∠FBP＝∠ACO或∠OAC，则tan∠FBP＝tan∠ACO或tan∠OAC，即tan∠FBP＝ 或2，由点
B、F的坐标得：BF＝ ，则PF＝BFtan∠FBP＝ 或6 ，由点P、F的坐标得：PF2＝（m+1）2+（﹣ m﹣ +
6）2＝（ ）2或（6 ）2，解得m＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去），故点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ ）；
当∠PBF为直角时，过点B作BP⊥BF，同理可求直线PF的表达式为y＝﹣ x+1，故设点P的坐标为（m，﹣ m﹣1），同理可得，PB＝BFtan∠FBP＝ 或6 ，由点P、B的坐标得：PB2＝（m-2）2+（﹣ m+1）2＝（ ）2或（6 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣ ）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ ）或（5，﹣ ）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当 时， ，则 ， 把 ， 代入 得 ，解得 ， 抛物线解析式为 ；（2）连接OP，设 ， 当 时， ，解得 ，则 ， ， ，当 时， 面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为 ；（3）在 中， ， 当点 落在x轴上，如图2， 绕点A顺时针旋转，使点H的对应点 恰好落在直线AB上，同时 恰好落在x轴上 ， ， ， ， ∽ ， ： ：OB，即 ： ：3， ， ， ，解得 ， 舍去 ，此时P点坐标为 ；当点 落在y轴上，如图3，同理可得 ， ， ， ， ∽ ， ： ：AO，即 ： ：4，整理得 ，解得 ， 舍去 ，此时P点坐标为 ；综上所述，P点坐标为 或 ； 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 28 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司